一类传染病模型阶段性感染的全局稳定性

Global Dynamics of a Staged Progression Model for Infectious Diseases

摘要: 本文讨论了一类传染病数学模型，分析了受感染宿主在不同阶段感染的情形，如由HIV病毒引起的艾滋病。对于其有双线性发生率的n阶段模型(SP)，本文证明了此类传染病模型的全局稳定性完全由基本再生数R₀决定，若R₀ ≤ 1，则无病平衡点P₀是全局渐进稳定，并且疾病会消失；若R₀ > 1，P₀是不稳定的，且唯一的地方性平衡点P*是渐进稳定的。

Abstract: We analyze a mathematical model for infectious diseases that progress through distinct stages within infected hosts. An example of such a disease is AID, which results from HIV infection. For a general n-stage stage-progression (SP) model with bilinear incidences, we prove that the global dynamics are completely determined by the basic reproduction number R₀: If R₀ ≤ 1, then the dis-ease-free equilibrium P₀ is globally asymptotically stable and the disease always dies out. If R₀ > 1; P₀ is unstable, and a unique endemic equilibrium P* is globally asymptotically stable, and the dis-ease persists at the endemic equilibrium. The basic reproduction number for the SP model with density dependent incidence forms are also discussed.

1. 引言

艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起。HIV是一种能攻击人体免疫系统的病毒。它把人体免疫系统中最重要的T淋巴细胞作为主要攻击目标，大量破坏该细胞，使人体丧失免疫功能。近年来，人们易感染到此类传染病，使得人们的生活受到了极大的影响，所以研究此类传染病模型具有极其重要的意义。在本文中主要建立了SP模型,求出模型的基本再生数以及平衡点并根据基本再生数证明出在平衡点处全局渐进稳定性。

2. 模型的建立

在文献 [1] [2] 中的马尔可夫链模式阶段模型中，建立了时间传染性的多变性模型，同时分析了SP模型。为表示一类SP模型，总体可分为：易受感染者记为S，受感染者记为 $I_i$ ， $I_i$ 表示的是疾病进展到第i阶段的人，其中 $i=1,2,\cdots ,n$ ，极限记为A ${\delta }_i$ 是从第i到 $i+1$ 阶段的连续平均率， $i=1,2,\cdots ,n-1$ ， ${\delta }_n$ 是从第n阶段到疾病最终阶段的连续平均率。若在最终部分由于不活跃是没有感染疾病的，至于AIDS，有着活跃着的AIDS的人组成了最终部分，AIDS病人是典型地要么变得性方面不活跃，要么与感染过程隔离，他们的传染是可以忽略的。假设疾病不会痊愈，那么唯一离开的部分是A死的。 ${\lambda }_i$ 为 $I_i$ 中一个易受

感染的传染系数。完整的发生率是根据 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i}{I}_{i}Sf\left(N\right)$ ，完全活跃人口 $N=I_1+I_2+\cdots +I_n$ 。这里假设发病

率的密度函数 $f\left(N\right)=N^{-\alpha }$ ， $0\le \alpha \le 1$ 。其中包含两类普遍的发病形式：标准发病率形式 $\left(\alpha =1\right)$ 和双线性发病率 $\left(\alpha =0\right)$ 。易受感染人群的平均死亡率为 ${\alpha }_0$ ， $I_i$ 的 ${\alpha }_i$ 包括由于感染死亡的，极限A中的是 ${\alpha }_A$ 。在各部分之间的人口流动转化如图1所示。假设易受影响的人群是恒定的 $\Lambda$ ，并假设模型中的参数都为正的。

Figure 1. Population flow conversion map

图1. 人口流动转化图

基于文中假设和转化图，n阶SP模型如下:

$\{\begin{array}{l}{S}^{\prime }=\Lambda -{\alpha }_{0}S-\lambda S\\ {I^{\prime }}_1=\lambda S-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)I_1\\ {I^{\prime }}_i={\delta }_{i-1}{I}_{i-1}-\left({\alpha }_i+{\delta }_i\right)I_i\\ A^{\prime }={\delta }_n{I}_n-{\alpha }_{n}A\end{array}$ ， $i=1,2,\cdots ,n$ 。 (1)

这个发病率的形式为 $\lambda S$ ，它的传染率为

$f\left(N\right)\le 0$ ， $\lambda =f\left(N\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i}$ (2)

是密度制约。

假设函数 $f\left(N\right)$ 满足：

$N>0$ ， $f\left(N\right)>0$ ， $\left|N{f}^{\prime }\left(N\right)\right|\le f\left(N\right)$ (H)

并且 $Nf\left(N\right)$ 是单调递增的。

若 $f\left(N\right)>0$ 且 $f^{\prime }\left(N\right)\le 0$ ，随着人数的增加，易受影响的可能性减小，因此传染力有可能是关于N的递减函数。其余两种情况可以利用分析所需要的f，它被证实 $f\left(N\right)=N^{-\alpha }$ ， $0\le \alpha \le 1$ 满足条件(H)、这个包括标准发病率( $\alpha =1$ )和双线性发病率( $\alpha =0$ )。把(1)中的方程式相加，可以得到： $N^{\prime }=\Lambda -{\alpha }_{0}S-{\alpha }_1{I}_1-\cdots -{\alpha }_n{I}_n-{\delta }_n{I}_n\le \Lambda -\alpha N$ ，其中 $\alpha =\min \left\{{\alpha }_0,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\right\}$ ，令 $N^{\prime }=0$ 可以得到

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sup N\left(t\right)\le \frac{\Lambda }{\alpha }$ 。同样的，从(1)中的第一个方程式得到 $S^{\prime }\le \Lambda -{\alpha }_{0}S$ ，因此有 $\underset{n\to \infty }{\lim }S\left(t\right)\le \frac{\Lambda }{{\alpha }_0}$ 。对(1)而言，它的可行域为闭集。 $T^{\prime }=\left\{\left(S,I_1,\cdots ,I_n\right)\in R_{+}^{n+1}:0\le S\le \frac{\Lambda }{{\alpha }_0},0\le S+I_1+\cdots +I_n\le \frac{\Lambda }{\alpha }\right\}$ ，由此可知平衡点的正性。模型(1)中的基本再生数为

$R_0=\left[\frac{{\lambda }_1}{{\alpha }_1+{\delta }_1}+\frac{{\lambda }_2}{{\alpha }_1+{\delta }_1}\frac{{\delta }_1}{{\alpha }_2+{\delta }_2}+\cdots +\frac{{\lambda }_n}{{\alpha }_1+{\delta }_1}\frac{{\delta }_1}{{\alpha }_2+{\delta }_2}+\cdots +\frac{{\delta }_{n-1}}{{\alpha }_n+{\delta }_n}\right]\frac{\Lambda }{{\alpha }_0}f\left(\frac{\Lambda }{{\alpha }_0}\right)$ (3)

3. 地方病平衡点P^*的稳定性

方程(1)中的一个平衡点总满足

$\{\begin{array}{l}0=\Lambda -{\alpha }_{0}S-\lambda S\\ 0=\lambda S-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)I_1\\ 0={\delta }_{i-1}{I}_{i-1}-\left({\alpha }_i+{\delta }_i\right)I_i\text{,}i=2,\cdots ,n\end{array}$ (4)

其中 $\lambda$ 在(2)中以给出。

无病平衡点 $P_0$ 中的参数值都为正的，接下来我们考虑地方病平衡点的存在。

$P^{*}=\left(S^{*},I_1{}^{*},\cdots ,I_n{}^{*}\right),S^{*}>0,I_i{}^{*}>0,i=1,2,\cdots ,n$

