Atkinson类型的具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的逆谱问题

Inverse Sturm-Liouville Problems with Distribution Potentials of Atkinson Type

摘要: 本文研究了Atkinson类型的具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的逆谱问题，利用Jacobi矩阵和循环Jacobi矩阵的逆特征值问题的结论得到重构此类Sturm-Liouville问题的结论。

Abstract: In this paper, the inverse Sturm-Liouville problems with distribution potentials of Atkinson type are studied. We use the conclusions of the inverse eigenvalue problems of Jacobi matrix and cyclic Jacobi matrix to obtain the corresponding inverse Sturm-Liouville problems with distribution po-tentials which have a finite spectrum.

1. 引言

逆问题是Sturm-Liouville (S-L)理论体系中的一个重要组成部分，而其中一类很重要的研究内容就是S-L算子的逆谱问题。由于特征值是最易测取的物理量(在力学与振动问题中，它对应着物理模型中的固有频率)，尤其在量子力学中，特征值(或称为本征值，点谱)是唯一可以观测到的物理量，它描述的是量子体系中的粒子处于某个状态时的能量，所以由怎样的纯特征值信息确定并重构S-L系统就显得尤为重要。

对于经典的S-L理论下的逆谱问题，是利用无穷多个谱点的信息来重构S-L系统。1964年，Atkinson提出了二阶的S-L问题在某些条件下可能存在有限谱 [1] 。2001年，Kong，Wu和Zettl证实了Atkinson论断的合理性 [2] ，由此展开了有限谱问题(也称为Atkinson类型问题)的研究。2007年，Volkmer和Zettl考虑了Dirichlet边界条件下具有Atkinson类型的S-L问题的逆谱问题 [3] ，虽然研究的边界条件极为特殊，但这一研究成果为后续逆谱问题的研究迈出了重要的一步。2009年，Kong，Volkmer和Zettl得到了自共轭边界条件下具有有限谱的S-L问题的矩阵表示 [4] 。2012年，Kong和Zettl得到了这类具有有限谱的S-L逆谱问题的结论 [5] ，他们利用 [6] 中矩阵逆特征值问题的结论并将其推广，给出Atkinson类型的S-L问题的逆谱问题。

2015年，闫军在其博士论文中详细介绍了具有分布势函数的S-L问题的有限谱理论 [7] ，给出了具有分布势函数的S-L问题的矩阵表示。2016年，唐松林在其硕士论文中也对具有分布势函数的S-L问题的多种带有转移条件的情况进行研究 [8] 。近年来，具有分布势函数的S-L问题引起了一大批数学工作者的关注与讨论，相关成果可参见 [9] [10] [11] [12] 。

2. 预备知识

本文主要利用具有分布势函数的Atkinson类型的Sturm-Liouville (S-L)问题与矩阵特征值问题

$VX=\lambda WX,$ (1)

之间的等价关系。通过讨论矩阵的逆特征值问题，进而得到Atkinson类型的具有分布势函数的S-L问题的逆谱问题的结论。

考虑如下的S-L方程

$-{\left(p\left[y^{\prime }+sy\right]\right)}^{\prime }+sp\left[y^{\prime }+sy\right]+qy=\lambda wy,I=\left(a,b\right),-\infty <a<b<+\infty ,$ (2)

其中，系数 $p,q,w,s$ 满足

$r=\frac{1}{p},q,w,s\in L\left(I,ℝ\right),$ (3)

这里， $L\left(I,ℝ\right)$ 表示区间I上Lebesgue可积的实值函数的集合。

引入拟微分 $y^{\left[1\right]}=p\left[y^{\prime }+sy\right]$ 将(2)写成

$-{\left(y^{\left[1\right]}\right)}^{\prime }+s{y}^{\left[1\right]}+qy=\lambda wy,I=\left(a,b\right),-\infty <a<b<+\infty ,$

并考虑带有边界条件形如

$AY\left(a\right)+BY\left(b\right)=0,Y={\left[y,y^{\left[1\right]}\right]}^{\text{T}},A,B\in M_2\left(ℝ\right),$ (4)

其中， $M_2\left(ℝ\right)$ 表示 $2\times 2$ 阶实值矩阵的集合。

众所周知，当满足下述条件

$rank\left(A,B\right)=2,AE{A}^{*}=BE{B}^{*},E=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right],$

