MP  >> Vol. 8 No. 6 (November 2018)

    一种非最小耦合暗能量模型的研究
    Study on a Kind of Non-Minimal Coupling Dark Energy Models

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作者:  

张晓菲:滨州学院,理学院,山东 滨州

关键词:
暗能量非最小耦合Dark Energy Non-Minimal Coupling

摘要:

本文研究的是一种非最小耦合暗能量模型。在这种暗能量模型中,作为暗能量的标量场与引力的耦合形式为F(∅)=1+α∅2。我们研究了该暗能量场的特征和演化行为,并分析了选取不同的参数对模型的影响。通过分析,发现参数α对模型的演化有关键性的作用——暗能量是否一直表现为Quintessence场。

This paper studies a kind of non-minimum coupling dark energy models. In the dark energy models, the coupling form of the dark energy as a scalar field and gravity is  F(∅)=1+α∅2. We studied the characteristics and evolution behavior of the dark energy field, and analyzed the influence of different parameters on the models. Through analysis, it is found that the parameter α plays a key role in the evolution of the model—whether the dark energy always appears as a Quintessence field.

1. 引言

目前的天文观测数据,如超新星、哈勃、Planck等,对一种具有负压特征的物质:暗能量提供了支持和限制 [1] - [8] 。暗能量和物质、辐射一样,都是宇宙的构成成分之一。并且,伴随着宇宙的膨胀,辐射和物质将在此过程中被稀释,从而在辐射和物质相继占主导地位之后,暗能量最终在宇宙演化中成为主要成分,并最终主导了宇宙的演化。因此,对于暗能量的研究就有了重要的意义。暗能量模型有很多,在本文中,我们研究的是与引力有非最小耦合的标量场暗能量模型。在这类模型中,因为暗能量与引力有非最小耦合作用 [9] - [13] ,而引起了有别于一般传统暗能量模型的演化情况。我们首先分析了一般形式的暗能量模型;然后又选取了一种具体形式为 F ( ϕ ) = 1 + a ϕ 2 的耦合形式,与一种指数势能;最后分析了不同的耦合系数对暗能量演化的影响。

2. 一般形式的非最小耦合暗能量模型

对于一般的暗能量场 ϕ 和引力发生非最小耦合的情况,普遍的拉氏量形式为 [9] :

L = F ( ϕ ) R 16 π G + 1 2 k ( ϕ ) μ ϕ μ ϕ V ( ϕ ) + L m (1)

因此,与之相对应的作用量为:

S = d 4 x g [ F ( ϕ ) R 16 π G + 1 2 k ( ϕ ) μ ϕ μ ϕ V ( ϕ ) + L m ] (2)

由(1)可得标量场 ϕ 的运动学方程为:

μ μ ϕ = 1 k ( ϕ ) [ F ( ϕ ) R 16 π G + 1 2 k ( ϕ ) μ ϕ μ ϕ + V ( ϕ ) ] (3)

其中的“'”代表对标量场 ϕ 求导。

从(2)中可得:

F ( ϕ ) 16 π G ( R μ ν 1 2 g μ υ R ) = 1 2 T m μ ν 1 2 T ϕ μ ν + 1 16 π G [ μ μ F ( ϕ ) g μ υ F ( ϕ ) ; μ ; ν ] (4)

T m μ ν 为物质和辐射的能动量张量, T ϕ μ ν 表示暗能量的能动量张量,即:

T ϕ μ ν = k ( ϕ ) ( μ ϕ ν ϕ 1 2 g μ ν μ ϕ μ ϕ ) + V ( ϕ ) g μ υ

由方程(4),得:

R = 8 π G k ( ϕ ) μ ϕ μ ϕ + 4 V ( ϕ ) + ρ m 3 P m 3 μ μ F ( ϕ ) F ( ϕ ) (5)

把(5)代入前面的运动学方程(3)中,最后可得运动学方程:

μ μ ϕ = 1 k ( ϕ ) [ F ( ϕ ) ( 8 π G k ( ϕ ) μ ϕ μ ϕ + 4 V ( ϕ ) + ρ m 3 P m 3 μ μ F ( ϕ ) F ( ϕ ) ) 16 π G + 1 2 k ( ϕ ) μ ϕ μ ϕ + V ( ϕ ) ] (6)

公式(6)决定了 ϕ 的演化。

3. 具体形式为 F ( ϕ ) = 1 + a ϕ 2 K ( ϕ ) = 1 的暗能量模型

以上的推导是适用于一般的非最小耦合暗能量模型的。我们下面具体分析一种 F ( ϕ ) = 1 + a ϕ 2 K ( ϕ ) = 1 的模型 [13] ,并采用势能 V = m e b ϕ 2 ,分析它的特征。