$A=\left(\begin{array}{ccccc}-{\alpha }_1-{\delta }_1& & & & \\ {\delta }_1& -{\alpha }_2-{\delta }_2& & & \\ & {\delta }_2& -{\alpha }_3-{\delta }_3& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & {\delta }_{n-1}& -{\alpha }_n-{\delta }_n\end{array}\right)$ (5)

矩阵A成立有以下结论：

1) $-A$ 是一个M矩阵

2) $-A^{-1}$ 存在且是一个非负矩阵

3) 若存在 $\alpha >0$ ，有 $-A^{-1}x\ge \alpha x\Rightarrow x\ge 0$

因此可令

$\beta =-\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)A^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)>0$ (6)

令(1)的基本再生数

$R_0=\beta \frac{\Lambda }{{\alpha }_0}f\left(\frac{\Lambda }{{\alpha }_0}\right)$ (7)

若 $R_0\le 1$ ，疾病将会消失。若 $R_0>1$ 时，疾病将继续存在于可行域中并且会有一个唯一的地方病平衡点，像这种临界值参数的期望是基本再生数。传染病的平均数且是由无病平衡点在人口方面的单一感染造成的( [3] [4] [5] [6] )。因此将(7)中R₀定义为基本再生数。R₀的引出是利用李雅普诺夫函数建立在无病平衡点P₀的稳定分析(见 [5] )。其它引出R₀的方法中，其中有二代模型矩阵在 [3] 中的方法，在 [6] 中被引进。这个引出建立在P₀的线性稳定分析下(见 [4] )。接下来，给出下一代模型矩阵的方法，与 [6] 中表示一样，是为了引出与(7)中的相同的基本再生数R₀。

令 $y={\left(I_1,I_2,\cdots ,I_n,S\right)}^{\text{T}}$

因此模型(1)可以写为 $y^{\prime }=F\left(y\right)+V\left(y\right)$ ，

其中 $F\left(y\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda S\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ， $V\left(y\right)=\left(\begin{array}{c}-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)I_1\\ {\delta }_1{I}_1-\left({\alpha }_2+{\delta }_2\right)I_2\\ ⋮\\ {\delta }_{n-1}{I}_{n-1}-\left({\alpha }_n+{\delta }_n\right)I_n\\ \Lambda -{\alpha }_{0}S-{\lambda }_0\end{array}\right)$ 。

新的无病平衡点 ${\tilde{P}}_0=\left(\begin{array}{c}0,0,\cdots ,0,\frac{\Lambda }{{\alpha }_0}\end{array}\right)$ ， $\frac{\partial F}{\partial y}\left({\tilde{P}}_0\right)=\left(\begin{array}{cc}{F}_{n\times n}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ ，

其中 $F_{n\times n}=\left(\begin{array}{cccc}-{\lambda }_1& -{\lambda }_2& \cdots & -{\lambda }_n\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0\end{array}\right)g\left(\frac{\Lambda }{{\alpha }_0}\right)$ ，且 $g\left(N\right)=Nf\left(N\right)$ 。

此外 $\frac{\partial V}{\partial y}\left({\tilde{P}}_0\right)=\left(\begin{array}{cc}{V}_{n\times n}& \begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\end{array}\\ \begin{array}{ccc}-{\lambda }_{1}g\left(\frac{\Lambda }{{\alpha }_0}\right)& \cdots & -{\lambda }_{n}g\left(\frac{\Lambda }{{\alpha }_0}\right)\end{array}& -{\alpha }_n\end{array}\right)$ ，

这里的 $V_{n\times n}$ 为矩阵(5)中的A，

有 $F{V}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \cdots & c_n\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)g\left(\frac{\Lambda }{{\alpha }_0}\right)$ 。

