某些具有紧-Gδ性质的空间的函数刻画

Function Characterizations of Some Spaces with Compact Gδ-Property

摘要: 实值函数是刻画某些拓扑空间的有用工具，许多空间类都可以用满足一定条件的实值函数刻画，如：层空间、k-半层空间等。本文利用实值函数给出了某些具有紧-Gδ性质的空间的函数刻画，如：γ-空间、c-层空间、kc-半层空间等，推广了已有文献中关于层空间，k-半层空间等的一些结果。

Abstract: Real-valued functions are useful tools for the characterizations of some topological spaces. Many classes of spaces can be characterized with real-valued functions that satisfy certain conditions, such as stratifiable spaces, k-semi-stratifiable spaces, etc. In this paper, we present some charac-terizations of spaces with compact Gδ-property in terms of real-valued functions, such as γ-spaces, c-stratifiable spaces, kc-stratifiable spaces, etc. The results obtained generalize some corresponding results for stratifiable spaces, k-semi-stratifiable spaces in the literature.

1. 前言

本文提到的空间均为 $T_2$ 空间，用 $N$ 表示正整数集。空间X上的实值函数f称为下半连续(上半连续) [1] ，如果对任意实数 $r$，集合 $\left\{x\in X:f\left(x\right)>r\right\}$ $\left(\left\{x\in X:f\left(x\right)<r\right\}\right)$ 为开集。记 $L\left(X\right)\left(U\left(X\right)\right)$ 为X到闭区间[0, 1]上所有下半连续(上半连续)函数的集合。

设X为拓扑空间，用 $\tau$ 表示X上的拓扑， ${\tau }^c$ 为X的所有闭集构成的集族， $C\left(X\right)$ 表示X的所有紧集的集族。设 $A\subset X$，记 ${\chi }_A$ 为A的特征函数。

设f为半连续函数，在什么条件下存在连续函数列 $\left\{f_n\right\}$ 使得这一 $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n=f$ 问题称为实值函数的函数列逼近问题。Tong在文献 [2] 证明了空间X是完备正规当且仅当对X上的任意下半连续函数f，存在X上的递增连续函数列 $\left\{f_n\right\}$ 使得 $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n=f$。张国芳在文献 [3] 证明了空间X是k-半层空间当且仅当对每一 $U\in \tau$，存在递增函数列满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\delta }_{nU}={\chi }_U$；若 $U,V\in \tau$ 且 $U\subset V$，则对每一 $n\in N$， ${\delta }_{nU}\le {\delta }_{nV}$；对每一紧集 $K\in X$，U为开集且 $K\subset U$，则存在 $n\in N$ 使得对任意 $x\in U$ 有 ${\delta }_{mU}\left(x\right)=1$。完备正规空间，k-半层空间均为具有闭- $G_{\delta }$ 性质的空间，由于具有紧- $G_{\delta }$ 性质的空间与具有闭- $G_{\delta }$ 性质的空间在结构上相似，一个自然的问题是具有紧- $G_{\delta }$ 性质的空间是否也有类似的函数刻画。给出某些具有紧- G_δ 性质空间如 $\gamma$ -空间、c-层空间、kc-半层空间的函数刻画。

设X为拓扑空间，若映射，满足：对每一 $x\in X$ 及 $n\in N$， $x\in g\left(n,x\right)$； $g\left(n+1,x\right)\subset g\left(n,x\right)$；则称g为X上的一个g-函数。对于一个子集 $A\subset X$， $g\left(n,A\right)=\cup \left\{g\left(n,x\right):x\in A\right\}$。

定义1.1 [4] ：空间X称为-空间。若存在X上的g-函数g，使得若对每一 $n\in N$， $y_n\in g\left(n,x\right)$ 且 $x_n\in g\left(n,y_n\right)$，则 $x$ 为 $\langle x_n\rangle$ 的聚点。

定义1.2 [5] ：空间X称为c-半层空间(c-层空间)。若存在X上的g-函数g，使得对每一 $K\in C\left(X\right)$， ( $K=\underset{n\in N}{\cap }\overline{g\left(n,K\right)}$ )。

