一类含脉冲项的Gronwall型积分不等式的推广

Generalization of Integral Inequalities of the Gronwall Type for Discontinuous Function

摘要: 本文利用数学归纳法研究了一类含脉冲项的Gronwall型积分不等式。推广了已有的形式，所得结果更具有普遍性。

Abstract: This paper investigates generalization of integral inequalities of Gronwall type for discontinuous function by using the mathematical induction. It generalizes the existing forms and the results are more universal.

1. 引言

Gronwall型积分不等式和它们的各种推广形式在讨论微分方程解的存在性、唯一性、连续性、有界性、稳定性和不变流形等方面有着十分重要的作用。关于连续函数的积分不等式及其应用方面已有很多结果，如文献 [1] [2] [3] [4] 等。

脉冲是指电子电路中的电平状态突变，既可以是突然升高(脉冲的上升沿)，也可以是突然降低(脉冲的下降沿)。一般脉冲在电平突变后，又会在很短的时间内恢复原来的电平状态。在机械工程中常见这种现象，体现在数学上就是脉冲微分方程。实际中，我们经常需要讨论脉冲微分方程解的存在性问题，而这个问题又会涉及到脉冲积分不等式(即，非连续函数的积分不等式)。对含脉冲项的积分不等式的研究主要是为了解决具有脉冲扰动的微分方程、积分方程和泛函微分方程解的定性性质，如解的有界性、吸引性、稳定性等。

最近越来越多的学者开始关注含脉冲项Gronwall型积分不等式。Samoilenko和Perestyuk [5] 于1987年为讨论脉冲微分方程研究了如下的脉冲积分不等式

$u\left(t\right)\le c+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(s\right)u\left(s\right)\text{d}s+{\displaystyle \underset{t_0<t_i<t}{\sum }{\beta }_i}}u\left(t_i-0\right)$ ， (1)

其中 $0\le t_0<t_1<\cdots ,\underset{i\to \infty }{\lim }{t}_i=\infty ,u\left(t_i-0\right)=\underset{t\to t_i^{-}}{\lim }u\left(t\right).{\beta }_i\ge 0,i=1,2,\cdots$ 是常数， $t_i$ 是 $u$ 的第一类不连续点。

2005年，Samoilenko和Perestyuk [6] 用单调不减函数代替常数讨论了如下Bellman-Bihari型积分不等式

$u\left(t\right)\le \varphi \left(t\right)+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(s\right)u^m\left(s\right)\text{d}s+{\displaystyle \underset{t_0<t_i<t}{\sum }{\beta }_i}}{u}^m\left(t_i-0\right),m>0$ 。 (2)

2007年，Iovane [7] 又研究了含时滞项 $p\left(t\right)$ 的非连续函数积分不等式

$u\left(t\right)\le \varphi \left(t\right)+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(s\right)u^m\left(p\left(s\right)\right)\text{d}s+{\displaystyle \underset{t_0<t_i<t}{\sum }{\beta }_i}}{u}^m\left(t_i-0\right),m>0$ 。 (3)

此后，关于这类积分不等式的新改进和推广不断出现 [8] [9] [10] [11] 。2009年，Gallo和Piccirillo [8] 研究了含时滞项 $p\left(t\right)$ 及非线性项 $\omega \left(u\right)$ 的非连续函数Bellman-Bihari型积分不等式

$u\left(t\right)\le \varphi \left(t\right)+g\left(t\right){\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(s\right)\omega \left(u\left(p\left(s\right)\right)\right)\text{d}s+{\displaystyle \underset{t_0<t_i<t}{\sum }{\beta }_i}}{u}^m\left(t_i-0\right)$ 。 (4)

受前面方法的启发，本文欲将不等式(4)推广到如下含时滞项及 $n$ 个非线性项的形式

$\varphi \left(u\left(t\right)\right)\le c_0+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_0\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{u}^q\left(s\right)\left[f_i\left(s\right)\omega \left(u\left(s\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s+h\left(t\right){\displaystyle \underset{t_0<t_j<t}{\sum }{\beta }_j}}}{u}^m\left(t_j-0\right)$ 。 (5)

2. 主要结果

假设

(H1) $\varphi \left(t\right)$ 是定义在 $\left[\text{0},\infty \right)$ 的非负单增连续函数且 $\varphi \left(\infty \right)=\infty$ ；