在文献 [6] 中基本再生数为 $F{V}^{-1}$ 的谱半径 $\rho \left(F{V}^{-1}\right)$ ，易得

$\rho \left(F{V}^{-1}\right)=c_{1}g\left(\frac{\Lambda }{{\alpha }_0}\right)=\beta \frac{\Lambda }{{\alpha }_0}f\left(\frac{\Lambda }{{\alpha }_0}\right)$ 与公式(7)给出 $R_0$ 相同。

$-A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& 0& 0& 0\\ c_{21}& c_{22}& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & 0\\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right)$ (8)

其中 $c_{ij}$ 有以下表示 $c_{ii}=\frac{1}{{\alpha }_i+{\delta }_i},i=1,2,\cdots ,n$ 。

$c_{kj}=\frac{{\delta }_{k-1}}{{\alpha }_k+{\delta }_k}{c}_{\left(k-i\right)i},i=1,2,\cdots ,n;k=2,\cdots ,n;k\ne i$ ，所以有

$R_0=\left(\frac{{\lambda }_1}{{\alpha }_1+{\delta }_1}+\frac{{\lambda }_2}{{\alpha }_1+{\delta }_1}\frac{{\delta }_1}{{\alpha }_2+{\delta }_2}+\frac{{\lambda }_n}{{\alpha }_1+{\delta }_1}\frac{{\delta }_1}{{\alpha }_2+{\delta }_n}\cdots \frac{{\delta }_{n-1}}{{\alpha }_2+{\delta }_n}\right)\frac{\Lambda }{{\alpha }_0}f\left(\frac{\Lambda }{{\alpha }_0}\right)$ (9)

定理 假设 $f\left(N\right)\equiv 1$ 且 $R_0>1$ 。则地方病平衡点是渐进稳定的。

证明 对于 $P^{*}=\left(S^{*},I_1^{*},\cdots ,I_n^{*}\right)$ ，重写平衡方程为

$\{\begin{array}{l}\Lambda ={\alpha }_0{S}^{*}+\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}}\right)S^{*}\\ {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}{S}^{*}}=\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)I_1^{*}\\ {\delta }_{i-1}{I}_{i-1}^{*}=\left({\alpha }_i+{\delta }_i\right)I_i^{*}\text{,}i=2,\cdots ,n\end{array}$ (10)

有：

$S^{*}=\frac{\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)I_1^{*}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}}}$ (11)

$I_i^{*}=\frac{{\delta }_{i-1}{I}_{i-1}^{*}}{{\alpha }_i+{\delta }_i}\text{,}i=2,3,\cdots ,n$ (12)

其中 $x^{*}=P^{*}=\left(S^{*},I_1^{*},\cdots ,I_n^{*}\right)$ 并且 $b_i>0$ 且

$b_i=\frac{b_{i+1}{\delta }_i+{\lambda }_i{S}^{*}}{{\alpha }_i+{\delta }_i},i=2,3,\cdots ,n-1$ ， $b_n=\frac{{\lambda }_n{s}^{*}}{{\alpha }_n+{\delta }_n}$ (13)

$W\left(x\right)\ge 0,\forall x\in P$ 在P的内部且 $W\left(x\right)=0$ ，有 $x=x^{*}$ 。

函数W关于 $x^{*}=P^{*}$ 是正定的，归纳(13)有

$b_i=\frac{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_k{I}_k^{*}{S}^{*}}}{\left({\alpha }_i+{\delta }_i\right)I_i^{*}},i=2,3,\cdots ,n$ (14)

注意到

$\frac{\text{d}W}{\text{d}t}=\left(1-\frac{S^{*}}{S}\right)S^{\prime }+\left(1-\frac{I_1^{*}}{I_1}\right){I^{\prime }}_1+{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}{b}_i}\left(1-\frac{I_i^{*}}{I_i}\right)I_1^{*}$ (15)

