1. 引言
凸性在最优化理论中被广泛使用。然而，在很多实际问题的研究中，我们所研究的函数或集合大都是非凸的。所以研究各类广义凸函数及其应用具有很重要的现实意义。近年来，凸性的概念已被推广到不同类型的广义凸函数。特别，1965年，Mangassrian [1] 首次引进拟凸和伪凸的概念并给出若干性质。1970年，Cottle和Ferland [2] [3] 进一步对拟凸优化问题进行了研究，并给出了拟凸函数的一些性质。
另一方面，次微分是研究凸优化问题最优性条件的基本工具。因此，对于广义凸函数类，如何引进对应的次微分并研究其最优性条件是很重要的研究方向。1973年，Greenberg和Pierskalla [4] 定义了拟凸函数的Greenberg-Pierskalla次微分。1985年，Plastria [5] 定义了Plastria次微分。随后，Penot [6] [7] 利用拟凸函数几种次微分给出了最优性条件。目前，对拟凸数值优化问题最优性条件的研究已取得一定的进展 [8] [9] [10] [11] ，而对于拟凸多目标优化问题解的最优性条件研究较少 [12] 。特别地，文献 [13] 研究了凸性条件下严格解的最优性条件，在此基础上我们进一步研究拟凸多目标优化问题严格解的最优性必要条件。
本文主要研究了拟凸多目标优化问题严格解的最优性必要条件。具体内容安排如下：第2节给出拟凸优化的概念和结果；第3节考虑带有抽象集约束的拟凸优化问题，给出多目标拟凸优化问题的最优性必要条件；第4节考虑带有不等式约束的优化问题，给出第3节中拟凸优化多目标问题的最优性必要条件的具体形式。
2. 预备知识
设是n维欧几里得空间，为非负象限，是非空集合。，分别表示的闭包和锥包。对，表示x到的距离。
对，在的切锥和法锥分别定义为
特别的当是凸集时，法锥退化为
对
定义2.1 [14] ：设。若对有
则称是上的拟凸函数。
本文考虑下面的多目标优化问题
其中，为凸集，为拟凸函数。
定义2.2 [13] ：i) 当时，(MOP)为单目标问题。若存在，对任意满足
则称为单目标优化问题的严格解。
ii) 当时，(MOP)为多目标问题。若存在，对任意满足
则称为多目标优化问题的严格解。
定义2.3 [15] ：函数在处的Plastria次微分和Gutierrez次微分定义如下
其中，，，。
定义2.4 [15] ：称在处为Plastria函数，若严格水平集是凸的，且有
称在处为Gutierrez函数，若水平集是凸的，且有
3. 拟凸条件下严格解的最优性必要条件
本节内容主要利用拟凸的次微分给出拟凸单目标和多目标优化问题的最优性必要条件。
首先，考虑单目标优化问题严格解的最优性必要条件。
定理3.1：为单目标优化问题的严格解，f在处为Gutierrez函数，且不是f在上的局部弱有效解，则
证明：因为为严格解，从而有，所以. 故由凸集分离定理可知，存在使得
令，则由上式左边可知，令，则由上式右边可知，因此。故有且。由不是f在上的局部弱有效解且可知。因为，所以存在，使得，所以。
注 3.1：定理3.1的逆命题不一定成立，参见例3.1。
例 3.1：考虑拟凸函数
令，取，则。因此，但不
是严格解。
若将更改为，其中U为中的闭单位球，则有如下结
论。
定理3.2：对单目标问题，若存在使得
证明：令则。存在使得
由可知，存在使得，即
故有
所以
即为单目标优化问题的严格解。
下面，我们针对多目标优化问题给出严格解的最优性必要条件。
定理3.3：为多目标优化问题的严格解，在处为Gutierrez函数，且不是f在上的局部弱有效解，则存在不全为零的，使得
证明：设为严格解，即存在，对任意满足
即，又因为，从而有。故由凸集分离定理可知，存在使得
令，则由上式左边可知，令，则由上式右边可知，因此。故有且。由不是f在上的局部弱有效解且可知，从而由法锥的运算法则有。又因为在处为 Gutierrez函数，所以。因为，所以存在和不全为零的，使得。故有。
注 3.2：定理3.3的逆命题不一定成立，参见例3.2。
例 3.2：考虑多目标优化问题
其中，
令。取，这时有
取，有。但不是严格解。
4. 带有不等式约束的拟凸条件下严格解的最优性必要条件
本节我们考虑带有不等式约束的拟凸多目标问题，给出第3节中拟凸优化多目标问题的最优性必要条件的具体形式。将(MOP)问题中的抽象集退化为一般的不等式约束的情况，即
其中为拟凸函数。
引理 4.1 [7] ：设在处为Gutierrez函数，在处是上半连续的，。若下列条件(i)或(ii)成立，则在处为Gutierrez函数，。
i) 存在使得。
ii) 对是闭的，，为的对角线。
首选考虑单个约束的情况。
定理4.1：设为多目标优化问题的严格解，，在处为Gutierrez函数，且不是f在上的局部弱有效解。g在处是上半连续且在处为Gutierrez函数，则且存在和不全为零的使得
证明：首先，证明。反证，假设。因为g在处是上半连续的，所以，则为局部弱有效解，这与题意矛盾，故。由定理3.3可得，存在不全为零的，使得
因为g在处是Gutierrez函数，所以。又由知，故，从而，因此存在和不全为零的使得。
将上述定理推广到更一般的情况，我们可以得到以下结论。
定理4.2：设为多目标优化问题的严格解，在处为Gutierrez函数，且不是f在上的局部弱有效解。。假设引理中(i)或(ii)成立，均在处是上半连续，对，在处为Gutierrez函数，则存在和不全为零的使得
证明：令，对，属于的内部。所以对，有。所以。由定理3.3有，存在不全为零的使得且。又由定理3.3，有h在处是上半连续且在处为Gutierrez函数，所以。则存在。使得。所以存在和不全为零的使得。
基金项目
国家自然科学基金(11771064)。
参考文献