(H2) 是定义在 $\left[t_0,\infty \right)$ 上的非负连续函数， ${\alpha }_i\left(t\right)$ 是定义在 的非负可导函数，且 ${\alpha }_i\left(t\right)\le t，i=1,2,\cdots ,n$ ， $t\in \left[t_{i-1},t_i\right]$ 时 ；

(H3)是定义在 $\left[t_0,\infty \right)$ 上的非负分段连续函数，其中 $0\le t_0<t_1<\cdots$ ， $t_j$ 是 $u\left(t\right)$ 的第一类不连续点， $u\left(t_{{}_j}-0\right)=\underset{t\to t_j{}^{-}}{\lim }u\left(t\right)$ 且 $\underset{j\to \infty }{\lim }{t}_j=\infty$ ；

(H4) $\omega \left(u\right)$ 是定义在 $\left[\text{0},\infty \right)$ 上的单调不减连续函数，且当 $u>0$ 时， $\omega \left(u\right)>0$ ；

(H5) $c_0,q,m,{\beta }_j$ 都是常数且 $c_0\ge \text{0},q>0,m>0,{\beta }_j\ge 0,j=1,2,\cdots$ 。

定理：假设条件(H1)~(H5)成立，且 $u\left(t\right)$ 满足不等式(5)。如果对任意 $t\in \left[t_j,t_{j+1}\right)$ ， $j=0,1,2,\cdots$ ，令 ，则函数 $u\left(t\right)$ 的估计可由下式递归给出

$u_j\left(t\right)\le {\varphi }^{-1}\left\{G^{-1}\left[W^{-1}\left(W\left(p_j\left(t\right)\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_j\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{f}_i\left(s\right)\text{d}s}}\right)\right]\right\},t\in \left[t_j,t_{j+1}\right),$ (6)

其中

$c_{j+1}\left(t\right)=c_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{j}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_{k-1}\right)}^{{\alpha }_i\left(t_k\right)}{u}_{k-1}{}^q\left(s\right)\left[f_i\left(s\right)\omega \left(u_{k-1}\left(s\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s+h\left(t\right){\displaystyle \underset{k=1}{\overset{j}{\sum }}{\beta }_k{u}_{k-1}{}^m\left(t_k-0\right)}}}}$ (7)

$p_j\left(t\right)=G\left(c_j\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_j\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{g}_i\left(s\right)\text{d}s}},$ (8)

并且

$G\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{t_0}^t\frac{\text{d}s}{{\left[{\varphi }^{-1}\left(s\right)\right]}^q}}$ ，

$W\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{t_0}^t\frac{\text{d}s}{\omega {\left[{\varphi }^{-1}\left(G^{-1}\left(s\right)\right)\right]}^q}},r\ge r_0>0$ ， (9)

且

$W\left(p_j\left(t\right)\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_j\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{f}_i\left(s\right)\text{d}s}}\le {\displaystyle {\int }_{t_0}^t\frac{\text{d}s}{\omega {\left[{\varphi }^{-1}\left(G^{-1}\left(s\right)\right)\right]}^q}},$

$W^{-1}\left(W\left(p_j\left(t\right)\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_j\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{f}_i\left(s\right)\text{d}s}}\right)\le {\displaystyle {\int }_{t_0}^t\frac{\text{d}s}{{\left[{\varphi }^{-1}\left(s\right)\right]}^q}}$ 。

证明：首先，考虑 $j=0$ 即 $t\in \left[t_0,t_1\right)$ ，此时(5)中不含有脉冲项，故(5)式变为

$\varphi \left(u\left(t\right)\right)\le c_0+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_0\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{u}^q\left(s\right)\left[f_i\left(s\right)\omega \left(u\left(s\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s}}$ 。 (10)

先讨论 $c_0>0$ 情形。

令

$X\left(t\right)=c_0+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_0\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{u}^q\left(s\right)\left[f_i\left(s\right)\omega \left(u\left(s\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s}}$ ， (11)

则 ， $\varphi \left(u\left(t\right)\right)\le X\left(t\right)$ ，即 $u\left(t\right)\le {\varphi }^{-1}\left(X\left(t\right)\right)$ ，且 $X\left(t\right)$ 为 $\left[t_0,\infty \right)$ 上非负不减函数。(11)式两边对 $t$ 求导，有

