AAM  >> Vol. 7 No. 12 (December 2018)

作者:  

肖 倩:华南理工大学,广东 广州

关键词:
β-连分数渐近分数收敛Continued β-Fraction Convergent Converges

摘要:

设β=(√5+1)/2,T为[0,1)上的β-连分数变换,Pn(x)/qn(x)是x的n阶β-渐近分数。本文证明了序列(Pn(x)/qn(x))n ≥1的一些性质,并且证明了(Pn(x)/qn(x))n ≥1收敛且收敛到x。

Let (√5+1)/2, T is the continued β-fraction transformation on [0,1), and Pn(x)/qn(x) is the nth-order β-fraction-convergent of x. In this paper, we show many properties of the sequence (Pn(x)/qn(x))n ≥1. Moreover, we prove that (Pn(x)/qn(x))n ≥1 converges to x.

1. 引言

在1957年,数的表示理论中一种新的表示方法——β-展开被Renyi [1] 首次提出。之后,β-展式的丢番图理论和遍历性质被很多人深入研究。令β是大于1的任何实数,定义β-变换 T β : [ 0 , 1 ) [ 0 , 1 )

T β ( x ) = β x β x = { β x } , x [ 0 , 1 ) ,

其中 x 表示不超过x的最大整数, { x } 表示数x的小数部分。

那么,任意一个实数 x [ 0 , 1 ) 都可以把它展成一个如下形式的有限或者无限的序列:

对于任意的 n 1 ε 1 ( x ) = β x ε n + 1 ( x ) = ε 1 ( T β n ( x ) ) 。我们把式叫做x的β-展式,记为序列 ε ( x , β ) : = ( ε 1 ( x ) , ε 2 ( x ) , , ε n ( x ) , ) [2] 。而且,Parry [3] 刻画了序列可允许性。之后,我们又了解到当 β ,x的β-展式是最终周期的当且仅当 x 。设是一个Pisot数,那么x的β-展式是最终周期的当且仅当 x ( β ) [ 0 , 1 ) (其中 ( β ) 是表示包含 和β的最小的域) [4] [5] 。

任意实数x可以唯一地被展成 k = 0 n v k β k + k = 1 v k β k 。在求和中β的非负幂部分叫做x的β-整数部分,记作 x β ;β的负幂部分叫做x的β-分数部分,记作 { x } β 。如果x的为0,即只有β的非负幂部分,我们把x叫做β-整数。用 β + 来表示所有的β-整数的集合,也就是说

β + = { β - } = { ξ : x 0 , s . t . ξ = x β }

β = 5 + 1 2 时,我们知道

β + = { m + n β | m , n , m , n 0 , 1 < m n β < β } [6] 。

定义1.1:定义 T : [ 0 , 1 ) [ 0 , 1 )

T ( 0 ) : = 0 , T ( x ) = 1 x 1 x β , x ( 0 , 1 ) ,

其中 x β 表示不超过x的最大β-整数。

因此,对于任意的非负实数x都有如下形式的β-连分数展式:

x = x β + 1 1 x β + 1 1 T ( x ) β + + 1 1 T K 1 ( x ) β + T k ( x ) : = [ a 0 ( x ) ; a 1 ( x ) , a 2 ( x ) , , a k ( x ) + T k ( x ) ] ,

= x β + 1 1 x β + 1 1 T ( x ) β + : = [ a 0 ( x ) ; a 1 ( x ) , a 2 ( x ) , ] ,

其中 a 0 ( x ) = x β , a i ( x ) = 1 T i 1 ( x ) β , i 1

2. 定理及证明

定义2.1:给定β是大于1的任意实数,对任意的 n 1 a n β + ,令 p 1 = 1 q 1 = 0 p 0 = a 0 q 0 = 1 ,定义

p n = a n p n 1 + p n 2

对于任意的 x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ] + ,把 p n ( x ) q n ( x ) 叫做x的n阶β-渐近分数。

