PM  >> Vol. 8 No. 6 (November 2018)

    渐近可加势的“历史集”的Hausdorff维数谱
    Spectrum of Hausdorff Dimension on the Historic Set of the Asymptotically Additive Potentials

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作者:  

彭桐辉,王亚琳,徐玲芳,马冠忠:安阳师范学院数学与统计学院,河南 安阳

关键词:
非一致扩张系统渐近可加势历史集Non-Uniformly Expanding Asymptotically Additive Potentials Historic Set

摘要:

研究了一类非一致扩张系统中渐进可加势的“历史集”的Hausdorff维数谱的重分形分析,利用拼接n-级Bernoulli测度和构造Moran集的方法,证明了在该系统中渐近可加势的“历史集”的Hausdorff维数具有“择一性”。

Authors conduct multifractal analysis of historic set of the asymptotically additive potentials on a class of non-uniformly expanding systems. They prove that either the historic set is empty or carries full Hausdorff dimension.

1. 引言

本文研究了一类非一致扩张系统上渐近可加函数列的“历史集”的重分形分析,证明了渐近可加势的“历史集”的Hausdorff维数谱具有“择一性”。首先做一概述。

1.1. “历史集”

( X , T ) 为拓扑动力系统,即X为紧度量空间, T : X X 为连续自映射, C ( X , ) 表示从X到 的连续函数全体。给定 ϕ C ( X , ) ,称 S n ϕ : = i = 0 n 1 ϕ T i A n ϕ : = 1 n S n ϕ 分别为 ϕ 的Birkhoff和与Birkhoff均值。若存在 ϕ C ( X , R ) ,使得极限 lim n A n ϕ ( x ) 不存在,则称点x的轨道

{ x , T x , T 2 x , }

有“历史行为”。这个名称最早是Ruell在 [1] 中提出的,本文沿用Ruell的定义,把轨道具有“历史行为”的点的全体称为“历史集”。在 [2] 中Takens进一步研究了“历史集”,并提出了如下问题:是否存在一类光滑的动力系统,这类系统有“历史行为”的初始点集具有正测度的性质是稳定的。该问题被称为“Takens last problem”。到目前为止,有很多学者对“Takens last problem”进行了大量的研究并得到了一些深入的结果。如在 [3] 中,作者证明了闭曲面上r阶微分同胚中任一Newhouse开集都有稠子集,此稠子集中任一元都有一个压缩游荡域是“历史集”,从而部分回答了“Takens last problem”,更多有关“Takens last problem”的内容见文献 [4] 。

如果点x使得对每一个 ϕ C ( X , ) ,极限 lim n A n ϕ ( x ) 都存在,称点x为“通有点”。点x的Birkhoff均值的极限不存在,意味着当时间n趋向无穷时,点 T n x 对下一步要去哪里始终有新的“想法”。若点x为“通有点”,对每一个观察函数 ϕ 来说,因 lim n A n ϕ ( x ) 存在,所以“通有点”的轨道行为是完全可以预测的。因此“历史点”的轨道比“通有点”的轨道包含了更多的信息。Ruell和Takens认为“历史集”有更重要的研究意义。给定 ϕ C ( X , ) ,称 H ( ϕ ; X , T ) : = { x X : lim n A n ϕ ( x ) } 为关于 ϕ 的“历史集”。易见 H ( ϕ ; X , T ) 是“历史集”的一个子集,“历史集”是所有连续函数 ϕ 的“历史集” H ( ϕ ; X , T ) 的并集。为简化记号,以下简记 H ( ϕ ; X , T ) H ( ϕ )

