MP  >> Vol. 9 No. 1 (January 2019)

    量子纠缠的相关性判据
    The Correlation Criterion of QuantumEntanglement

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作者:  

刘光荣:空军工程大学基础部,陕西 西安

关键词:
量子纠缠量子态复合系统Quantum Entanglement Quantum State Composite System

摘要:

量子态可分性判断是量子纠缠理论的基本问题。本文根据两体纯态的Schmidt分解,给出了矩阵的秩,向量组的相关性判据。对于两体混合态,给出了可分的一个充分非必要条件,并举例说明。

The separability judgment of quantum states is the basic problem of quantum entanglement theory. In this paper, based on Schmidt decomposition of two-body pure states, the correlation criteria of matrix rank and vector group are given. For the two-body mixed state, a sufficient and unnecessary condition for separability is given, and an example is given.

1. 引言

量子纠缠在量子力学的基础理论中占据了重要的位置,并且在量子信息的应用中也是不可或缺的资源 [1] [2] [3] 。量子态可分性判断 [4] [5] 是量子纠缠理论的基本问题,量子纯态对应于相应的Hilbert空间的一个单位向量,量子混合态对应于作用于Hilbert空间中迹为1的正算子,其表现形式为密度矩阵,对于复合的量子系统,遇到的问题是量子态是否可分的问题,常用的方法有所谓的PPT (Partial Positive Transposition)判据,矩阵重排判据(realignment criterion),约化密度矩阵判据(reduced density matrixcriterion),CCN判据(Computable Cross Norm)等。

2. 量子纯态与复合系统

任意一个孤立的物理系统,与该系统的状态空间H相联系。H为规定了复内积的可分的Hilbert空间,该系统完全由单位化的状态向量来表示。量子比特(qubit)与二维状态空间 H 2 相对应, H 2 取标准正交基 | 0 | 1 ,则任一状态向量 | φ = α | 0 + β | 1 ,其中 α , β C | α | 2 + | β | 2 = 1 。H中的单位向量也称为量子纯态 [1] ,对应于秩为1的密度矩阵 ρ = | φ φ |

给定若干个量子系统,通过张量积运算,形成复合系统。 H A H B 表示复合系统AB,若取 H A 的一组标准正交基记为 | i , i = 1 , 2 , , m ,取 H B 的一组标准正交基记为 | j , j = 1 , 2 , , n ,则 | φ A B H A H B 表示为:

| φ A B = i j m i j | i j |

记矩阵 M = ( m i j ) m × n ,并将其按行按列分块得 M = ( α 1 , α 2 , , α n ) = ( β 1 , β 2 , , β m ) T 。其行向量对应于子系统 H A 的向量,列向量对应于子系统 H B 的向量。

定理1 [1] Schmidt分解定理:

在Hilbert空间 H A H B 的两体复合系统AB中的任何一个纯态 | φ A B ,一定可以在子系统 A , B 中找到标准正交基 | i A | j B 使得 | φ A B = i λ i | i A | j B ,其中 λ i 0 i λ i 2 = 1 λ i 为矩阵M的奇异值,成为Schmidt系数, λ i 非零的个数称为Schmidt秩。

3. 量子纯态纠缠

对于 | φ A B H A H B 若存在 | φ A H A | φ B H B 使得 | φ A B = | φ A | φ B ,则称量子纯态 | φ A B 是可分的,否则上纠缠的。

结合Schmidt分解定理,可以得到如下的结论:

定理2 若 | φ A B 的Schmidt秩为1,则 | φ A B 是可分纯态,否则为纠缠纯态。

由初等变换不改变矩阵的秩,在矩阵M的奇异值分解中,酉矩阵可以写成若干个初等矩阵之积,进一步可以得到:

推论1 若矩阵M的秩为1,则 | φ A B 是可分纯态,否则为纠缠纯态。

推论2 矩阵M中,分块得到的列向量组 ( α 1 , α 2 , , α n ) 或行向量组 ( β 1 , β 2 , , β m ) 中得任意两个向量是线性相关的, | φ A B 是可分纯态,否则为纠缠纯态。

另一方面,对于密度矩阵 ρ = | φ φ | ,此时秩 ρ = 1 ,所以:

ρ = | φ φ | = ( ξ 1 , ξ 2 , , ξ n )

推论3 若向量组 ( ξ 1 , ξ 2 , , ξ n ) 中的两两线性相关时,且非零列向量 ξ i 对应的矩阵M的秩为1,则 ρ 是可分纯态,否则为纠缠纯态。

4. 量子混合态纠缠

假设一个量子系综中有系列的纯态 | φ i 且每个纯态对应的概率是 p i ( p i 0 ) ,则它的密度矩阵为 [1]

ρ = i p i | φ i φ i |

其中 t r ρ = i p i = 1 ,当非零 p i 的个数大于1时,是混合态,否则为纯态,即秩时为纯态。秩为混合态。另一方面,量子态为作用于H上的迹为1的正算子,其密度矩阵为迹为1的半正定矩阵,进一步可以证明为Hermidt矩阵,其谱分解为的特征值,为对应于特征值的特征向量。

对于复合系统AB的密度矩阵,如果能写成,其中,那么称是可分的离态,秩为可分离混合态,否则为纠缠态。可以看出对于,每一个都是可分离纯态时,是可分离态,但是,有纠缠态时,则难以判断。例如为四个bell态,,此时

进一步计算得到

量子纠缠是量子物理与经典物理的重要区别之一,1989年,Werner给出了量子纠缠严格的数学定义,本文结合矩阵理论的相关知识,对于两体复合系统的量子纠缠的探测性方法,给出了秩与相关性的判据,并举例说明。

文章引用:
刘光荣. 量子纠缠的相关性判据[J]. 现代物理, 2019, 9(1): 19-22. https://doi.org/10.12677/MP.2019.91003

参考文献

[1] Michael, A., Chuang, N.I.L., 赵千川. 量子计算与量子信息[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004.
[2] Johnston, N., Kribs, D.W. and Teng, C.W. (2009) Operator Algebraic Formulation of the Stabilizer Formalism for Quantum Error Correction. Acta Applicandae Mathematicae, 108, 687-696.
https://doi.org/10.1007/s10440-008-9421-1
[3] Kribs, D.W., Laflamme, R., Poulin, D. and Lesosky, M. (2006) Operator Quantum Error Correction. Quantum Information and Computation, 6, 382-399.
[4] 张成杰. 量子纠缠的判定与度量[D]: [博士学位论文]. 合肥: 中国科学技术大学, 2010.
[5] 郑玉鳞. 量子纠缠与量子导引的判据研究[D]: [博士学位论文]. 合肥: 中国科学技术大学, 2016.