由(1)可得

$\begin{array}{l}\left(1-\frac{S^{*}}{S}\right)S^{\prime }\\ =\Lambda -{\alpha }_{0}S-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_{i}S-}\frac{\Lambda S^{*}}{S}+{\alpha }_0{S}^{*}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i{S}^{*}}\\ =2{\alpha }_0{S}^{*}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}{S}^{*}}-{\alpha }_{0}S-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_{i}S-}\frac{{\alpha }_0{S}^{*}{}^2}{S}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}}\frac{S^{*}{}^2}{S}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i}{S}^{*}\\ =\left(2{\alpha }_0{S}^{*}-{\alpha }_{0}S-\frac{{\alpha }_0{S}^{*}{}^2}{S}\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_{i}S+}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i}{S}^{*}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}}{S}^{*}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}}\frac{S^{*}{}^2}{S}\\ \le -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_{i}S+}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i}{S}^{*}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}}{S}^{*}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}}\frac{S^{*}{}^2}{S}\end{array}$ (16)

因为 $\left(2{\alpha }_0{S}^{*}-{\alpha }_{0}S-\frac{{\alpha }_0{S}^{{*}^2}}{S}\right)={\alpha }_0{S}^{*}\left(2-\frac{S}{S^{*}}-\frac{S^{*}}{S}\right)\le 0$ 。

我们将(18)中的 $\Lambda$ 代人到上述推导的第二步中，利用(1)，可得到

$\begin{array}{c}\left(1-\frac{I_1^{*}}{I_1}\right){I^{\prime }}_1={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i}{I}_{i}S-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)I_1-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i}{I}_{i}S\frac{I_1^{*}}{I_1}+\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)I_1^{*}\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i}{I}_{i}S-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)I_1-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i}{I}_{i}S\frac{I_1^{*}}{I_1}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i}{I}_i^{*}{S}^{*}\end{array}$ (17)

其中 $i=2,3,\cdots ,n$ 。由(1)有

$b_i\left(1-\frac{I_1^{*}}{I_1}\right){I^{\prime }}_1=b_i{\delta }_{i-1}{I}_{i-1}-b_i\left({\alpha }_i+{\delta }_i\right)I_i-\frac{b_i{\delta }_{i-1}{I}_{i-1}{I}_i^{*}}{I_i}+b_i\left({\alpha }_i+{\delta }_i\right)I_1^{*}$ (18)

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i}{I}_i{S}^{*}-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)I_1+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(b_i{\delta }_{i-1}{I}_{i-1}-b_i\left({\alpha }_i+{\delta }_i\right)I_i\right)}\\ ={\lambda }_1{I}_1{S}^{*}-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)I_1+{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}\left({\lambda }_i{I}_i{S}^{*}+b_i{\delta }_{i-1}{I}_{i-1}-b_i\left({\alpha }_i+{\delta }_i\right)I_i\right)}\\ =\left({\lambda }_1{S}^{*}-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)+b_2{\delta }_1\right)I_1+{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n-1}{\sum }}\left({\lambda }_i{S}^{*}+b_{i+1}{\delta }_i-b_i\left({\alpha }_i+{\delta }_i\right)\right)I_i+}\left({\lambda }_n{S}^{*}-b_n\left({\alpha }_n+{\delta }_n\right)\right)I_n\\ =0\end{array}$ (19)

用(13)中 ${\delta }_i$ 的归纳直接验证上述式子为0。

$\begin{array}{l}{\lambda }_1{S}^{*}-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)+b_2{\delta }_1\\ ={\lambda }_1{S}^{*}+\frac{{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_k{I}_k^{*}{S}^{*}}}{\left({\alpha }_2+{\delta }_2\right)I_2^{*}}{\delta }_1-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)={\lambda }_1{S}^{*}+{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_k{I}_k^{*}{S}^{*}}\frac{{\delta }_1}{{\delta }_1{I}_1^{*}}-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)\\ ={\lambda }_1{S}^{*}+{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_k{I}_k^{*}{S}^{*}}\frac{1}{I_1^{*}}-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)=\frac{1}{I_1^{*}}\left[{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_k{I}_k^{*}{S}^{*}}-\left({\alpha }_1+{\delta }_1\right)I_1^{*}\right]\\ =0\end{array}$