注2.2:由上述定义可以看出:由于 a n 1 ,故序列 ( q n ) n 1 单调递增且

q n = a n q n 1 + q n 2 2 q n 2 2 n 2 2

命题2.3:对任意的 n 1 ,我们有

p n q n 1 q n p n 1 = ( 1 ) n 1

证明:把定义2.1中式的左右同时乘以 q n 1 ,便得到

p n q n 1 = a n p n 1 q n 1 + p n 2 q n 1

类似的,把式的左右两边同时乘以 p n 1 ,便得到

q n p n 1 = a n q n 1 p n 1 + q n 2 p n 1

那么可得 p n q n 1 q n p n 1 = p n 2 q n 1 q n 2 p n 1 = = ( 1 ) n 1

推论2.4:对任意的 n 1 ,有

p n q n p n 1 q n 1 = ( 1 ) n 1 q n q n 1

证明:把命题2.3中的式子左右两边同时除以便可得到

p n q n p n 1 q n 1 = ( 1 ) n 1 q n q n 1

注2.5:由推论2.4可以看出,每一个奇数阶的β-渐近分数都大于紧接着它的那个偶数阶的β-渐近分数。

命题2.6:对任意的 n 1 ,有

q n p n 2 p n q n 2 = ( 1 ) n 1 a n

证明:把定义2.1中式的左右两边同时乘以 q n 2 ,便得到

p n q n 2 = a n p n 1 q n 2 + p n 2 q n 2

同样的把式的左右两边同时乘以 p n 2 ,便得到

q n p n 2 = a n q n 1 p n 2 + q n 2 p n 2

那么可得 q n p n 2 p n q n 2 = a n ( p n 2 q n 1 q n 2 p n 1 ) 。再由命题2.3得到: q n p n 2 p n q n 2 = ( 1 ) n 1 a n

推论2.7:对任意的 n 1 ,有

p n 2 q n 2 p n q n = ( 1 ) n 1 a n q n q n 2

证明:把命题2.6的左右两边同时除以 q n q n 2 得到:

p n 2 q n 2 p n q n = ( 1 ) n 1 a n q n q n 2

注2.8:由推论2.7可以看出,偶数阶的β-渐近分数形成递增序列,奇数阶的β-渐近分数形成递减序列。显然,把推论2.4和推论2.7结合得到:任何奇数阶的β-渐近分数必大于任何偶数阶的β-渐近分数。

定理2.9:对任意的 n 1 ,序列 ( p n ( x ) q n ( x ) ) n 1 收敛。

证明:由推论2.4可知:

p n q n = p n 1 q n 1 + ( 1 ) n 1 q n q n 1 = p n 2 q n 2 + ( 1 ) n 2 q n 1 q n 2 + ( 1 ) n 1 q n q n 1 = = p 0 q 0 + 1 q 0 q 1 + 1 q 1 q 2 + + ( 1 ) n 1 q n q n 1 = a 0 + 1 q 0 q 1 + 1 q 1 q 2 + + ( 1 ) n 1 q n q n 1

因为 1 q 0 q 1 + 1 q 1 q 2 + + ( 1 ) n 1 q n q n 1 + 是交错级数,由Libniz判别法知级数收敛,即 lim n p n ( x ) q n ( x ) 存在,故序列 ( p n ( x ) q n ( x ) ) n 1 收敛。

命题2.10: [7] 对于任意的 x + n 0 ,那么有

x = p n ( x ) + p n 1 ( x ) T n ( x ) q n ( x ) + q n 1 ( x ) T n ( x )

定理2.11:设 p n ( x ) q n ( x ) 是x的n阶β-渐近分数,则

证明:

当n趋于无穷时, 2 3 n 趋于0,因此 p n ( x ) q n ( x ) x

文章引用:
肖倩. β-连分数的渐近分数[J]. 应用数学进展, 2018, 7(12): 1645-1649. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.712192

参考文献

[1] Rényi, A. (1957) Representations for Real Numbers and Their Ergodic Properties. Acta Mathematica Academiae Sci-entiarum Hungaricae, 8, 477-493.
https://doi.org/10.1007/BF02020331
[2] Li, B. and Wu, J. (2008) Be-ta-Expansion and Continued Fraction Expansion. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 339, 1322-1331.
[3] Parry, W. (1960) On the β-Expansions of Real Numbers. Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 11, 401-416.
https://doi.org/10.1007/BF02020954
[4] Bertrand, A. (1977) Développements en base de Pisot et répartition modulo 1, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 285. No. 6, A419-A421.
[5] Schmidit, K. (1980) On Periodic Expansions of Pisot Numbers and Salem Numbers. Bulletin of the London Mathematical Society, 12, 269-278.
[6] Gazeau, J.P. and Krejcar, R. (1998) Beta-Integer as Natural Counting Systems for Quasicrystals. Journal of Physics A, 31, 6449-6472.
[7] Xiao, Q., Ma, C. and Wang, S.L. On the Eventually Periodic Continued β-Fractions and Their Lévy Constants.