时边界条件(4)是自伴的。在本文的条件下，自伴边界条件可以化为两类：分离型和实耦合型。分离型自伴边界条件的标准形式为

$\begin{array}{l}\cos \alpha y\left(a\right)-\sin \alpha y^{\left[1\right]}\left(a\right)=0,0\le \alpha <\text{π},\\ \cos \beta y\left(b\right)-\sin \beta y^{\left[1\right]}\left(b\right)=0,0<\beta \le \text{π};\end{array}$ (5)

而实耦合型自伴边界条件的标准形式为

$Y\left(b\right)=kY\left(a\right),K=\left(k_{ij}\right)\in S{L}_2\left(ℝ\right),$ (6)

其中， $S{L}_2\left(ℝ\right)$ 表示满足 $k_{ij}\in ℝ$ ， $1\le i,j\le 2$ ， $\det \left(K\right)=1$ 的 $2\times 2$ 阶实值矩阵的集合。

定义2.1：若对于正奇数 $n=2m+1$ ， $m\in \mathbb{N}$ ，在区间 $I=\left(a,b\right)$ 上存在一组划分

$a=a_0<a_1<a_2<\cdots <a_n=b,$ (7)

使得

$\begin{array}{l}在\left[a_{2i},a_{2i+1}\right]上,r=s=0,i=0,1,\cdots ,m,\\ {\displaystyle {\int }_{a_{2i+1}}^{a_{2i+2}}{\text{e}}^{2{\displaystyle {\int }_{a_{2i+1}}^{t}s\left(u\right)\text{d}u}}r}\left(t\right)\text{d}t>0,{\displaystyle {\int }_{a_{2i+1}}^{a_{2i+2}}s\left(t\right)\text{d}t}\ne 0,i=0,1,\cdots ,m-1;\end{array}$ (8)

$在\left[a_{2i+1},a_{2i+2}\right]上,q=0,i=0,1,\cdots ,m-1;$ (9)

并且

$\begin{array}{l}在\left[a_{2i+1},a_{2i+2}\right]上,w=0,i=1,2,\cdots ,m-1,\\ {\displaystyle {\int }_{a_{2i}}^{a_{2i+1}}w\left(t\right)\text{d}t}>0,i=0,1,\cdots ,m.\end{array}$ (10)

则称定义在 $I=\left(a,b\right)$ 上的S-L方程(2)是Atkinson类型的。

若S-L方程(2)是Atkinson类型的，则称具有分布势的S-L问题(2)，(4)是Atkinson类型的。

我们假定 $k\in {\mathbb{N}}^{+}$ 且 $k>2$ 。设 ${\mathbb{M}}_k$ 表示实值 $k\times k$ 矩阵的全体。对于任意矩阵 $C\in {\mathbb{M}}_k$ ，我们定义 $\sigma \left(C\right)$ 为矩阵C的特征值集合。此外，矩阵 $C_1$ 表示矩阵C去掉第一行与第一列元素得到的低阶主子矩阵，矩阵 $C^1$ 表示矩阵C去掉第k行与第k列元素得到的低阶主子矩阵。

对于任意矩阵 $C,D\in {\mathbb{M}}_k$ ，若存在一个非平凡向量 $u\in {ℝ}^k$ 使得 $\left(C-{\lambda }^{*}D\right)u=0$ ，则 ${\lambda }^{*}$ 称为矩阵对 $\left(C,D\right)$ 的一个特征值。令 $\sigma \left(C,D\right)$ 表示矩阵对 $\left(C,D\right)$ 的特征值集合。容易看出， ${\lambda }^{*}\in \sigma \left(C\right)$ 当且仅当 ${\lambda }^{*}\in \sigma \left(C,I_k\right)$ ，其中 $I_k$ 表示 ${\mathbb{M}}_k$ 中的k阶单位矩阵。

3. 具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的矩阵表示

为了得到所研究问题的矩阵表示，需要引入下面的引理来确保每个Atkinson类型的S-L问题等价于一个具有分段常值系数函数的S-L问题。

引理3.1 [7] ：设 $r,q,w,s\in L\left(I,ℝ\right)$ 满足(8)~(10)。令

$\begin{array}{l}{r}_{2i+1}={\displaystyle {\int }_{a_{2i+1}}^{a_{2i+2}}{\text{e}}^{2{\displaystyle {\int }_{a_{2i+1}}^{t}s\left(u\right)\text{d}u}}r\left(t\right)\text{d}t}>0,s_{2i+1}={\displaystyle {\int }_{a_{2i+1}}^{a_{2i+2}}s\left(t\right)\text{d}t}\ne 0,i=0,1,\cdots ,m-1,\\ q_{2i}={\displaystyle {\int }_{a_{2i}}^{a_{2i+1}}q\left(t\right)\text{d}t},w_{2i}={\displaystyle {\int }_{a_{2i}}^{a_{2i+1}}w\left(t\right)\text{d}t},i=0,1,\cdots ,m.\end{array}$ (11)