近些年来,很多学者对“历史集”的结构和性质有浓厚的兴趣,对“历史集”进行了大量的研究,得到了很多深刻的结果,见 [1] - [15] 。由Birkhoff遍历定理知,对任一T-不变测度 μ ,都有 μ ( H ( ϕ ) ) = 0 ,这意味着从测度范畴看,“历史集”是可以忽略不计的,因此,在动力系统和几何测度论中,人们一直认为“历史集”没有包含系统的本质信息,没有进一步研究的必要。然而文献 [5] 的研究结论彻底颠覆了这个观点,在大多数的系统中,特别是一致双曲系统中,“历史集”或者具有满的拓扑熵,或者具有满的Hausdorff维数,这表明“历史集”是一个很大的集合,在某种程度上包含了系统的所有信息。文献 [6] 证明了在有限型子转称斥子中“历史集”若非空,就具有满的Hausdorff维数,D. Tompson在 [7] 中证明了若系统有某些弱的Specification性质,则该系统中的“历史集”若非空,就具有满的拓扑压力。Barreira等在 [8] 中从拓扑观点研究“历史集”,证明了若有限型子位移具有弱的Specification性质,则该系统中的“历史集”只要不是空集,就是剩余集。

以上的文章研究的都是一致双曲系统中的“历史集”,他们证明了一致双曲系统中的“历史集”的拓扑熵,Hausdorff维数都具有“择一性”,即非空即满。在非一致双曲系统中,因为非双曲周期点的出现,使得非一致双曲系统的动力学行为比一致双曲系统更加复杂,因此关于非一致双曲系统的“历史集”,到目前为止,研究结果还比较少。文献 [9] 得到了一类非一致双曲系统中“饱和集”的拓扑熵的变分公式,并证明了在该类系统中“历史集”具有满拓扑熵的性质是C1稳定的。 [10] 中作者证明了在Lorenz流的一个俘获区中,“历史集”是剩余集。 [11] 中作者证明了在一类非一致扩张系统中,几乎可加势的“历史集”的Hausdorff维数具有“择一性”。

本文研究了一类一维非一致扩张系统中渐进可加势的“历史集”,证明了该类系统中渐进可加势的“历史集”的Hausdorff维数谱也具有“择一性”。下面介绍本文要研究的非一致扩张系统。

1.2. 系统与符号

本文考虑如下模型,令 T : i = 1 m I i [ 0 , 1 ] 是分段 C 1 + r 映射,其中 r > 0 I i ( i = 1 , 2 , , m ) [ 0 , 1 ] 的m个子区间,满足如下条件:

1、若 i j ,则 int ( I i ) int ( I j ) = ,本文中 int ( I i ) 指集合 I i 的内部;

2、对 1 i m T | I i : I i [ 0 , 1 ] C 1 + r 的满射,且存在唯一 x i I i 满足 T ( x i ) = x i T ( x i ) 1 。若 T ( x i ) = 1 ,则称 x i 为抛物不动点,否则称 x i 为扩张不动点;

3、若 x { x 1 , x 2 , , x m } ,则 T ( x ) > 1

抛物不动点的出现使本文考虑的系统和一致双曲系统有很大不同,在抛物不动点附近,系统的动力行为变得异常复杂。下面定义不变吸引子,

Λ : = { x j = 1 m I j | T n ( x ) I , n 0 } .

这类非一致双曲映射包含著名的Manneville-Pomeau映射,即 T : [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] T x = x + x 1 + β mod 1 ,其中 0 < β < 1

上述系统有一个自然的编码:对 i = 1 , , m ,令 T i T | I i : I i [ 0 , 1 ] 的逆映射。令 σ : Σ Σ 是左平映射,满足 σ ( ( ω n ) n 1 ) = ( ω n ) n 2 。定义编码映射 Π : Σ I 如下:

Π ( ω ) : = lim n T ω 1 T ω 2 T ω n ( [ 0 , 1 ] ) .