定义1.3 [6] ：空间X称为kc-半层空间。若存在g-函数g，使得对任意 $K,H\in C\left(X\right)$ 且 $K\cap H=\Phi$，则存在 $m\in N$ 使得。

2. 主要结果

本节中，我们将利用实值函数给出 $\gamma$ -空间，c-层空间，kc-半层空间的若干等价刻画。

引理2.1 [7] ：X为 $\gamma$ -空间当且仅当存在X上的g-函数g使得若 $K\in C\left(X\right)$， $F\in {\tau }^c$ 且 $K\cap F=\Phi$，则存在 $m\in N$ 使得 $F\cap g\left(m,K\right)=\Phi$。

定理2.2：X为 $\gamma$ -空间当且仅当对每一 $K\in C\left(X\right)$，存在递减函数列满足

(1) $\underset{n\to \infty }{\lim }{\delta }_{nK}={\chi }_K$；

(2) 若 $K_1,K_2\in C\left(X\right)$ 且 $K_1\subset K_2$，则对每一 $n\in N$， ${\delta }_{n{K}_1}\le {\delta }_{n{K}_2}$；

(3) 对每一紧集 $K\in X$ 及 $F\in {\tau }^c$ 且 $K\cap F=\Phi$，存在 $m\in N$ 使得对任意有 ${\delta }_{mK}\left(x\right)=0$。

证：设 $X$ 为 $\gamma$ -空间，g为引理2.1中的g-函数，对每一 $n\in N$ 及 $K\in C\left(X\right)$，令 ${\delta }_{nK}={\chi }_{g\left(n,K\right)}$，则 $\left\{{\delta }_{nK}:n\in N\right\}$ 关于n递减且 ${\delta }_{nK}\in L\left(X\right)$。

(1) 设 $K\in C\left(X\right)$，对每一 $x\in X$，若 $x\in K$，则对每一 $n\in N$， $x\in g\left(n,K\right)$，于是 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\delta }_{nk}\left(x\right)=1={\chi }_k\left(x\right)$；若 $x\notin K$，则存在 $m\in N$ 使得 $\left\{x\right\}\cap g\left(m,K\right)=\Phi$，于是当 $n\ge m$ 时，有，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\delta }_{nK}\left(x\right)=0={\chi }_K\left(x\right)$。

(2) 设 $K_1,K_2\in C\left(X\right)$ 且 $K_1\subset K_2$，则对每一 $n\in N$，有 $g\left(n,K_1\right)\subset g\left(n,K_2\right)$，由此可得 ${\delta }_{n{K}_1}\le {\delta }_{n{K}_2}$。

(3) 设 $K\in C\left(X\right)$， $F\in {\tau }^c$ 且 $K\cap F=\Phi$，由引理2.1，存在 $m\in N$ 使得，故对任意 $x\in F$，有 $x\notin g\left(m,K\right)$，则 ${\delta }_{mk}\left(x\right)=0$。

反之，对每一 $x\in X$ 及 $n\in N$，令 $g\left(n,x\right)=\left\{y\in X:{\delta }_{n\left\{x\right\}}\left(y\right)=1/2\right\}$。由(1)，对每一，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\delta }_{n\left\{x\right\}}\left(x\right)={\chi }_{\left\{x\right\}}\left(x\right)=1>1/2$，故存在 $m\in N$ 使得对任意 $n\ge m$， ${\delta }_{n\left\{x\right\}}\left(x\right)>1/2$。由于 $\left\{{\delta }_{n\left\{x\right\}}:n\in N\right\}$ 关于n递减，故对每一 $n\in N$， ${\delta }_{n\left\{x\right\}}\left(x\right)>1/2$，则 $x\in g\left(n,x\right)$。显然对每一 $x\in X$ 及 $n\in N$，有 $g\left(n+1,x\right)\subset g\left(n,x\right)$，故g为X上的g-函数。