定义在区间I上的分段常值系数函数 $\bar{p},\bar{s},\bar{q}$ 和 $\bar{w}$ 为

$\bar{p}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{a_{2i+2}-a_{2i+1}}{r_{2i+1}{s}_{2i+1}},t\in \left[a_{2i+1},a_{2i+2}\right],i=0,1,\cdots ,m-1;\\ \infty ,t\in \left[a_{2i},a_{2i+1}\right],i=0,1,\cdots ,m,\end{array}\left(s_{2i+1}\ne 0\right),$

$\bar{p}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{a_{2i+2}-a_{2i+1}}{r_{2i+1}},t\in \left[a_{2i+1},a_{2i+2}\right],i=0,1,\cdots ,m-1;\\ \infty ,t\in \left[a_{2i},a_{2i+1}\right],i=0,1,\cdots ,m,\end{array}\left(s_{2i+1}=0\right),$

$\bar{s}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{s_{2i+1}}{a_{2i+2}-a_{2i+1}},t\in \left[a_{2i+1},a_{2i+2}\right],i=0,1,\cdots ,m-1;\\ 0,t\in \left[a_{2i},a_{2i+1}\right],i=0,1,\cdots ,m,\end{array}$

$\bar{q}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{q_{2i}}{a_{2i+1}-a_{2i}},t\in \left[a_{2i},a_{2i+1}\right],i=0,1,\cdots ,m;\\ 0,t\in \left[a_{2i+1},a_{2i+2}\right],i=0,1,\cdots ,m-1,\end{array}$

$\bar{w}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{w_{2i}}{a_{2i+1}-a_{2i}},t\in \left[a_{2i},a_{2i+1}\right],i=0,1,\cdots ,m;\\ 0,t\in \left[a_{2i+1},a_{2i+2}\right],i=0,1,\cdots ,m-1.\end{array}$

其中 $\bar{p}\left(t\right)=\infty ,t\in \left[a_{2i+1},a_{2i+2}\right]$ 等价于 $r\left(t\right)=0,t\in \left[a_{2i+1},a_{2i+2}\right],i=1,2,\cdots ,m-1$ 。则具有分布势函数的S-L问题(2)，(4)与下述具有分段常值函数的方程

$-{\left(\bar{p}\left[y^{\prime }+\bar{s}y\right]\right)}^{\prime }+\bar{s}\bar{p}\left[y^{\prime }+\bar{s}y\right]+\bar{q}y=\lambda \bar{w}y,I=\left(a,b\right),$ (12)

以及同一边界条件(4)所构成的S-L问题(12)，(4)具有相同的特征值。

根据引理3.1，我们可知当给定边界条件(4)和区间I上的一个划分，存在一类Atkinson类型的S-L问题与具有分布势函数的S-L问题(12)，(4)具有相同的特征值。这样的一类问题我们称之为具有分布势函数的S-L问题(12)，(4)的一个等价类，它们具有相同的参数 $r_{2i+1},s_{2i+1},q_{2i}$ 和 $w_{2i}$ 。

对具有分离型边界条件的S-L问题(2)和(5)与矩阵特征值问题之间的等价关系，我们给出下述引理。

引理3.2 [7] ：若分离型边界条件(5)中 $\alpha ,\beta \in \left(0,\text{π}\right)$ 。定义 $\left(m+1\right)\times \left(m+1\right)$ 的Jacobi矩阵

$P_{\alpha \beta }=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{1}{r_1}+\cot \alpha & -\frac{{\text{e}}^{s_1}}{r_1}& & & \\ -\frac{{\text{e}}^{s_1}}{r_1}& \frac{{\text{e}}^{2s_1}}{r_1}+\frac{1}{r_3}& -\frac{{\text{e}}^{s_3}}{r_3}& & \\ & \cdots & \cdots & \cdots & \\ & & -\frac{{\text{e}}^{s_{2m-3}}}{r_{2m-3}}& \frac{{\text{e}}^{2s_{2m-3}}}{r_{2m-3}}+\frac{1}{r_{2m-1}}& -\frac{{\text{e}}^{s_{2m-1}}}{r_{2m-1}}\\ & & & -\frac{{\text{e}}^{s_{2m-1}}}{r_{2m-1}}& \frac{{\text{e}}^{2s_{2m-1}}}{r_{2m-1}}-\cot \beta \end{array}\right],$ (13)