联立(16)~(19)。可简化(15)为

$\frac{\text{d}W}{\text{d}x}\le \left(-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}\frac{S^{*}}{S}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_{i}S\frac{I_1^{*}}{I_1}}}-{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}\frac{b_i{\delta }_{i-1}{I}_{i-1}{I}_i^{*}}{I_i}}\right)+\left({\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}{b}_i\left({\alpha }_i+{\delta }_i\right)I_i^{*}}+2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}{S}^{*}}\right)=A+B$ (20)

由(12)，(14)，有

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}\frac{b_i{\delta }_{i-1}{I}_{i-1}{I}_i^{*}}{I_i}}={\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}\frac{{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_k{I}_k^{*}{S}^{*}}}{\left({\alpha }_i+{\delta }_i\right)I_i^{*}}\frac{{\delta }_{i-1}{I}_{i-1}{I}_i^{*}}{I_i}}={\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=i}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_k{I}_k^{*}{S}^{*}\frac{{\delta }_{i-1}{I}_{i-1}}{\left({\alpha }_i+{\delta }_i\right)I_i}}}\\ ={\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=i}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_k{I}_k^{**}}}\frac{I_i^{*}{I}_{i-1}}{I_{i-1}^{*}{I}_i}={\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}{S}^{*}}{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{i}{\sum }}\frac{I_k^{*}{I}_{k-1}}{I_k{I}_{k-1}^{*}}}\end{array}$ (21)

因此，由(20)，(21)有：

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}W}{\text{d}t}\le {\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}\left[\left(i+1\right){\lambda }_i{I}_i^{*}{s}^{*}-{\lambda }_i{I}_i^{*}\frac{S^{*}}{S}-{\lambda }_i{I}_{i}S\frac{I_1^{*}}{I_1}-{\lambda }_i{I}_i{}^{*}{S}^{*}{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{i}{\sum }}\frac{I_k^{*}{I}_{k-1}}{I_k{I}_{k-1}^{*}}}\right]}\\ ={\displaystyle \underset{i=2}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_i{I}_i^{*}{S}^{*}\left[\left(i+1\right)-\frac{S^{*}}{S}-\frac{S{I}_i{I}_1^{*}}{S^{*}{I}_i^{*}{I}_1}-{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{i}{\sum }}\frac{I_k^{*}{I}_{k-1}}{I_k{I}_{k-1}^{*}}}\right]}\end{array}$ (22)

对于 $\forall i$ ，有：

$-\frac{S^{*}}{S}-\frac{S{I}_i{I}_1^{*}}{S^{*}{I}_i^{*}{I}_1}-{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{i}{\sum }}\frac{I_k^{*}{I}_{k-1}}{I_k{I}_{k-1}^{*}}\le -}\left(i+1\right)$ (23)

因此，对于 $Int\Gamma$ 的任意点 $\left(S\left(t\right),I_1\left(t\right),I_2\left(t\right),\cdots ,I_n\left(t\right)\right)$ ，由(23)可得 $\frac{\text{d}W}{\text{d}t}\le 0$ ，当 $\frac{\text{d}W}{\text{d}t}=0$ 时，有且只有地方病平衡点 $P^{*}$ 。

4. 总结

本文研究的是一类传染病模型阶段性感染的全局稳定性，主要考虑SP模型，得到解的正性和有界性，进而得到无病平衡点与地方病平衡点，再求出基本再生数 $R_0$ ，当 $R_0<1$ 时，无病平衡点全局稳定；当 $R_0>1$ 时，构造一个李雅普诺夫函数，对此函数求导，当导数小于等于0时，地方性平衡点全局稳定，其中导数等于0，存在唯一的地方性平衡点。