对每一 $n\in N$ 及 $K\in C\left(X\right)$，令 $G\left(n,K\right)=\left\{y\in X:{\delta }_{nK}\left(y\right)>1/2\right\}$。设 $y\in g\left(n,K\right)$，则存在 $x\in K$ 使得 $y\in g\left(n,x\right)$，则 ${\delta }_{n\left\{x\right\}}\left(y\right)>1/2$，由条件(2)得 $1/2<{\delta }_{n\left\{x\right\}}\left(y\right)\le {\delta }_{nK}\left(y\right)$，故 $y\in G\left(n,K\right)$，这表明 $g\left(n,K\right)\subset G\left(n,K\right)$。设 $x\in F$， $F\in {\tau }^c$ 且 K ∩ H = Φ ，由条件(3)，存在 $m\in N$ 使得对任意 $x\in F$ 有 ${\delta }_{mK}\left(x\right)=0$，故 $F\cap G\left(m,K\right)=\Phi$，从而 $F\cap g\left(m,K\right)=\Phi$。由引理2.1， $X$ 为 $\gamma$ -空间。

定理2.3：X为 $\gamma$ -空间当且仅当对每一 $K\in C\left(X\right)$，存在递减函数列 $\left\{{\delta }_{nK}\in L\left(X\right):n\in N\right\}$ 满足：

(1) 对每一及 $K\in C\left(X\right)$，若 $x\in K$，则 ${\delta }_{nK}\left(x\right)=1$；

(2) 若 $K_1,K_2\in C\left(X\right)$ 且 $K_1\subset K_2$，则对每一 $n\in N$，有；

(3) 若 $K\in C\left(X\right)$， $F\in {\tau }^c$ 且 $K\cap F=\Phi$，则 $\langle {\delta }_{nK}\rangle$ 在 $F$ 上一致收敛于0。

证：设 $X$ 为 $\gamma$ -空间，g为引理2.1中的g-函数，对每一 $n\in N$ 及 $K\in C\left(X\right)$，令 ${\delta }_{nK}={\chi }_{g\left(n,K\right)}$ 则 $\left\{{\delta }_{nK}:n\in N\right\}$ 关于 $n$ 递减且 ${\delta }_{nK}\in L\left(X\right)$。(1)，(2)显然成立。

(3)设 $K\in C\left(X\right)$， $F\in {\tau }^c$ 且，由引理2.1，存在 $m\in N$ 使得 $F\cap g\left(m,K\right)=\Phi$。对 $\forall \epsilon >0$，当 $n\ge m$ 时，对任意 $x\in F$ 有 $x\notin g\left(n,K\right)$，故 $\left|{\delta }_{nk}\left(x\right)-0\right|<\epsilon$，这说明 $\langle {\delta }_{nK}\rangle$ 在 $F$ 上一致收敛于0。

反之，对每一 $x\in X$ 及 $n\in N$，令。由(1)知，每一 $x\in X$ 及 $n\in N$， $x\in g\left(n,x\right)$，又 $g\left(n+1,x\right)\subset g\left(n,x\right)$，故g为X上的g-函数。对每一 $n\in N$ 及 $k\in \mathrm{c（x）}$，令 $G\left(n,K\right)=\left\{y\in X:{\delta }_{nK}\left(y\right)>1/2\right\}$，由定理2.2的充分性的证明知 $g\left(n,K\right)\subset G\left(n,K\right)$。设 $K\in C\left(X\right)$，且 $K\cap F=\Phi$，由条件(3)， $\langle {\delta }_{nK}\rangle$ 在 $F$ 上一致收敛于0，则存在 $m\in N$，对任意 $x\in F$，有 ${\delta }_{mK}\left(x\right)=0$，于是 $F\cap G\left(m,K\right)=\Phi$，故 $F\cap g\left(m,K\right)=\Phi$，则X为 $\gamma$ -空间。

定理2.4：X为正则-空间当且仅当对每一 $K\in C\left(X\right)$，存在递减函数列，满足：

(1) $\underset{n\to \infty }{\lim }{\delta }_{nK}={\chi }_K$；

(2) 若 $K_1,K_2\in C\left(X\right)$ 且若 $K_1\subset K_2$，则对每一 $n\in N$，有 ${\delta }_{n{K}_1}\le {\delta }_{n{K}_2}$；