在这种情况下,公式(2)的形式成为:

S = d 4 x g [ 1 + a ϕ 2 R 16 π G + 1 2 μ ϕ μ ϕ V ( ϕ ) + L m ] (7)

这种模型的暗能量能量密度为 [12] :

ρ = ϕ ˙ 2 + 3 a H 2 ϕ 2 + V ( ϕ ) 6 a H ϕ ϕ ˙ (8)

压强为:

P = ϕ ˙ 2 a ( 2 H ˙ + 3 H 2 ) ϕ 2 V ( ϕ ) 4 a H ϕ ϕ ˙ 2 a ϕ ϕ ¨ 2 a ϕ ˙ 2 (9)

暗能量的状态方程为:

w D E = P D E ρ D E = ϕ ˙ 2 a ( 2 H ˙ + 3 H 2 ) ϕ 2 V ( ϕ ) 4 a H ϕ ϕ ˙ 2 a ϕ ϕ ¨ 2 a ϕ ˙ 2 ϕ ˙ 2 + 3 a H 2 ϕ 2 + V ( ϕ ) 6 a H ϕ ϕ ˙ (10)

4. 模型演化两种不同情况的分析

根据前面的运动学方程(6),对暗能量场的演化进行数值计算。为了分析耦合系数a的作用,下面的分析选取同一种势能 V = m e b ϕ 2 ,不同的耦合系数 ( a = ± 0.01 ) 的两种情况。

1) 耦合系数a > 0

根据由于物质和辐射所占的比例为:

Ω m = ρ m a t t + ρ r a d ω 0 ϕ ˙ 2 ϕ + V ( ϕ ) 3 H ϕ ˙ + ρ m a t t + ρ r a d 30 %

为了符合目前的实验数据限制,选取适当的初始条件,并用自然单位制,a = 0.01,m = 6,b = 0.1,使得今天 Ω m = 30 % ,如图1所示。

Figure 1. Percentage of matter and radiation

图1. 物质与辐射占的百分比

在这样的初始条件下,标量场的演化过程为:

图2横坐标为lna,纵坐标为标量场的值。标量场随时间越来越小,势能也随之减小,意味着这种情况下的暗能量场的状态方程一直大于−1,近似于比较普遍的一般暗能量场的行为。

Figure 2. The evolution of ϕ

图2. ϕ 的演化过程

图3表示暗能量的状态方程w先是跟随辐射,然后跟随物质,最后下降到−1附近,最终状态类似于宇宙学常数。

Figure 3. The state equation w of the dark energy

图3. 暗能量的状态方程参数w

2) 耦合系数a < 0

如果使耦合系数a = −0.01;要使今天的 Ω m 仍然为30%,如图4

Figure 4. Percentage of matter and radiation

图4. 物质与辐射占的百分比

需要使m = 7;b = 0.1。

图5中,暗能量场随时间增加,因此势能和能量密度也随宇宙的膨胀而增加。这意味着它的演化过程与前面a = 0.01的情况完全不同。在某个阶段,表现形式类似于phantom场。

Figure 5. The evolution of ϕ

图5. ϕ 的演化过程

图6是暗能量本身的状态参数w随时间的演化情况,在今天附近,它演化到了−1以下,跟图5暗示的情况是符合的。

Figure 6. The state equation w of the dark energy

图6. 暗能量的状态方程参数w

可以看出,当a取正数时,暗能量场的演化行为先跟随物质和辐射;当物质和辐射被稀释后,暗能量场摆脱前两者的影响,逐渐接近于−1。而当a取负数时,在物质和辐射占比例大时,与a取正数的情况近似;物质与辐射比例变得足够小后,有一种先增加再减小到−1以下的过程。

以上a取正数或负数而导致的两种情况,都在目前的实验允许范围之内 [1] - [8] ,有待于观测的进一步精确。

5. 结论

根据前面的分析,这种非最小耦合暗能量模型的演化过程高度依赖于耦合系数a的选取,如果a大于0,演化情况类似于quintessence暗能量模型;而a小于0,则会有一个从quintessence场演化到phantom场的过程,最后状态方程参数w从下方无限接近于−1。这两种完全不同的情况给模型的演化提供了多种可能,提高了这类模型的普适性。

文章引用:
张晓菲. 一种非最小耦合暗能量模型的研究[J]. 现代物理, 2018, 8(6): 284-289. https://doi.org/10.12677/MP.2018.86032

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