PM  >> Vol. 9 No. 2 (March 2019)

    Suzuki群与旗传递点本原2-(ν,Κ,λ)设计
    Suzuki Group and Flag-Transitive Point-Primitive 2-(ν,Κ,λ)Designs

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作者:  

王雨洁:华南理工大学数学学院,广东 广州

关键词:
2-设计旗传递Suzuki群2-Design Flag-Transitive Suzuki Group

摘要:

群论与组合设计有着紧密的内在关系,主要通过设计的自同构群的旗传递性、点本原性等性质来体现。本文研究D是一个非平凡的2-(ν,Κ,λ)设计,其中λ≤10。若G≤Aut(D)是旗传递、点本原的群,且G=Sz(q),则D是一个2-(65, 8, 7)设计,且G=Sz(8)

There are important internal connections between groups and combinatorial designs, which re-flected by the flag-transitivity, point-primitivity or other properties of the automorphism groups. Let D be non-trivial 2-designs with λ≤10. Assume that G=Sz(q) is a flag-transitive point-primitive automorphism group of D . Then D  is a 2-(65, 8, 7) design and G=Sz(8) .

1. 引言

1.1. 研究背景

t , v , k , λ 为正整数,满足 t < k < λ 。一个设计 t - ( v , k , λ ) 或t-设计 D 定义为符合以下条件的一对符号 ( P , B ) ,满足:

1) P 是有v个点的有限集, P 的元素为点;

2) B P 的一组k-子集, B 的元素称为区组或区;

3) P 的任意给定的t-子集都恰好包含在 B λ 个区组之中。

这里r是过一个点的区的个数,b是区组的总数。我们总假设B的成员都不相同,即B中的区组不允许重复出现,称 ( v , b , r , k , λ ) 为设计D的参数。当 t < k < v 1 时,称t-设计 P 是非平凡的。

设计 D = ( P , B ) 的一个旗是指点–区对 ( α , B ) ,这里 α P B B α B G A u t ( D ) ,若G在 P 上的作用是本原的,称G是点本原的。若G在 D 的旗的集合上是传递的,称G或者 D 是旗传递的。

1988年,P. H. Zieschang [1] 已经证明若G是一个旗传递 2 - ( v , k , λ ) 设计的自同构群且 ( r , λ ) = 1 ,T是G的一个极小正规子群那么T是仿射型或者几乎单型。Regueiro [2] 证明了当 λ 3 时,G是仿射型或者几乎单型。当 λ 4 时 [3] [4] ,可以得到相同的结果。2013年周胜林和田德路 [5] 证明了若G旗传递、点本原作用在 D 上且 λ 100 ,则G是仿射型或者几乎单型。最近梁洪雪和周胜林 [6] 分析了 D 是非对称的情况,并证明了一个旗传递、点本原、非对称 2 - ( v , k , 2 ) 设计的自同构群是仿射型或者几乎单型。

本文研究了旗传递、点本原 2 - ( v , k , λ ) 设计当 λ 10 且自同构群G为Suzuki群时的情况,得到如下结果:

设D是一个非平凡的 2 - ( v , k , λ ) 设计,其中 λ 10 ,若 G = S z ( q ) 是D的旗传递、点本原的自同构群。则D是一个 2 - ( 65 , 8 , 7 ) 设计,且

1.2. 预备知识

引理1: [7] 若是一个设计。则下面式子成立:

1)

2)

3)

引理2: [8] 设是一个设计,,对任意的,则G在上旗传递等价于下列的条件之一:

1) G是点–传递的,并且在P(x)上传递;