(3) 若 $K\in C\left(X\right)$， $F\in {\tau }^c$ 且 $K\cap F=\Phi$，则存在开集 $V\supset F$ 及 $m\in N$ 使得对任意 $x\in V$ 有
${\delta }_{mK}(x)=0$。

证：设 $X$ 为 $\gamma$ -空间，g为引理2.1中的g-函数，对每一及，令 ${\delta }_{nK}={\chi }_{g\left(n,K\right)}$，则 $\left\{{\delta }_{nK}:n\in N\right\}$ 关于 $n$ 递减且 δ_nk ∈L (X) 。(1) (2)的证明同定理2.2。设 $K\in C\left(x\right)$， $F\in {\tau }^c$ 且 $K\cap F=\Phi$，由于 $X$ 为正则空间，故X的无交开集U，V使得 $K\subset U,F\subset V$，存在 $m\in N$ 使得 $g\left(m,K\right)\subset U$，则 $V\cap g\left(m,K\right)=\Phi$，故对任意一 $x\in V$，有 ${\delta }_{mK}\left(x\right)=0$。

反之，由定理2.2知X为 $\gamma$ -空间，下证 $X$ 为正则空间。对每一 $x\in X$ 及 $n\in N$，令 $U_n\left(x\right)=\left\{y\in X:{\delta }_{n\left\{x\right\}}\left(y\right)>1/2\right\}$。设 $x\notin F\in {\tau }^c$，由(3)得，存在开集及 $n\in N$ 使得对任意 $y\in V$， ${\delta }_{m\left\{x\right\}}\left(y\right)=0$，则 $y\notin U_m\left(x\right)$，故，这说明 $X$ 为正则空间。

定理2.5：X为c-层空间当且仅当对每一 $K\in C\left(x\right)$，存在递减函数列 $\left({\delta }_{nK}\in L\left(X\right):n\in N\right)$ 及 $\left\{{\zeta }_{nK}\in U\left(X\right):n\in N\right\}$ 满足：

(1) $\underset{n\to \infty }{\lim }{\delta }_{nK}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\zeta }_{nK}={\chi }_K$；

(2) 若 $K_1,K_2\in C\left(x\right)$ 且 $K_1\subset K_2$，则对每一， ${\delta }_{n{K}_1}\le {\delta }_{n{K}_2}$；

(3) 对每一 $K\in C\left(X\right)$ 及 $n\in N$， ${\delta }_{nK}\le {\zeta }_{nK}$。

证：设 $g$ 为X的c-层函数，对每一 $n\in N$ 及 $K\in C\left(X\right)$，令 ${\delta }_{nK}={\chi }_{g\left(n,K\right)}$， ${\zeta }_{nK}={\chi }_{\overline{g\left(n,k\right)}}$，则 $\left\{{\delta }_{nK}\in L\left(X\right):n\in N\right\}$ 关于n递减且 ${\zeta }_{nK}\left(X\right)\in U\left(X\right)$。(2) (3)显然成立。

(1) 设 $x\in X$，若 ${\chi }_K\left(x\right)=1$，则 $x\in K$，则对每一 $n\in N$，有 $x\in g\left(n,K\right)\subset \overline{g\left(n,K\right)}$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\delta }_{nK}\left(x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\zeta }_{nK}\left(x\right)=1={\chi }_K\left(x\right)$；若 ${\chi }_K\left(x\right)=0$，则 $x\notin K$，故存在 $m\in n$ 使得对任意 $n\ge m$，有，于是 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\delta }_{nK}\left(x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\zeta }_{nK}\left(x\right)=0={\chi }_K\left(x\right)$。

反之，对每一 $x\in X$ 及 $n\in N$，令 $g\left(n,x\right)=\left\{y\in X:{\delta }_{n\left\{x\right\}}\left(y\right)>1/2\right\}$，则g为X上的g-函数。对每一 $n\in N$ 及 $K\in C\left(X\right)$，令 $F\left(n,K\right)=\left\{x\in X:{\zeta }_{nK}\left(x\right)\ge 1/2\right\}$，则 $F\left(n,K\right)\in {\tau }^c$。设 $y\in g\left(n,K\right)$，则存在 $x\in K$ 使得 $y\in g\left(n,x\right)$。由条件(2)，(3)得，故 $y\in F\left(n,K\right)$，这表明 $g\left(n,K\right)\subset F\left(n,K\right)$，故 $\overline{g\left(n,K\right)}\subset F\left(n,K\right)$。