$X^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{u}^q\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\left[f_i\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\omega \left(u\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\right)+g_i\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\right]{{\alpha }^{\prime }}_i\left(t\right)}$ 。

而 $u\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\le {\varphi }^{-1}\left(X\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\right)\le {\varphi }^{-1}\left(X\left(t\right)\right)$ ，所以

$X^{\prime }\left(t\right)\le {\left({\varphi }^{-1}\left(X\left(t\right)\right)\right)}^q{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left[f_i\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\omega \left({\varphi }^{-1}\left(X\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\right)\right)+g_i\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\right]{{\alpha }^{\prime }}_i\left(t\right)}$ ， (12)

即

$\frac{X^{\prime }\left(t\right)}{{\left({\varphi }^{-1}\left(X\left(t\right)\right)\right)}^q}\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left[f_i\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\omega \left({\varphi }^{-1}\left(X\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\right)\right)+g_i\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\right]{{\alpha }^{\prime }}_i\left(t\right)}$ 。 (13)

(13)式两边对 $t$ 从到 $t$ 积分得

$\begin{array}{c}G\left(X\left(t\right)\right)=G\left(c_0\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_0\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}\left[f_i\left(s\right)\omega \left({\varphi }^{-1}\left(X\left(s\right)\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s}}\\ =G\left(c_0\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_0\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{g}_i\left(s\right)\text{d}s}}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_0\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{f}_i\left(s\right)\omega \left({\varphi }^{-1}\left(X\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}}\end{array}$ 。 (14)

记

， (15)

则

。(16)

任取 $T\in \left[t_0,t_1\right)$ ，因为非减函数，故对于任意 $t\in \left[t_0,T\right)$ 有如下不等式成立

$G\left(X\left(t\right)\right)\le p_0\left(T\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_0\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{f}_i\left(s\right)\omega \left({\varphi }^{-1}\left(X\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}}$ 。 (17)

(17)式右端为 $Y\left(t\right)$ ，则 $Y\left(t\right)$ 为非减函数， $Y\left(t_{\text{0}}\right)=p_0\left(T\right)$ 且 $X\left(t\right)\le G^{-1}\left(Y\left(t\right)\right)$ ， $Y\left(t\right)$ 对 $t$ 求导得

$\begin{array}{c}{Y}^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_i\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\omega \left({\varphi }^{-1}\left(X\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)\right)\right)}{{\alpha }^{\prime }}_i\left(t\right)\\ \le \omega \left({\varphi }^{-1}\left(G^{-1}\left(Y\left(t\right)\right)\right)\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_i\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)}{{\alpha }^{\prime }}_i\left(t\right)\end{array}$ 。 (18)

从而

$\frac{Y^{\prime }\left(t\right)}{\omega \left({\varphi }^{-1}\left(G^{-1}\left(Y\left(t\right)\right)\right)\right)}\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_i\left({\alpha }_i\left(t\right)\right)}{{\alpha }^{\prime }}_i\left(t\right)$ 。 (19)

(19)两边对 $t$ 从到 $t$ 积分，得

$W\left(Y\left(t\right)\right)\le W\left(Y\left(t_0\right)\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_0\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{f}_i\left(s\right)\text{d}s}}$ ，

即，

$Y\left(t\right)\le W^{-1}\left[W\left(p_0\left(T\right)\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_0\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{f}_i\left(s\right)\text{d}s}}\right]$ 。 (20)

所以，

$u\left(t\right)\le {\varphi }^{-1}\left\{G^{-1}\left[W^{-1}\left(W\left(p_0\left(T\right)\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_{\text{0}}\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{f}_i\left(s\right)\text{d}s}}\right)\right]\right\},$ (21)

由的任意性，用 $t$ 代替 $T$ ，即有

$u\left(t\right)\le {\varphi }^{-1}\left\{G^{-1}\left[W^{-1}\left(W\left(p_0\left(t\right)\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_{\text{0}}\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{f}_i\left(s\right)\text{d}s}}\right)\right]\right\}.$ (22)