不难验证 Π ( Σ ) = Λ Π σ ( ω ) = T Π ( ω ) 。特别指出编码映射 Π 在除去至多可个点外是双射。

给定拓扑动力系统 ( X , T ) ,本文用 M ( X , T ) E ( X , T ) 分别表示X上T-不变Borel概率测度全体和遍历的T-不变Borel概率测度全体。下面介绍渐近可加势。

1.3. 渐近可加势

Φ = ( ϕ n ) n = 1 为一列定义在X上的连续函数,若对任意给定的 ε > 0 ,都存在 g ε C ( X , ) ,使得

lim sup n 1 n ϕ n S n g ε < ε ,

Φ 为渐近可加势,其中对给定的 f C ( X , ) f 是上确界范数。

Φ 满足下述条件,称 Φ 为可加势,对 n 1 m 1 x X ,都有 ϕ n + m ( x ) = ϕ n ( x ) + ϕ m ( T n x )

易见,若 Φ 为可加势,则 ϕ n ( x ) = i = 0 n 1 ϕ 1 ( T i x ) 。若 Φ 满足下述条件,称 Φ 为几乎可加势:

1、对每个 n 1 ϕ n : X 连续;

2、存在正常数 C ( Φ ) ,对任意给定的 n , p 和任意给定的 x X ,有下式成立,

| ϕ n + p ( x ) ϕ n ( x ) ϕ p ( T n x ) | C ( Φ ) .

其中 C ( Φ ) 为和 Φ 有关的常数。

对给定的渐进可加势 Φ = ( ϕ n ) n = 1 ,令 Η ( Φ ) : = { x X : lim n 1 n ϕ n ( x ) } Φ 的“历史集”。令 Φ * ( μ ) = lim n 1 n X ϕ n d μ ,由渐进可加势的定义,易证上述极限是存在的。令 Ω Φ = { Φ * ( μ ) : μ M ( X , T ) }

文献 [12] 中引理A.5证明了几乎可加势一定是渐近可加势,文献 [13] 中的例1给出了一个渐近可加势不是几乎可加势的例子,从而本文结论包含了文献 [11] 中的结果。

1.4. 主要结果

本文证明了如1.2节中定义的非一致扩张系统中渐近可加势的“历史集”的Hausdorff维数有“择一性”,依惯例用 dim H A 表示集合A的Hausdorff维数。

定理2.1:吸引子 Λ C 1 + γ 映射 T : Λ Λ 如1.2节中所定义, Φ 为渐近可加势,则下列情形有且仅有一个成立

1、 H ( Φ ) = 当且仅当 Ω Φ 是单点集;

2、 H ( Φ ) 当且仅当 dim H H ( Φ ) = dim H Λ

注1:在本文所研究的非一致扩张系统中,我们不确定T的 C 1 + γ 正则性假设是否可以减弱到C1条件。这对应于动力系统中一个著名的问题:双曲测度的Hausdorff维数是否可以任意逼近吸引子的维数。文献 [16] 中定理4.6表明,在T的每个逆映射是 C 1 + γ 的条件下,再加上一些几何的假设,该问题的答案是肯定的。文献 [17] 中研究结果表明,对 C 1 + Lip 可扩系统的极限集和传递Markov系统的极限集,该问题的答案也是肯定的。然而在非一致扩张系统中,在T仅有C1正则性的条件下,双曲测度的Hausdorff维数能否任意逼近吸引子的维数,仍然是动力系统的维数理论中一个开问题。文献 [18] 中提出在本文所考虑的非一致扩张系统中,T的C1正则性足以建立定理2.1,但未给出证明。

2. 记号和预备知识

本节引入一些记号和必要的引理。

A = { 1 , 2 , , m } Σ = A ,令 Σ n : = { w = w 1 w n | w i A } 是长为n的词的全体。 ω = { ω n } n = 1 Σ ,记 ω | n = ω 1 ω n 。对词 w Σ n ,令 [ w ] : = { ω Σ | ω | n = w } 是由w确定的长为n的柱集。对给定的连续函数 ϕ : Σ ,称

