AAM  >> Vol. 8 No. 4 (April 2019)

    具有间接吸引信号产出的高维趋化增长系统解的有界性
    Boundedness in the Higher-Dimensional Chemotaxis-Growth System with Indirect Attractant Production

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作者:  

唐清泉,辛 巧:伊犁师范大学数学与统计分院,新疆 伊宁

关键词:
间接信号产出趋化性Logistic源有界性Indirect Signal Production Chemotaxis Logistic Source Boundedness

摘要:

本文考虑一个具有间接信号产出的山松甲壳虫趋化增长系统:
,其中是一个光滑有界区域,τ>0。利用能量方法和Moser迭代证明了在任意充分光滑的初值边界条件下,当µ足够大,该模型有唯一的全局有界经典解。

This paper deals with the following Chemotaxis-growth system of the Mountain Pain Beetle with in-direct attractant production: in a smoothly bounded domain ,   is positive. The energy method and Moser iteration are used to prove that under any sufficiently smooth initial boundary conditions, when µ is large enough, the model has a unique global-in-time classical solution.


1. 引言

本文考虑了具有间接信号产生的趋化增长模型:

{ u t = Δ u ( u v ) + μ ( u u 2 ) , x Ω , t > 0 , v t = Δ v + w v , x Ω , t > 0 , τ w t + w = u , x Ω , t > 0 , u n = v n = w n = 0 , x Ω , t > 0 , u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) , v ( x , 0 ) = v 0 ( x ) , w ( x , 0 ) = w 0 ( x ) , x Ω , (1.1)

其中 Ω n ( n 3 ) 是一个光滑有界区域, τ > 0 u = u ( x , t ) 表示飞行甲壳虫的密度, v = v ( x , t ) 表示做窝甲壳虫释放的化学信号浓度, w = w ( x , t ) 表示做窝甲壳虫的密度。山松甲壳虫的模型最早由Strohm,Tyson和Powell [1] 提出,该模型是为了研究山松甲壳虫的趋化行为。趋化行为是指由化学信号浓度梯度引起细胞的偏向运动,细胞偏向于朝化学信号浓度增加的地方移动 [2] [3] [4]。著名的趋化模型是由Keller-Segel于1970年提出 [5] ,具体表示为:

{ u t = Δ u ( u v ) , x Ω , t > 0 , v t = Δ v v + u , x Ω , t > 0 u n = v n = 0 , x Ω , t > 0 , u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) , v ( x , 0 ) = v 0 ( x ) , x Ω ,

其中 Ω n 是一个光滑有界区域, u 表示细胞密度; v 表示细胞产生的化学信号浓度。Keller-Segel模型中的化学信号是由细胞直接产出的,不同于Keller-Segel模型的是模型(1.1)飞行的甲壳虫在松树上做窝产卵变为做窝的甲壳虫产出 [6]。

n = 3 μ > 0 时,Hu和Tao在文献 [7] 中证明了模型解的全局有界性。本文证明了 n 3 μ > δ 2 + C ( p ) ( 2 δ 1 + ε ) 时,模型(1.1)解的全局有界性,其中 δ 1 δ 2 C ( p ) 满足(3.7),(3.11),(3.9)。当 n 2 时,Li和Tao [8] 研究了logistic源为 u u α 时的情况,系数满足 α > n / 2 时模型解的全局有界性,维数 n 4 时,显然 α > 2 ,而本文 α = 2 优于其结果。在Hu和Tao研究的基础上,Qiu,Mu和Wang [9] 将飞行甲壳虫的随机扩散项 Δ u 用非线性函数 D ( u ) 来描述,考虑扩散系数 D ( u ) 对模型的影响,当 n 3 时,假设扩散系数 D ( u ) > D 0 u θ 得到 θ > 1 4 / n 时模型解的全局有界性。而当 n 4 时,本文 θ = 0 优于其结果。当 n 1 时,Zheng在文献 [10] 中假设扩散系数 D ( u ) C D ( u + 1 ) m 1 得到 m > { 1 μ χ [ 1 + λ 0 v 0 L ( Ω ) 2 3 ] n 2 , 1 n 3 , 时模型解的全局有界性。但是本文 n 3 是文献 [10] 的一个临界情况。