若 $c_0=0$ ，选取小正数 ε > 0 代替 $c_0$ ，然后让 $\epsilon$ 趋于0，同样证明。

所以对于 $j=0$ ， $t\in \left[t_0,t_1\right)$ ，用 $u_0\left(t\right)$ 代替(22)中的 $u\left(t\right)$ ，估计式(6)成立。

$j=1$ 时， $t\in \left[t_1,t_2\right)$ ，此时不等式(5)有脉冲项。将(5)变形为

$\begin{array}{c}\varphi \left(u\left(t\right)\right)\le c_0+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_0\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{u}^q\left(s\right)\left[f_i\left(s\right)\omega \left(u\left(s\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s+h\left(t\right){\beta }_{\text{1}}{u}^m\left(t_{\text{1}}-0\right)}}\\ \le c_0+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_{\text{0}}\right)}^{{\alpha }_i\left(t_{\text{1}}\right)}{u}_{\text{0}}{}^q\left(s\right)\left[f_i\left(s\right)\omega \left(u_{\text{0}}\left(s\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s+h\left(t\right){\beta }_{\text{1}}{u}_{\text{0}}{}^m\left(t_{\text{1}}-0\right)}}\\ +{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_{\text{1}}\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{u}^q\left(s\right)\left[f_i\left(s\right)\omega \left(u\left(s\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s}}\\ \le c_1+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_{\text{1}}\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{u}^q\left(s\right)\left[f_i\left(s\right)\omega \left(u\left(s\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s}}\end{array}$ ， (23)

这里 $c_1$ 的定义如(7)， $u_0\left(t\right)$ 的估计式见(22)。如果用 ${\alpha }_i\left(t_1\right)$ 和 $c_1$ 代替 ${\alpha }_i\left(t_0\right)$ 和 $c_0$ ，代替 $p_{\text{0}}\left(t\right)$ ( $p_1\left(t\right)$ 如(8)式定义)，(23)式完全类似于(10)式。故

(24)

故对于 $j=1$ ， $t\in \left[t_1,t_2\right)$ ，用代替(24)中的 $u_1\left(t\right)$ ，估计式(6)成立。

假设对任意 $t\in \left[t_j,t_{j+1}\right)\left(0\le j\le k\right)$ 估计式(6)成立，即

(25)

则当 $t\in \left[t_{j+1},t_{j+2}\right)$ 时，由(5)知

$\begin{array}{c}\varphi \left(u\left(t\right)\right)\le c_0+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_0\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{u}^q\left(s\right)\left[f_i\left(s\right)\omega \left(u\left(s\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s+h\left(t\right){\displaystyle \underset{t_0<t_j<t}{\sum }{\beta }_j}}}{u}^m\left(t_j-0\right)\\ =c_0+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{j+1}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_{k-1}\right)}^{{\alpha }_i\left(t_k\right)}{u}_{k-1}{}^q\left(s\right)\left[f_i\left(s\right)\omega \left(u_{k-1}\left(s\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s}}}\\ +{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{j+1}{\sum }}{\beta }_k}{u}_{k-1}{}^m\left(t_k-0\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_{j+1}\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{u}^q\left(s\right)\left[f_i\left(s\right)\omega \left(u\left(s\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s}}\\ =c_{j+2}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{{\alpha }_i\left(t_{j+1}\right)}^{{\alpha }_i\left(t\right)}{u}^q\left(s\right)\left[f_i\left(s\right)\omega \left(u\left(s\right)\right)+g_i\left(s\right)\right]\text{d}s}}\end{array}$ (26)

这里 $c_{j+2}$ 的定义如(7)。由假设知 $t\in \left[t_0,t_{j+1}\right)$ 时， $u\left(t\right)$ 的估计式可由(25)给出，同样用 ${\alpha }_i\left(t_{j+1}\right)$ 和 $c_{j+2}$ 代替 ${\alpha }_i\left(t_{\text{0}}\right)$ 和 $c_0$ ， $p_{j+1}\left(t\right)$ 代替 $p_{\text{0}}\left(t\right)$ ，(26)完全类似于(10)，故有

。 (27)

综上所述，估计式(6)成立，定理得证。

基金项目

2018年岭南师范学院校级科研项目(理科)重点项目(LZ1806)。

NOTES

^*通讯作者。