Var n ϕ : = sup ω | n = τ | n | ϕ n ( ω ) ϕ n ( τ ) |

ϕ 的n-级变差,同时令 ϕ : = sup τ Π | ϕ ( τ ) |

Λ ^ : = { x Λ | # { Π 1 ( x ) } = 2 } 表示吸引子中有两个编码的点,其中 # A 表示集合A的元素个数。在本文条件下, Λ ^ Π 1 Λ ^ 都是至多可数集, Π : Σ \ Π 1 Λ ^ Λ \ Λ ^ 是双射。对长为n的词 w = w 1 w 2 w n ,记 I w = T w 1 T w 2 T w n ( I ) ,对 ω Σ ,记 I n ( ω ) = I ω | n 。用 D n ( ω ) 表示 I n ( ω ) 的直径,同时令 g n ( ω ) : = log T ω 1 Π ( σ ω ) ,令

A n g ( ω ) : = 1 n i = 0 n 1 g ( T i ( ω ) ) .

由文献 [16] 的引理2.1和文献 [18] 引理1可知, A n g ( ω ) 可一致逼近 D n ( ω )

引理2.1:设T为1.2节所定义的非一致扩张映射,则 D n ( ω ) 一致收敛到0,且

lim n sup ω Σ { | 1 n log D n ( ω ) A n g ( ω ) | } = 0 .

λ ^ n ( ω ) = 1 n log D n ( ω ) ,对给定的σ-不变测度 μ ,令 λ ( μ , σ ) : = Σ g d μ μ 的Lyapunov指数, Π * μ : = μ Π 1 μ 的像测度。下面引理组合了文献 [18] 中的引理2和引理3,在定理2.1的证明中起着本质作用。

引理2.2:对任意给定的σ-不变测度 μ ,都存在遍历的σ-不变测度序列 { μ n : n 1 } ,使得 { μ n : n 1 } 依弱星拓扑收敛到 μ ,且

h ( μ n , σ ) h ( μ , σ ) , λ ( μ n , σ ) λ ( μ , σ ) .

下面引理表明映射 Φ * : M ( Σ , σ ) 是连续的。

引理2.3:给定渐进可加势 Φ μ 为σ-不变测度, { μ n } n = 1 M ( Σ , σ ) 且在弱星拓扑下收敛到 μ ,则有

lim n lim m 1 m ϕ m d μ n = lim m 1 m ϕ m d μ .

lim n Φ * ( μ n ) = Φ * ( μ )

3. 定理2.1的证明

首先有下述结论,若 Η ( Φ ) ,则有 # Ω Φ 2 。事实上,若 Η ( Φ ) ,取 x Η ( Φ ) ,令 α ¯ = lim sup n ϕ n ( x ) n α _ = lim inf n ϕ n ( x ) n ε = 1 6 ( α ¯ α _ ) ,则 ε > 0 ,由渐进可加势定义,存在连续函数h和正整数K,使得对任意给定的 n > K ,任意给定的 x X ,有

1 n | ϕ n ( x ) S n h ( x ) | < ε ,

存在自然数的子列 { n k } k = 1 ,使得 α ¯ = lim k ϕ n k ( x ) n k ,不妨设 lim k A n k h ( x ) 存在,否则用上极限代替。令 M ( X ) 为X上概率测度全体,因 M ( X ) 在弱星拓扑下是紧的,取 μ 为概率测度序列 { 1 n k i = 0 n k 1 δ T i x } k = 1 的聚点,其中 δ x 为Dirac测度,易证 μ M ( X , T ) 。则有

α ¯ X h d μ + ε lim n 1 n X ϕ n d μ + 2 ε = Φ * ( μ ) + 2 ε .

同理可证,存在 ν M ( X , T ) ,使得 Φ * ( ν ) α _ + 2 ε 。故有

Φ * ( ν ) α _ + 2 ε < α ¯ 2 ε Φ * ( μ ) ,即 Φ * ( ν ) Φ * ( μ ) .

Φ ^ = Φ Π ,易证 Ω Φ = Ω Φ ^ Η ( Φ ) = Π Η ( Φ ^ ) 。则定理1是下述引理的直接推论。

引理3.1:对任意给定的σ-不变测度 μ ν 满足 λ ( μ , σ ) > 0 λ ( ν , σ ) > 0 ,且 Φ ^ * ( μ ) Φ ^ * ( ν ) ,则有下式成立

dim H Η ( Φ ) min { h ( μ , σ ) λ ( μ , σ ) , h ( ν , σ ) λ ( ν , σ ) } .