以及对角矩阵

$\begin{array}{l}{Q}_{\alpha \beta }=diag\left(q_0,q_2,\cdots ,q_{2m-2},q_{2m}\right),\\ W_{\alpha \beta }=diag\left(w_0,w_2,\cdots ,w_{2m-2},w_{2m}\right).\end{array}$ (14)

则具有分离型边界条件的S-L问题(2)，(5)的谱 $\sigma \left(\alpha ,\beta \right)$ 与矩阵对 $\left(P_{\alpha \beta }+Q_{\alpha \beta },W_{\alpha \beta }\right)$ 的谱 $\sigma \left(P_{\alpha \beta }+Q_{\alpha \beta },W_{\alpha \beta }\right)$ 相同。

注3.1：引理3.2的论述对于分离型边界条件 $\alpha =0,\beta \in \left(0,\text{π}\right)$ ， $\alpha \in \left(0,\text{π}\right),\beta =\text{π}$ 和 $\alpha =0,\beta =\text{π}$ 的情况同样成立，即： $P_{0\beta }={\left(P_{\alpha \beta }\right)}_1$ ， $P_{\alpha \pi }={\left(P_{\alpha \beta }\right)}^1$ ， $P_{0\pi }={\left(P_{\alpha \pi }\right)}_1={\left(P_{0\beta }\right)}^1$ ， $Q_{0\beta }={\left(Q_{\alpha \beta }\right)}_1$ ， $Q_{\alpha \pi }={\left(Q_{\alpha \beta }\right)}^1$ ， $Q_{0\pi }={\left(Q_{\alpha \pi }\right)}_1={\left(Q_{0\beta }\right)}^1$ ， $W_{0\beta }={\left(W_{\alpha \beta }\right)}_1$ ， $W_{\alpha \pi }={\left(W_{\alpha \beta }\right)}^1$ ， $W_{0\pi }={\left(W_{\alpha \pi }\right)}_1={\left(W_{0\beta }\right)}^1$ 。我们可得到与引理3.2相同的结论，具体引理内容可参见文献 [7] 。根据引理3.2的矩阵表示形式，可以得到

$\begin{array}{l}{\left(P_{\alpha \beta }+Q_{\alpha \beta }\right)}_1=P_{0\beta }+Q_{0\beta },{\left(P_{\alpha \beta }+Q_{\alpha \beta }\right)}^1=P_{\alpha \pi }+Q_{\alpha \pi },\\ {\left(P_{\alpha \pi }+Q_{\alpha \pi }\right)}_1=P_{0\pi }+Q_{0\pi },{\left(P_{0\beta }+Q_{0\beta }\right)}^1=P_{0\pi }+Q_{0\pi }.\end{array}$

对具有耦合型边界条件的S-L问题(2)和(6)与矩阵特征值问题之间的等价关系，我们给出下述引理。

引理3.3 [7] ：若耦合型边界条件(6)中 $k_{12}\ne 0$ 。定义 $\left(m+1\right)\times \left(m+1\right)$ 阶循环Jacobi矩阵

$P_I=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{1}{r_1}-\frac{k_{11}}{k_{12}}& -\frac{{\text{e}}^{s_1}}{r_1}& & & \frac{1}{k_{12}}\\ -\frac{{\text{e}}^{s_1}}{r_1}& \frac{{\text{e}}^{2s_1}}{r_1}+\frac{1}{r_3}& -\frac{{\text{e}}^{s_3}}{r_3}& & \\ & \cdots & \cdots & \cdots & \\ & & -\frac{{\text{e}}^{s_{2m-3}}}{r_{2m-3}}& \frac{{\text{e}}^{2s_{2m-3}}}{r_{2m-3}}+\frac{1}{r_{2m-1}}& -\frac{{\text{e}}^{s_{2m-1}}}{r_{2m-1}}\\ \frac{1}{k_{12}}& & & -\frac{{\text{e}}^{s_{2m-1}}}{r_{2m-1}}& \frac{{\text{e}}^{2s_{2m-1}}}{r_{2m-1}}-\frac{k_{22}}{k_{12}}\end{array}\right],$ (15)