本文在证明解的全局有界性时,先建立 Ω u 2 ( , t ) d x v ( , t ) W 1 , q ( Ω ) C 一致先验估计,再建立飞行甲壳虫 u L p ( Ω ) 一致估计,再由Moser迭代推得 u L ( Ω ) 一致有界性,进而根据抛物型方程Neumann边值问题的正则性理论推得 v w 的一致有界性。具体地说,有以下结果。

定理1: n 3 ,假设 u 0 C 0 ( Ω ¯ ) v 0 C 1 ( Ω ¯ ) w 0 C 1 ( Ω ¯ ) u 0 0 v 0 0 w 0 0 u 0 0 。存在唯一的非负函数 ( u , v , w )

u C 0 ( Ω ¯ × [ 0 , T max ) ) C 2 , 1 ( Ω ¯ × ( 0 , T max ) ) , v C 0 ( Ω ¯ × [ 0 , T max ) ) C 2 , 1 ( Ω ¯ × ( 0 , T max ) ) , w C 0 , 1 ( Ω ¯ × [ 0 , T max ) ) ,

Ω × ( 0 , ) 是模型(1.1)的经典解。特别的,存在一个常数 C > 0 ,使得

u ( x , t ) C v ( x , t ) C w ( x , t ) C , x Ω t > 0

2. 先验估计

为了证明定理1结果,首先介绍两个基本引理用于主要结论的证明。

引理1:假设 n 3 p > max { 1 , n 2 2 } ,则存在正常数 k 0 使得

v L 2 p + 2 ( Ω ) 2 p + 2 k 0 ( | v | p 1 D 2 v L 2 ( Ω ) 2 + 1 )

证明:在文献 [10] 中的引理2.7中有详细的证明过程。

要证明模型(1.1)的解全局有界,关键要建立 Ω u 2 ( , t ) d x v ( , t ) W 1 , q ( Ω ) C 的一致先验估计。

引理2:假设 n 3 ,对于任意 t ( 0 , T max ) ,存在正常数 C > 0 ,使得模型(1.1)的解 ( u , v , w ) 满足

Ω u ( , t ) d x C v ( , t ) W 1 , q ( Ω ) C Ω u 2 ( , t ) d x C

证明:Hu和Tao在文献 [7] 中的引理2.2和引理4.4中证明了 Ω u ( , t ) d x Ω u 2 ( , t ) d x 的有界性。由 Ω u 2 ( , t ) d x 的有界性可以得到 Ω w 2 ( , t ) d x C ,从而利用Horstmann和Winkler在文献 [11] 中的引理4.1得到 v ( , t ) W 1 , q ( Ω ) C ,其中 q < 2 n n 2

3. 主要结论的证明

根据引理2中的先验估计,我们下面利用引理1和Young不等式来估计 u L p ( Ω ) v L 2 p ( Ω ) w L p + 1 ( Ω ) 的有界性。

引理3:设 p > max { 1 , n 2 2 } ,若 μ 足够大,则对于任意的 t ( 0 , T max ) ,存在正常数 C : = C ( p , | Ω | , μ ) 使得趋化模型(1.1)的解 ( u , v , w ) 满足

u L p ( Ω ) p C v L 2 p ( Ω ) 2 p C w L p + 1 ( Ω ) p + 1 C

证明:第一步:对于任意的 t ( 0 , T max ) ,利用 v ( Δ v ) = 1 2 Δ | v | 2 | D 2 v | 2 和趋化模型(1.1)的第二个方程,经过简单的直接计算可得

(3.1)

对于等式(3.1)中的I项,取 r ( 0 , 1 2 ) ,则由 W r + 1 2 , 2 ( Ω ) 紧嵌入在 L 2 ( Ω ) 可得

1 2 Ω | v | 2 p 2 | v | 2 n d x 1 2 C Ω | v | p L 2 ( Ω ) 2 C 1 | v | p W r + 1 2 , 2 ( Ω ) 2 (3.2)

进一步,通过Gagliardo-Nirenberg不等式和 | v | 2 的有界性,则存在 a ( 0 , 1 ) 使得

| v | p W r + 1 2 , 2 ( Ω ) 2 C 2 | v | p L 2 ( Ω ) a + C 3 p 1 C 1 p 2 Ω | | v | p | 2 d x + C 4

联合不等式(3.2)可得

。 (3.3)