因T是 C 1 + γ 连续,由文献 [16] 的定理4.6可知,

dim H Λ = sup μ M ( Σ , σ ) { h ( μ , σ ) λ ( μ , σ ) | λ ( μ , σ ) > 0 } .

故对任意给定的 ε > 0 ,都存在σ-不变测度 μ ,满足 h ( μ , σ ) / λ ( μ , σ ) dim H Λ ε 。记 α = Φ ^ * ( μ ) ,因 # Ω Φ 2 ,故存在σ-不变测度 ν 满足 Φ ^ * ( ν ) = β α 。对 0 < s < 1 ,令 μ s = s μ + ( 1 s ) ν ,则 Φ ^ * ( μ s ) α 。 由引理5,对所有 0 < s < 1 ,下式成立,

dim H Η ( Φ ) min { h ( μ , σ ) λ ( μ , σ ) , h ( μ s , σ ) λ ( μ s , σ ) } = min { h ( μ , σ ) λ ( μ , σ ) , s h ( μ , σ ) + ( 1 s ) h ( ν , σ ) s λ ( μ , σ ) + ( 1 s ) λ ( ν , σ ) } .

s 1 ,可得由 ε 的任意性,定理1得证。下面证明引理4。

引理3.1的证明融合了文献 [6] 中构造Moran集和文献 [18] 中拼接n级Bernoulli测度的方法。证明思路是在“历史集” Η ( Φ ^ ) 中构造一个Moran集M,使得渐进可加势的均值在Moran集的奇数层逼近 α ,偶数层逼近 β ,而且Moran集M的投影 Π M 的Hausdorff维数满足

dim H Π M min { h ( μ , σ ) λ ( μ , σ ) , h ( ν , σ ) λ ( ν , σ ) } .

为清晰起见,证明分以下6步:

步一:在奇数层构造Moran块

由引理2.1的结论,可以取到递减到0的序列 ( ε i ) i 1 且满足对所有的 n 2 i 1 ,有下列结论,

{ var n A n g < ε 2 i 1 , max ω Σ | λ ^ n ( ω ) A n g ( ω ) | < ε 2 i 1 . (1)

由引理2.2和引理2.3,可以选择一列σ-不变的遍历测度 ( μ 2 i 1 ) i 1 ,使得下式成立,

{ | h ( μ 2 i 1 , σ ) h ( μ , σ ) | < ε 2 i 1 , | Φ ^ * ( μ 2 i 1 ) α | < ε 2 i 1 , | λ ( μ 2 i 1 , σ ) λ ( μ , σ ) | < ε 2 i 1 . (2)

α 2 i 1 = Φ ^ * ( μ 2 i 1 ) ,注意到 μ 2 i 1 的遍历性,由Birkhoff遍历定理和Shanon-Mcmillan-Breiman定理,对 μ 2 i 1 a。e。的 ω Σ ,有下式成立,

{ ϕ ^ n ( ω ) n α , A n g ( ω ) λ ( μ 2 i 1 , σ ) , log μ 2 i 1 ( [ ω | n ] ) n h ( μ 2 i 1 , σ ) . (3)

对任意给定的 δ > 0 ,由Egoroff定理,存在 Ω ( 2 i 1 ) Σ 满足 μ 2 i 1 ( Ω ( 2 i 1 ) ) > 1 δ 且式(3)在 Ω ( 2 i 1 ) 上一致成立。故存在 l 2 i 1 2 i 1 ,使得对一切 n l 2 i - 1 ω Ω ( 2 i 1 ) ,有下式成立,

{ | 1 n ϕ ^ n ( ω ) α 2 i 1 | < ε 2 i 1 , | A n g ( ω ) λ ( μ 2 i 1 , σ ) | < ε 2 i 1 , | log μ 2 i 1 ( [ ω | n ] ) n h ( μ 2 i 1 , σ ) | < ε 2 i 1 . (4)

Σ ( 2 i 1 ) = { ω | l 2 i 1 | ω Ω ( 2 i 1 ) } ,称 为(2i-1)-级Moran块, Σ ( 2 i 1 ) 是构造Moran集的基本模块。再令

Ω ( 2 i 1 ) = ω Σ ( 2 i 1 ) [ ω ] ,

则有

μ 2 i 1 ( Ω ( 2 i 1 ) ) μ 2 i 1 ( Ω ( 2 i 1 ) ) 1 δ .