以及对角矩阵

$\begin{array}{l}{Q}_I=diag\left(q_0,q_2,\cdots ,q_{2m-2},q_{2m}\right),\\ W_I=diag\left(w_0,w_2,\cdots ,w_{2m-2},w_{2m}\right).\end{array}$ (16)

则具有耦合型边界条件的S-L问题(2)，(6)的谱 $\sigma \left(K\right)$ 与矩阵对 $\left(P_I+Q_I,W_I\right)$ 的谱 $\sigma \left(P_I+Q_I,W_I\right)$ 相同。

引理3.4 [7] ：若耦合型边界条件(6)中 $k_{12}=0$ 。定义 $m\times m$ 阶循环Jacobi矩阵

$P_{\theta }=\left[\begin{array}{ccccc}-k_{11}{k}_{21}+\frac{1}{r_1}+k_{11}^2\frac{{\text{e}}^{s_{2m-1}}}{r_{2m-1}}& -\frac{{\text{e}}^{s_1}}{r_1}& & & -k_{11}\frac{{\text{e}}^{s_{2m-1}}}{r_{2m-1}}\\ -\frac{{\text{e}}^{s_1}}{r_1}& \frac{{\text{e}}^{2s_1}}{r_1}+\frac{1}{r_3}& -\frac{{\text{e}}^{s_3}}{r_3}& & \\ & \cdots & \cdots & \cdots & \\ & & -\frac{{\text{e}}^{s_{2m-5}}}{r_{2m-5}}& \frac{{\text{e}}^{2s_{2m-5}}}{r_{2m-5}}+\frac{1}{r_{2m-3}}& -\frac{{\text{e}}^{s_{2m-3}}}{r_{2m-3}}\\ -k_{11}\frac{{\text{e}}^{s_{2m-1}}}{r_{2m-1}}& & & -\frac{{\text{e}}^{s_{2m-3}}}{r_{2m-3}}& \frac{{\text{e}}^{2s_{2m-3}}}{r_{2m-3}}+\frac{1}{r_{2m-1}}\end{array}\right],$ (17)

以及对角矩阵

$\begin{array}{l}{Q}_{\theta }=diag\left(q_0+k_{11}^2{q}_{2m},q_2,\cdots ,q_{2m-2}\right),\\ W_{\theta }=diag\left(w_0+k_{11}^2{w}_{2m},w_2,\cdots ,w_{2m-2}\right).\end{array}$ (18)

则具有耦合型边界条件的S-L问题(2)，(6)的谱 $\sigma \left(K\right)$ 与矩阵对 $\left(P_{\theta }+Q_{\theta },W_{\theta }\right)$ 的谱 $\sigma \left(P_{\theta }+Q_{\theta },W_{\theta }\right)$ 相同。

4. 矩阵的逆特征值问题

在本节中，我们研究Jacobi矩阵和循环Jacobi矩阵的逆特征值问题。利用引理3.2中的矩阵表示，我们首先考虑 ${\mathbb{M}}_k$ 中如下的对称矩阵

$J=\left[\begin{array}{ccccc}{c}_1& d_1& & & \\ d_1& c_2& d_2& & \\ & \cdots & \cdots & \cdots & \\ & & d_{k-2}& c_{k-1}& d_{k-1}\\ & & & d_{k-1}& c_k\end{array}\right].$ (19)

定义4.1：若 $d_i<0,i=1,2,\cdots ,k-1$ ，则形如(19)的矩阵J称为负Jacobi矩阵。

引理4.1 [5] ：设 $\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,k\right\}$ 和 $\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,k-1\right\}$ 是两组严格交错的实数，满足

${\lambda }_1<{\mu }_1<{\lambda }_2<{\mu }_2<\cdots <{\lambda }_{k-1}<{\mu }_{k-1}<{\lambda }_k.$ (20)

设 $W=diag\left(w_1,\cdots ,w_k\right)$ 是一个对角矩阵，其中 $w_i>0,i=1,\cdots ,k$ 。则存在唯一的负Jacobi矩阵 $M\in {\mathbb{M}}_k$ 使得： $\sigma \left(M,W\right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,k\right\}$ ， $\sigma \left(M_1,W_1\right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,k-1\right\}$ 。