2) G是区–传递的,并且在B上传递。

引理2: [8] 设是一个设计且是旗传递的,则,其中

引理4: [9] 设,e是一个正整数,则

证明:,得到。由,得到

,得到

2. 定理1的证明

是一个满足设计,是旗传递、点本原的群,且,其中。G的极大子群的阶有4种情况,分别是。其中并且。现在我们来讨论点稳定子群的阶在4种情况下,设计是否存在。

引理5:是一个满足设计,是旗传递、点本原的群,且。若,则D是一个设计,且

证明:,则

由于G是旗传递的,并且,可以得到

由于,则必存在G的一个极大子群L,使得

首先假设,则,因此

由于G旗传递,可以得到。而。故

,则,其中i是自然数,由可以得出k = 2与非平凡矛盾。

,则,得出或者。否则,则,此时可以得到,即,故。而,因此可以得到,i是自然数且,j是自然数。又,可以得到,即,与D非平凡矛盾。故而或者

,则,其中i是自然数,,由于,得出i = 0,k = 3。,得出,又,得出。与引理4矛盾。

,则,其中j是自然数,,由于,得出j = 0,k = 4。已知G在v个点上是2-传递的 [10] ,则

因此。记Q是包含一些区的集合,且Q里的区均包含。则

现在证明存在,使得。否则不固定Q中任一个区,则在Q上传递,且。又。与引理4矛盾。所以一定存在,使得

已知半正则作用于 [10] ,则,任取。故,得出,则。与k = 4矛盾。

,则,得出或者。否则,则,此时可以得到,即,故。而,因此可以得到,i是自然数且,j是自然数。又,可以得到,即,与D非平凡矛盾。故而或者

,则,其中j是自然数,,由于,得出i = 0,k = 6,与矛盾。

,则,其中i是自然数,,由于,得出i = 0,k = 5。,得出,又,得出。与引理4矛盾。

,则,得出或者。否则,则,此时可以得到,即,故。而,因此可以得到,i是自然数且,j是自然数。又,可以得到,即,与D非平凡矛盾。故而或者

,则,其中i是自然数,,由于,得出i = 0,,k = 3。,得出,又,得出。与引理4矛盾。

,则仿照证明的方法可得k = 4,此时

现在证明存在,使得。否则不固定Q中任一个区。此时的轨道长度可能为2,3,4,6,都不能整除,得出矛盾。所以一定存在,使得

已知半正则作用于,则,任取。故,得出,则。与k = 4矛盾。

,则,得出或者。否则,则,此时可以得到,即,故。而,因此可以得到,i是自然数且,j是自然数。又,可以得到,即,与D非平凡矛盾。故而或者

,则,其中i = 1,2,j是自然数,,由于,得出i = 0,k = 3。,若k = 3,则,得出,又,得出。与引理4矛盾。若k = 9,则,得出,又,得出。与引理4矛盾。

,则仿照证明的方法可得k = 4。,得出,又,得出。与引理4矛盾。

,则,得出或者。否则,则,此时可以得到,即,故。而,因此可以得到,i是自然数且,j是自然数。又,可以得到,即,与D非平凡矛盾。故而或者

,则,其中j是自然数,,由于,得出i = 0,k = 6,与矛盾。

,则,其中i是自然数,,由于,得出i = 0,k = 5。,得出,又,得出。与引理4矛盾。

,则,得出或者。否则,则,此时可以得到,即,故。而,因此可以得到,i是自然数且,j是自然数。又,可以得到,即,与D非平凡矛盾。故而或者

,则k = 7,显然。得出矛盾。

,则k = 8。当q = 8时,v = 65,r = 64,b = 520。接下来利用Magma [11] 验证存在参数组为(56, 65, 520, 64, 8, 7)的设计。

利用指令Primitive Group (65, 3)可返回本原群库中作用在65个点上排在第3个位置的本原群,即Sz(q)。

由于G是旗传递的,则,故必存在指数为b的子群。利用指令Subgroups (G: Order Equal: = n),其中,可得到G的指数为b的子群,符合条件的子群又1个,即为

由于在B上是点传递的,则,则中至少存在一个长度为k的轨道。利用指令可知有1个长度为k即8的轨道,记这个轨道为

由于G在上是区传递的,对于必有。利用指令可知轨道O符合条件。利用指令,返回(65, 8, 7)。可知参数组(56, 65, 520, 64, 8, 7)是我们要找的符合条件的参数。

其次,设。则,可以得到

时,,可得

此时,因此,可得,故q = 8,32。当q = 8时,。当q = 32时,。存在矛盾。

时,若,则可得出矛盾。若,则,此时,因此,可得,得到q = 8,32,512,在这三种情况下均可得到,得出矛盾。

第三,设,则可以得到

时,,可得。此时,因此,可得,不存在正解,得出矛盾。

时,若,则可得出矛盾。若,则,不存在正解,得出矛盾。

最后,设。则可以得到

时,,可得。此时,故。又,得到,推出m = 3。事实上,得出矛盾。

时,若,则可得出矛盾。若,则,得到,事实上得到,推出m = 3。但是,得出矛盾。

引理6:是一个满足设计,是旗传递、点本原的群,且。则

证明:假设存在点稳定子群使得,已知,即。又。则。即,得出。故q = 8,32。

时,

,则,故r = 13,26。已知,可以算出b不是整数,得出矛盾。

,则,故r = 13,39。若r = 39,可以算出b不是整数。若r = 13,则。而G的极大子群的阶只能为448,52或20。并且G是旗传递的,与矛盾。

,则,故r = 13,26,52。若r = 13,26,可以算出b不是整数。若r = 52,可以算出k不是整数,得出矛盾。

,则,故r = 13,65。若r = 65,可以算出b不是整数。若r = 13,则。由在B上传递可知,但是。得出矛盾。

,则,故r = 13,26,39,78。若r = 13,26,78,可以算出b不是整数。若r = 39,则不是整数,矛盾。

,则,故r = 13,91。可以算出b不是整数,得出矛盾。

,则,故r = 13,26,52,104。可以算出b不是整数,得出矛盾。

,则,故r = 13,39,117。可以算出b不是整数,得出矛盾。

,则,故r = 13,26,65,130。可以算出b不是整数,得出矛盾。

时,,即

通过计算可得,当时,b均不是整数,得出矛盾。

引理7:是一个满足设计,是旗传递、点本原的群,且。则

证明:假设存在点稳定子群使得,已知,即。仿照上一引理可得

,由,可以得到,与矛盾。

引理8:是一个满足设计,是旗传递、点本原的群,且。则

证明:假设存在点稳定子群使得,则

得出。则

,又。可知。即。可以得到,从而,得出矛盾。

定理1的证明:利用引理5~引理8可以得到定理1。

致谢

本论文在写作过程中与张志林博士和张永莉博士进行了有益的讨论,在此表示感谢!论文还得到了广东省自然科学基金的资助。

基金项目

广东省自然科学基金(编号:2017A030313001)。

文章引用:
王雨洁. Suzuki群与旗传递点本原2-(ν,Κ,λ)设计[J]. 理论数学, 2019, 9(2): 174-181. https://doi.org/10.12677/PM.2019.92022

参考文献

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