步二:在偶数层构造Moran块

此步完全类似于步一,为方便读者,给出完整步骤。对一切 n 2 i ,有下式成立,

{ var n A n g < ε 2 i , max ω Σ | λ ^ n ( ω ) A n g ( ω ) | < ε 2 i . (5)

由引理2.2和引理 2.3,可选择一列σ-不变的遍历测度 ( ν 2 i ) i 1 ,使得下式成立,

{ | h ( ν 2 i , σ ) h ( ν , σ ) | < ε 2 i , | Φ ^ * ( ν 2 i ) β | < ε 2 i , | λ ( ν 2 i , σ ) λ ( ν , σ ) | < ε 2 i . (6)

Φ ^ * ( ν 2 i ) = β 2 i ,由 ν 2 i 的遍历性可知,对 ν 2 i a..e.的 ω Σ 有下列结果,

{ ϕ ^ n ( ω ) n β 2 i , A n g ( ω ) λ ( ν 2 i , σ ) , log ν 2 i ( [ ω | n ] ) n h ( ν 2 i , σ ) . (7)

对任意给定的 δ > 0 ,存在 Ω ( 2 i ) Σ 满足 ν 2 i ( Ω ( 2 i ) ) > 1 δ ,而且存在 l 2 i 2 i ,使得对一切 n l 2 i ω Ω ( 2 i ) ,有下述结论,

{ | 1 n ϕ ^ n ( ω ) β 2 i | < ε 2 i , | A n g ( ω ) λ ( ν 2 i , σ ) | < ε 2 i , | log ν 2 i ( [ ω | n ] ) n h ( ν 2 i , σ ) | < ε 2 i . (8)

Σ ( 2 i ) = { ω | l 2 i | ω Ω ( 2 i ) } , Ω ( 2 i ) = w Σ ( 2 i ) [ w ]

则有 ν 2 i ( Ω ( 2 i ) ) ν 2 i ( Ω ( 2 i ) ) 1 δ 。式(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8)在下面的证明中是必要的,第4步中证明Moran集在编码映射 Π 下的投影含于“历史集” Η ( Φ ) 和第6步中估计Moran测度的Hausdorff维数下界时将要用到这些式子。

步三:拼接Moran集

N 0 = 1 ,对 i 1 ,令 N i = 2 l i + 2 + N i 1 N i 是在第i层把Moran块重复拼砌的次数。令Moran集M为下述集合,

Σ ( 1 ) Σ ( 1 ) N 1 Σ ( i ) Σ ( i ) N i .

N i 的选择在估计Moran集的Hausdorff维数时是至关重要的。

步四:Moran集包含在“历史集”中

本步证明Moran集M的投影 Π M 落在“历史集” Η ( Φ ) 中。

j 1 ,令 n j = i = 1 j l i N i ,固定 ω M ,注意到

lim j l 2 N 2 + l 4 N 4 + + l 2 j N 2 j n 2 j + 1 = 0 .

