1. 引言
量子纠错码在量子应用和量子通信中发挥着重要的作用。自从Calderbank等人(见 [1] )建立了量子码和经典码之间的联系以来,量子纠错码领域已经取得了很大的进步。近年来,通过欧几里得或厄米特自正交的经典纠错码构造了大量的量子码(见 [2] [3] [4] )。
一个q元量子码具有3个参数:码长,码字数和最小距离。一个具有码长为n,码字数为K的q元量子码Q是
维Hillbert空间
的一个K维子空间,令
,则码长为n,最小距离为d的量子码被记为
。参数为
的q元量子码可以检查d − 1位错误。纠正
位错误。因此,在量子码理论中,一个主要的任务就是构造具有较大极小距离的量子码。带参数为
的q元量子码都满足量子Singleton界(见 [5] ):
。当达到量子Singleton界,即
的量子码称为q元量子极大距离可分离码(简称量子MDS码)。
量子MDS码是量子码中最重要的一类,它在理论和应用上都有着非常重要的意义。近年来,很多q元量子MDS码通过使用不同的方法被构造,其中一个重要的方法是Hermitian正交码方法,即利用一个定义在有限域
上关于Hermitian内积自正交的线性MDS码来构造一个q元量子MDS码。近年来常用的一些MDS线性码有:Reed Solomon码、循环码、negacyclic码、constacyclic码等等,说明它是Hermitian自正交码就能去构造相应的q元量子MDS码(见 [1] [6] - [16] )。
当q为奇素数的方幂时,构造具有较大最小距离且码长
的量子MDS码是困难的。一些码长为
已经被构造出来了,这些q元量子MDS码大都是利用Hermitian自正交码方法由线性MDS码得到。文献 [13] 构造了码长为
,且具有较大距离的量子MDS码。
本文主要从参考文献 [13] 中,码长为
的q元量子MDS码出发,构造了码长为
,且具有较大距离的量子MDS码。
2. 预备知识
令q为一个奇素数的方幂。设
为具有
个元素的有限域,
为
的n维向量空间,一个具有参数为
的线性码C是指有限域
上n维向量空间中最小距离为d的k维子空间,其中最小距离d为不同码字之间的Hemming距离的最小值,线性码C满足Singleton界:
。如果C达到Singleton界,即
,则称此线性码C为极大距离可分码,简称MDS码。
给任意两个向量
,定义Hermitian内积
。如果
,则称这两个向量Hermitian正交。定义
为线性码的对偶码,如果
,则C称为一个Hermitian自正交码。
2.1. 量子MDS码
如何构造q元量子MDS码最近成为研究热点,比较常用的构造q元量子MDS码方法是Hermitian方法,见如下定理。
定理2.1:(见 [1] )如果存在一个有限域
上参数为
的MDS码C,而且
,则可以构造出一个q元量子MDS码
。
通过这个定理,可由Reed Solomon码、循环码、negacyclic码、constacyclic码这些经典的MDS码构造出很多的q元量子MDS码,此外选择具有较大最小距离d的Hermitian自正交MDS码,便可得到较大最小距离的q元量子MDS码。
2.2. Constacyclic码
设
。对于
,一个长度为n的
元类线性码C称为η-constacyclic码当且仅当它在η-constacyclic移位下是不变的:
.
一个码字
可以用一个多项式
表示。很容易验证一个在长度的η-constacyclic码是商环
的理想,并且
对应
的η-constacyclic移位。而且,如果
是主理想,那么
,其中
是
的首1因式。如果
,那么η-constacyclic码就为negacyclic码。如果
是一个r次本原根,那么一定会存在rn次本原根
,即
。那么,我们就有
。类似于循环码,对于constacyclic码,我们也有下面的BCH界。
定理2.2:(见 [17] )设C是一个在
上,长度为n的η-constacyclic码,其中
是一个r次本原根。令
是
扩域上的一个rn次本原根,即
。假设C的生成多项式
的根包含集合
。那么C的极小距离至少为d。
定义
。对于
,
为j模rn的
-分圆陪集。设C是一个在
上,长度为n的η-constacyclic码,且
,那么集合
称为集合C的定义集合。易知,
和
。此外,我们也定义
的定义集合
。
因此我们有以下的引理去判断一个η-constacyclic码C是否包含
。
引理2.3:(见 [14] )设
和
,其中
。C是一个在上,长度为n的η-constacyclic码,并且其定义集合为
,那么
当且仅当
,其中
。
3. 主要结果
为了定理的证明,我们需要以下的引理。
引理3.1:令
和
。那么对于正整数
,那么
为j模
的
-分圆陪集有:
(1)
和
。
(2)
。
证明:(1) 如果
,那么
。这就说明
。又因为,所以
。另外,
.
因此,
。
(2) 这个证明类似于 [13] 中引理3.12的证明。
引理3.2
(1) 令q是一个素数方幂且
,其中a是奇整数,。如果C是一个在
上,长度为
的η-constacyclic码,并且其定义集合为
,其中
和
,那么
。
(2) 令q是一个素数方幂且
,其中a是奇整数,
。如果C是一个在
上,长度为
的η-constacyclic码,并且其定义集合为
,其中
和
,那么
。
证明:我们只证明第一部分,第二部分的证明是类似的。我们假设
和
,根据引理2.3,我们只需要证明。利用反证法,假设存在
,使得
。那么只有以下两种情况。
情况1:
。
那么我们有
.
因为
,所以
.
令
,则
.
等式左边
,
令
,从而
。因此我们有
.
如果
,那么
,与已知矛盾。
如果
,那么
,也与已知矛盾。
情况2:
。
那么我们有
.
因为
,所以
.
令
,则
.
等式左边
,
令
,从而
。因此我们有
.
如果
,那么
,与已知矛盾。
如果
,那么
,也与已知矛盾。
所以假设不成立,故
。即原命题得证。
定理3.3:
(1) 令q是一个素数方幂且
,其中a是奇整数,
。那么存在一个参数为
的q元的量子MDS码,其中
且d为偶数。
(2) 令q是一个素数方幂且
,其中a是奇整数,
。那么存在一个参数为
的q元的量子MDS码,其中且d为偶数。
证明 由引理3.1可知,除了
和
,其余的
-分圆陪集都含有两个元素,再根据引理3.2,定理2.3,定理2.2和定理2.1易证得该定理。
推论3.4 ( [13] 中定理7)
(1) 令q是一个素数方幂且
,那么存在一个参数为
的q元的量子MDS码,其中
且d为偶数。
(2) 令q是一个素数方幂且
,那么存在一个参数为
的q元的量子MDS码,其中
且d为偶数。
基金项目
广州市对外科技合作项目:小弧形表面缺陷自动检测技术和系统(编号201704030062)。