推论4.1 [5] ：当引理4.1中的 $M_1$ 和 $W_1$ 分别由 $M^1$ 和 $W^1$ 替代，则引理4.1依然成立。

推论4.2 [5] ：当引理4.1中的 $w_i>0$ 分别由 $w_i<0$ 替代 $\left(i=1,\cdots ,k\right)$ ，则引理4.1依然成立。

利用引理3.3，3.4中的矩阵表示，我们考虑下述属于集合 ${\mathbb{M}}_k$ 的对称矩阵

$J_c=\left[\begin{array}{ccccc}{c}_1& d_1& & & d_k\\ d_1& c_2& d_2& & \\ & \cdots & \cdots & \cdots & \\ & & d_{k-2}& c_{k-1}& d_{k-1}\\ d_k& & & d_{k-1}& c_k\end{array}\right].$ (21)

定义4.2：若 $d_i<0,i=1,2,\cdots ,k-1$ ，则形如(21)的矩阵 $J_c$ 称为负循环Jacobi矩阵。

引理4.2 [5] ：设 $\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,k\right\}$ 和 $\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,k-1\right\}$ 满足下述条件：

i) ${\lambda }_1\le {\mu }_1\le {\lambda }_2\le {\mu }_2\le \cdots \le {\lambda }_{k-1}\le {\mu }_{k-1}\le {\lambda }_k$ ；

ii) ${\mu }_i\ne {\mu }_j$ ， $i\ne j$ ；

iii) $\exists d>0$ ，对于 $j=1,\cdots ,k-1$ ，

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\prod }}\left|{\mu }_j-{\lambda }_i\right|}\ge 2d\left[1+{\left(-1\right)}^{k+1-j}\right].$ (22)

设 $W=diag\left(w_1,\cdots ,w_k\right)$ 是一个对角矩阵，其中 $w_i>0,i=1,\cdots ,k$ 。则存在唯一的负循环Jacobi矩阵 $N\in {\mathbb{M}}_k$ ，使得 ${\displaystyle {\prod }_{i=1}^k{d}_i}=d$ ，并且： $\sigma \left(N,W\right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,k\right\}$ ， $\sigma \left(N_1,W_1\right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,k-1\right\}$ 。

推论4.3 [5] ：当引理4.2中的 $M_1$ 和 $W_1$ 分别由 $M^1$ 和 $W^1$ 替代，则引理4.2依然成立。

推论4.4 [5] ：当引理4.2中的 $w_i>0$ 分别由 $w_i<0$ 替代 $\left(i=1,\cdots ,k\right)$ ，则引理4.2依然成立。

5. 主要结论及其证明

我们建立具有分布势函数的Atkinson类型的S-L问题(2)，(4)的逆谱问题的结论。下述定理是关于分离型边界条件(5)的逆谱问题的结论。

定理5.1：设 $\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,k\right\}$ 和 $\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,k-1\right\}$ 是两组严格交错的实数，形如(20)。令 $m=k-1$ 。则对于区间 $I=\left[a,b\right]$ $\left(-\infty <a<b<+\infty \right)$ 上的任何划分(7)，任何函数 $s\in L\left(I,ℝ\right)$ 满足(8)以及任何函数 $w\in L\left(I,ℝ\right)$ 满足(10)，我们有以下结论：

a) 存在函数 $r,q\in L\left(I,ℝ\right)$ 满足(8)和(9)使得S-L问题(2)，(5)及其等价类的谱为

$\sigma \left(\alpha ,\beta \right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,k\right\},\sigma \left(0,\beta \right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,k-1\right\}.$

b) 存在函数 $r,q\in L\left(I,ℝ\right)$ 满足(8)和(9)使得S-L问题(2)，(5)及其等价类的谱为

$\sigma \left(\alpha ,\beta \right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,k\right\},\sigma \left(\alpha ,\text{π}\right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,k-1\right\}.$

此外，a)和b)中的结论在等价类意义下是唯一的。

证明：a) 对于区间 $I=\left[a,b\right]$ $\left(-\infty <a<b<+\infty \right)$ 上的给定划分(7)，定义：

$s_{2i+1}={\displaystyle {\int }_{a_{2i+1}}^{a_{2i+2}}s\left(t\right)\text{d}t,}i=0,1,\cdots ,m-1,w_{2i}={\displaystyle {\int }_{a_{2i}}^{a_{2i+1}}w\left(t\right)\text{d}t,}i=0,1,\cdots ,m,$