利用式(1),(2),(4),(5),(6),(8),直接计算可得下面结论,

lim j ϕ ^ n 2 j + 1 ( ω ) n 2 j + 1 = α , lim j ϕ ^ n 2 j ( ω ) n 2 j = β

这表明 Π M Η ( Φ )

步五:构造Moran测度

为简单起见,把Moran块 Σ ( i ) 重新编号,构造测度 η ,称 η 为Moran测度,同时得到两个重要的关系式(9),(10),这两个式子在第六步中估计Moran测度 η 的Hausdorff维数时是必要的。

为便于计算,当i为奇数时,令 η i = μ i ,当i为偶数时,令 η i = ν i 。把如下整数序列

l 1 l 1 N 1 l i l i N i

重新记为 ( l i * ) i 1 。把如下Moran块序列

Σ ( 1 ) Σ ( 1 ) N 1 Σ ( i ) Σ ( i ) N i

重新记为 { Σ * ( i ) | i 1 } 。同样地,可得到如下序列 { Ω * ( i ) | i 1 } { Ω * ( i ) | i 1 } { η i * | i 1 } { ε i * | i 1 } 。 对任意给定的 n 1 ,存在唯一正整数 J ( n ) ,使得

i = 1 J ( n ) l i * n < i = 1 J ( n ) + 1 l i * ;

同样存在唯一正整数 r ( n ) ,使得

i = 1 r ( n ) N i J ( n ) < i = 1 r ( n ) + 1 N i .

这里, J ( n ) 表示n在序列 ( l i * ) i 1 中位于哪一层, r ( n ) 表示 在序列 ( N i ) i 1 中位于哪一层,同时 r ( n ) 也表明n位于Moran集M的第 r ( n ) 层和第 r ( n ) + 1 层之间。由 J ( n ) 的定义,可知下式成立,

J ( n ) J ( n + 1 ) J ( n ) + 1 , l J ( n ) + 1 * = l r ( n ) + 1 l J ( n ) + 2 * l r ( n ) + 2 9)

j = 1 , 2 ,有

l J ( n ) + j * i = 1 J ( n ) l i * l r ( n ) + j N r ( n ) l r ( n ) ,

注意到对 i 1 , N i = 2 l i + 2 + N i 1 ,可知下式成立,

l J ( n ) + j * i = 1 J ( n ) l i * 0 , i = 1 J ( n ) + 1 l i * i = 1 J ( n ) l i * 1 (10)

现在定义Moran测度。对 ω * ( i ) ,令

ρ ω i = η i * [ ω ] η i * ( Ω * ( i ) ) .

易见 ω * ( i ) ρ ω i = 1 。记 C n : = { [ ω ] : ω i = 1 n * ( i ) } ,其中 i = 1 n * ( i ) 表示 * ( i ) 的拼接。记 σ ( { C n : n 1 } ) { C n : n 1 } 生成的σ-代数。对 [ w ] = [ w 1 w n ] C n ,令

η ^ ( [ w ] ) : = i = 1 n ρ w i i ,

其中 i = 1 n ρ w i i 表示 ρ w i i 的乘积。记 η η ^ 到M的所有Borel子集的Kolmogrov扩张。 η 自然是 Σ 上的测度,由 η 的构造可知 η 支撑在M上。

步六:估计Moran测度的Hausdorff维数下界

本步证明下式成立,对一切 x Π M ,有

lim inf r 0 log Π * η B ( x , r ) log r min { h ( μ , σ ) λ ( μ , σ ) , h ( ν , σ ) λ ( ν , σ ) } (11)

由(11)式可知, dim H Π * η min { h ( μ , σ ) λ ( μ , σ ) , h ( ν , σ ) λ ( ν , σ ) } ,其中 lim inf r 0 log Π * η B ( x , r ) log r 是测度 Π * η 在点x的下局部维数,

dim H Π * η : = sup { s 0 | lim inf r 0 log Π * η B ( x , r ) log r s Π * η a .e . x Λ }

是测度 Π * η 的Hausdorff维数,这部分内容读者可参看Falconer的专著 [19] 的第10章。注意到 Η ( Φ ) Π M η 支撑在M上,故有

dim H Η ( Φ ) dim H Π M dim H Π * η min { h ( μ , σ ) λ ( μ , σ ) , h ( ν , σ ) λ ( ν , σ ) } .