设，则对每一 $n\in N$， $x\in \overline{g\left(n,K\right)}\subset F\left(n,K\right)$，则 ${\chi }_K\left(x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\zeta }_{nK}\left(x\right)\ge 1/2$，故
$x\in K$，这说明 $\underset{n\in N}{\cap }\overline{g\left(n,K\right)}\subset K$，于是 $K=\underset{n\in N}{\cap }\overline{g\left(n,K\right)}$。故 $X$ 为c-层空间。

定理2.6：X为kc-半层空间当且仅当对每一 K ∈C(x) ，存在递减函数列满足

(1) ；

(2) 若 $K_1,K_2\in C\left(x\right)$ 且 $K_1\subset K_2$，则对每一 $n\in N$，有 ${\delta }_{n{K}_1}\le {\delta }_{n{K}_2}$；

(3)若 $K,H\in C\left(x\right)$ 且 $K\cap H=\Phi$，则存在 $m\in N$ 使得对任意 $x\in H$ 有 ${\delta }_{mK}\left(x\right)=0$。

证：设g为kc-半层函数，对每一 $n\in N$ 及 $K\in C\left(X\right)$，令 ${\delta }_{nk}\left(X\right)={\chi }_{g\left(n,K\right)}$，则 $\left\{{\delta }_{nK}:n\in N\right\}$ 关于 $n$ 递减且 ${\delta }_{nK}\in L\left(X\right)$。(1) (2)的证明同定理2.2。设 $K,H\in C\left(x\right)$ 且 $K\cap H=\Phi$，则存在 $m\in N$ 使得 $H\cap g\left(m,K\right)=\Phi$，故对任意 $x\in H$， ${\delta }_{mK}\left(x\right)=0$。

反之，对每一 $x\in X$ 及 $n\in N$，令 $g\left(n,x\right)=\left\{y\in X:{\delta }_{n\left\{x\right\}}\left(y\right)>1/2\right\}$，则g为X上的g-函数。对每一 $n\in N$ 及 $K\in C\left(X\right)$，令，则 $g\left(n,K\right)\subset G\left(n,K\right)$。设 $K,H\in C\left(X\right)$ 且 $K\cap H=\Phi$，由条件(3)，存在 $m\in N$ 使得对任意有 ${\delta }_{mK}\left(x\right)=0$，故 $H\cap G\left(m,K\right)=\Phi$，从而 $H\cap g\left(m,K\right)=\Phi$。故 $X$ 为kc-半层空间。

由定理2.2的证明可得：

定理2.7：X为kc-半层空间当且仅当对每一 $K\in C\left(x\right)$，存在递减函数列 $\left\{{\delta }_{nK}\in L\left(X\right):n\in N\right\}$ 满足

(1) 对每一 $n\in N$ 及 $K\in C\left(x\right)$，若 $x\in K$，则 ${\delta }_{nK}\left(x\right)=1$；

(2) 若 $K_1,K_2\in C\left(x\right)$ 且 $K_1\subset K_2$，则对每一 $n\in N$，有 ${\delta }_{n{K}_1}\le {\delta }_{n{K}_2}$；

(3) 若 $K,H\in C\left(x\right)$，且 $K\cap H=\Phi$，则 $\langle {\delta }_{nK}\rangle$ 在 $H$ 上一致收敛于0。

由定理2.5的证明可得：

命题2.8：X为c-半层空间当且仅当对每一 K ∈C(x)，存在递减函数列 $\left\{{\delta }_{nK}\in L\left(X\right):n\in N\right\}$ 满足

(1) $\underset{n\to \infty }{\lim }{\delta }_{nK}={\chi }_K$；

(2) 若且 $K_1\subset K_2$，则对每一 $n\in N$，有 ${\delta }_{n{K}_1}\le {\delta }_{n{K}_2}$。

参考文献