$W_{\alpha \beta }=diag\left(w_0,w_2,\cdots ,w_{2m}\right).$

根据(8)，(10)， $s_{2i+1}\ne 0,i=0,1,\cdots ,m-1$ ， $w_{2i}>0,i=0,1,\cdots ,m$ 。因为 $k=m+1$ ，根据引理4.1，存在唯一的负Jacobi矩阵 $M\in {\mathbb{M}}_{m+1}$ 使得：

$\sigma \left(M,W\right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,m+1\right\},\sigma \left(M_1,W_1\right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,m\right\}.$

设：

$\begin{array}{l}{r}_{2i-1}=-\frac{{\text{e}}^{s_{2i-1}}}{d_i},i=1,\cdots ,m;q_0=c_1-\frac{1}{r_1}-\cot \alpha ,\\ q_{2i}=c_{i+1}-\frac{{\text{e}}^{2s_{2i-1}}}{r_{2i-1}}-\frac{1}{r_{2i-1}},i=1,\cdots ,m-1,q_{2m}=c_{m+1}-\frac{{\text{e}}^{2s_{2m-1}}}{r_{2m-1}}+\cot \beta .\end{array}$

根据(13)，(14)和注3.1定义 $P_{\alpha \beta },Q_{\alpha \beta },P_{0\beta }$ 和 $Q_{0\beta }$ 。可知， $r_{2i+1}>0,i=0,1,\cdots ,m-1$ 。容易推出： $M=P_{\alpha \beta }+Q_{\alpha \beta }$ ， $M_1=P_{0\beta }+Q_{0\beta }$ 。根据注2.1，我们得到 ${\left(W_{\alpha \beta }\right)}_1=W_{0\beta }$ 。因此，

$\begin{array}{l}\sigma \left(P_{\alpha \beta }+Q_{\alpha \beta },W_{\alpha \beta }\right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,m+1\right\},\\ \sigma \left(P_{0\beta }+Q_{0\beta },W_{0\beta }\right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,m\right\}.\end{array}$

根据引理3.2和注3.1，我们得到S-L问题(2)，(5)的谱：

$\sigma \left(\alpha ,\beta \right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,m+1\right\},\sigma \left(0,\beta \right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,m\right\}.$

其中 $r_{2i+1},i=0,1,\cdots ,m-1$ ， $q_{2i},i=0,1,\cdots ,m$ 的选取是唯一的，而且对于这样的选取所确定的所有函数 $r,q\in L\left(I,ℝ\right)$ 构成了S-L问题(2)，(5)的一个等价类。证毕。

b) 证明方法与a)相同，只需利用推论4.1，引理4.1，引理3.2和注3.1即可，故省略证明细节。

下述定理是关于耦合型边界条件(6)的逆谱问题的结论。

定理5.2：设 $\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,k\right\}$ 和 $\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,k-1\right\}$ 是两组交错的实数，满足引理4.2的条件i)~iii)。

令 $m=k-1$ 。则对于区间 $I=\left[a,b\right]$ $\left(-\infty <a<b<+\infty \right)$ 上的任何划分(7)，任何函数 $s\in L\left(I,ℝ\right)$ 满足(8)以及任何函数 $w\in L\left(I,ℝ\right)$ 满足(10)，我们有以下结论：

a) 对于 $\forall \beta \in \left(0,\text{π}\right)$ ， $\exists K=\left(k_{ij}\right)\in S{L}_2\left(ℝ\right)$ 满足 $k_{12}<0$ ， $\cot \beta =k_{22}/k_{12}$ ，并且存在函数 $r,q\in L\left(I,ℝ\right)$ 满足(8)和(9)，使得S-L问题(2)，(6)及其等价类的谱为

$\sigma \left(K\right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,k\right\},\sigma \left(0,\beta \right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,k-1\right\}.$

b) 对于 $\forall \alpha \in \left(0,\text{π}\right)$ ， $\exists K=\left(k_{ij}\right)\in S{L}_2\left(ℝ\right)$ 满足 $k_{12}<0$ ， $\cot \alpha =-k_{11}/k_{12}$ ，并且存在函数 $r,q\in L\left(I,ℝ\right)$ 满足(8)和(9)，使得S-L问题(2)，(6)及其等价类的谱为

$\sigma \left(K\right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,k\right\},\sigma \left(\alpha ,\pi \right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,k-1\right\}.$