引理5得证。下面证明式(11)成立。

固定 ω M ,先估计 D n ( ω ) 的下界。当i为奇数时,令 τ i = μ ,当i为偶数时,令 τ i = ν 。注意到 D n ( ω ) = e n λ ^ n ( ω ) ,下面估计 λ ^ n ( ω ) 。利用式(1),(4),(2)和(5),(6),(8),直接计算可得

n λ ^ n ( ω ) i = 1 J ( n ) l i * ( λ ( τ i , σ ) + 4 ε i * ) + l J ( n ) + 1 * ( g + ε J ( n ) * ) : = ρ ( n ) .

易见 ρ ( n ) 是单调递增的,而且有 D n ( ω ) e ρ ( n )

现在固定 x Π M 和小的实数 r > 0 ,则存在唯一 n = n ( r ) ,使得

e ρ ( n + 1 ) r < e ρ ( n ) (12)

回顾对 ω Σ I n ( ω ) = T ω 1 T ω 2 T ω n ( I ) ,令

C : = { I n ( ω ) | ω M I n ( ω ) B ( x , r ) } .

D n ( ω ) e ρ ( n ) 可知C至多含有3个元素。任取 ω M 满足 I n ( ω ) C ,则 ω | n = w 1 w 2 w J ( n ) v ,其中,v是 Σ * ( J ( n ) + 1 ) 中元素 v ^ 的前缀,则有

Π * η ( I n ( ω ) ) = i = 1 J ( n ) η i * ( [ w i ] ) η i * ( Ω * ( i ) ) η J ( n ) + 1 * ( [ v ] ) η J ( n ) + 1 * ( Ω * ( J ( n ) + 1 ) ) ( 1 δ ) J ( n ) 1 i = 1 J ( n ) η i * ( [ w i ] ) .

故有

log Π * η ( B ( x , r ) ) i = 1 J ( n ) l i * ( log η i * ( [ w i ] ) l i * ) ( J ( n ) + 1 ) log ( 1 δ ) + log 3 i = 1 J ( n ) l i * ( h ( τ i , σ ) 2 ε i * ) ( J ( n ) + 1 ) log ( 1 δ ) + log 3 .

其中第2个不等式利用了(2),(4)和(6),(8)。由(12)式,同时注意到 r 0 当且仅当 n ,则有

lim inf r 0 log Π * η ( B ( x , r ) ) log r lim inf n i = 1 J ( n ) l i * ( h ( τ i , σ ) 2 ε i * ) + ( J ( n ) + 1 ) log ( 1 δ ) log 3 i = 1 J ( n + 1 ) l i * ( λ ( τ i , σ ) + 4 ε i * ) + l J ( n + 1 ) + 1 * ( g + ε J ( n + 1 ) + 1 * ) = lim inf n i = 1 J ( n ) l i * ( h ( τ i , σ ) 2 ε i * ) i = 1 J ( n ) l i * ( λ ( τ i , σ ) + 4 ε i * ) lim inf n i = 1 J ( n ) l i * ( λ ( τ i , σ ) + 4 ε i * ) min { h ( μ , σ ) 2 ε i * λ ( μ , σ ) + 4 ε i * , h ( ν , σ ) 2 ε i * λ ( ν , σ ) + 4 ε i * } i = 1 J ( n ) l i * ( λ ( τ i , σ ) + 4 ε i * ) min { h ( μ , σ ) λ ( μ , σ ) , h ( ν , σ ) λ ( ν , σ ) }

其中等号利用了式(9)和(10),最后一个不等式利用了下述事实:

( a n ) n = 1 ( b n ) n = 1 和是两个正实数序列,则有

lim inf n k = 1 n a k k = 1 n b k lim inf n a n b n .

(11)式得证。

基金项目

河南省高等学校重点科研项目,项目编号:18A110007;安阳师范学院科研培育基金,项目编号:AYNUKP-2017-B21。

文章引用:
彭桐辉, 王亚琳, 徐玲芳, 马冠忠. 渐近可加势的“历史集”的Hausdorff维数谱[J]. 理论数学, 2018, 8(6): 688-698. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86093

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