证明：对于区间 $I=\left[a,b\right]$ $\left(-\infty <a<b<+\infty \right)$ 上的给定划分(7)，定义：

$s_{2i+1}={\displaystyle {\int }_{a_{2i+1}}^{a_{2i+2}}s\left(t\right)\text{d}t},i=0,1,\cdots ,m-1,w_{2i}={\displaystyle {\int }_{a_{2i}}^{a_{2i+1}}w\left(t\right)\text{d}t},i=0,1,\cdots ,m,$

$W_I=diag\left(w_0,w_2,\cdots ,w_{2m}\right).$

根据(8)，(10)， $s_{2i+1}\ne 0,i=0,1,\cdots ,m-1$ ， $w_{2i}>0,i=0,1,\cdots ,m$ 。因为 $k=m+1$ ，根据引理4.2，存在唯一的负循环Jacobi矩阵 $N\in {\mathbb{M}}_{m+1}$ 使得：

$\sigma \left(N,W\right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,m+1\right\},\sigma \left(N_1,W_1\right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,m\right\}.$

设： $r_{2i-1}=-\frac{{\text{e}}^{s_{2i-1}}}{d_i},i=1,\cdots ,m$ ；则 $r_{2i+1}>0,i=0,1,\cdots ,m-1$ 。令 $k_{12}=\frac{1}{d_{m+1}}$ ，则 $k_{12}<0$ 。对于 $\beta \in \left(0,\text{π}\right)$ ，选取 $K\in S{L}_2\left(R\right)$ 使得 $\cot \beta =\frac{k_{22}}{k_{12}},k_{12}=\frac{1}{d_{m+1}}$ 。由K定义一个耦合型边界条件(6)，则：

$\begin{array}{l}{q}_0=c_1-\frac{1}{r_1}+\frac{k_{11}}{k_{12}}，\\ q_{2i}=c_{i+1}-\frac{{\text{e}}^{2s_{2i-1}}}{r_{2i-1}}-\frac{1}{r_{2i-1}},i=1,\cdots ,m-1,\\ q_{2m}=c_{m+1}-\frac{{\text{e}}^{2s_{2m-1}}}{r_{2m-1}}+\frac{k_{22}}{k_{12}}.\end{array}$

根据(13)，(14)，(15)，(16)和注3.1定义 $P_I,Q_I,P_{0\beta }$ 和 $Q_{0\beta }$ 。容易推出： $M=P_I+Q_I,M_1=P_{0\beta }+Q_{0\beta }$ 。

由注3.1，可得 ${\left(W_I\right)}_1=W_{0\beta }$ 。因此，

$\begin{array}{l}\sigma \left(P_I+Q_I,W_I\right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,m+1\right\},\\ \sigma \left(P_{0\beta }+Q_{0\beta },W_{0\beta }\right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,m\right\}.\end{array}$

根据引理3.2和注3.1，我们得到S-L问题(2)，(6)的谱为

$\sigma \left(K\right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,m+1\right\},\sigma \left(0,\beta \right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,m\right\}.$

而且得到的所有函数 $r,q\in L\left(I,ℝ\right)$ 构成了S-L问题(2)，(6)的一个等价类。证毕。

b) 证明方法与a)相同，利用推论4.3，引理4.2，3.2，3.3和注3.1即可。证明细节略。

定理5.3：设 $K=\left(k_{ij}\right)\in S{L}_2\left(ℝ\right)$ ， $k_{12}=0$ ， $k_{11}>0$ 。设 $\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,k\right\}$ 和 $\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,k-1\right\}$ 是两组交错的实数，满足引理4.2的条件i)~iii)。令 $m=k$ 。则对于区间 $I=\left[a,b\right]$ $\left(-\infty <a<b<+\infty \right)$ 上的任何划分(7)，任何函数 $s\in L\left(I,ℝ\right)$ 满足(8)以及任何函数 $w\in L\left(I,ℝ\right)$ 满足(10)，存在函数 $r,q\in L\left(I,ℝ\right)$ 满足(8)和(9)使得，S-L问题(2)，(6)及其等价类的谱为

$\sigma \left(K\right)=\left\{{\lambda }_i:i=1,\cdots ,k\right\},\sigma \left(0,\text{π}\right)=\left\{{\mu }_i:i=1,\cdots ,k-1\right\}.$

证明：证明方法与定理5.2相似，利用推论4.3，引理4.2，3.2，3.4和注3.1即可。证明细节略。

基金项目

国家自然科学基金(11661059)，内蒙古自然科学基金(2017JQ07)资助。