此外,对于等式(3.1)中的II项,利用Young不等式可知

Ω w v ( | v | 2 p 2 ) d x = ( p 1 ) Ω w | v | 2 ( p 2 ) v | v | 2 d x p 1 4 Ω | v | 2 p 4 | | v | 2 | 2 d x + ( p 1 ) Ω w 2 | v | 2 p 2 d x p 1 p 2 Ω | | v | p | 2 d x + ( p 1 ) Ω w 2 | v | 2 p 2 d x . (3.4)

另一方面,对于等式(3.1)中的III项,利用估计 | Δ v | n | D 2 v | 和Young不等式可得

Ω w | v | 2 p 2 Δ v d x n Ω w | v | 2 p 2 | D 2 v | d x 1 4 Ω | v | 2 p 2 | D 2 v | 2 d x + n Ω w 2 | v | 2 p 2 d x (3.5)

最后,利用Young不等式和引理1可得

Ω w 2 | v | 2 p 2 d x 1 4 ( n + p 1 ) k 0 Ω | v | 2 p + 2 d x + 2 p + 1 ( 4 ( n + p 1 ) ( p 1 ) k 0 p + 1 ) p 1 2 Ω w p + 1 d x 1 4 ( n + p 1 ) Ω | v | 2 p 2 | D 2 v | 2 d x + δ 1 Ω w p + 1 d x + C (3.6)

联合不等式(3.1)和(3.3)~(3.6)可得

1 2 p d d t v L 2 p ( Ω ) 2 p + Ω | v | 2 p d x + 1 2 Ω | v | 2 p 2 | D 2 v | 2 d x δ 1 Ω w p + 1 d x + C , (3.7)

其中

第二步:为了处理不等式(3.7)右端的项 δ 1 Ω w p + 1 d x ,对趋化模型(1.1)的第三个方程乘以 w p 并在 Ω 上进行积分并利用Young不等式可得

τ p + 1 d d t w L p + 1 ( Ω ) p + 1 + Ω w p + 1 d x = Ω u w p d x 1 2 Ω w p + 1 d x + C ( p ) Ω u p + 1 d x (3.8)

τ p + 1 d d t w L p + 1 ( Ω ) p + 1 + 1 2 Ω w p + 1 d x C ( p ) Ω u p + 1 d x (3.9)

其中 C ( p ) = 1 p + 1 ( p + 1 2 p ) p

第三步:为了处理不等式(3.9)右端的项 Ω u p + 1 d x ,对趋化模型(1.1)的第一个方程乘 u p 1 并在 Ω 上进行积分可得

1 p d d t u L p ( Ω ) p + ( p 1 ) Ω u p 2 | u | 2 d x = Ω ( u v ) u p 1 d x + μ Ω u p d x μ Ω u p + 1 d x . (3.10)

对于等式(3.10)右端的第一项,应用Young不等式和引理1可得

其中 δ 2 = p k 0 p ( p 1 ) p + 1 2 p + 2 ( p + 1 ) p + 1 。进而可得

1 p d d t u L p ( Ω ) p + 1 p u L p ( Ω ) p 1 2 Ω | v | 2 p 2 | D 2 v | 2 d x + ( μ + 1 p ) Ω u p d x ( μ δ 2 ) Ω u p + 1 d x + C . (3.11)

现在,由(3.7) + (3.9) × ( 2 δ 1 + ε ) + (3.11)可得

d d t [ 1 2 p v L 2 p ( Ω ) 2 p + τ ( 2 δ 1 + ε ) p + 1 w L p + 1 ( Ω ) p + 1 + 1 p u L p ( Ω ) p ] + Ω | v | 2 p d x + ε 2 Ω w p + 1 d x + 1 p u L p ( Ω ) p ( μ + 1 p ) Ω u p d x [ μ δ 2 C ( p ) ( 2 δ 1 + ε ) ] Ω u p + 1 d x + C ,

其中 ε 是任意给定的小常数。若 μ δ 2 C ( p ) ( 2 δ 1 + ε ) > 0 ,则利用Young不等式和Gronwall不等式可得

v L 2 p ( Ω ) 2 p C w L p + 1 ( Ω ) p + 1 C u L p ( Ω ) p C

事实上,若引理3中的 p n 1 ,则由抛物型方程Neumann边值问题的正则性理论 [12] 可得如下结论。

引理4:设 ( u , v , w ) 是趋化模型(1.1)的解,若 μ 足够大,那么对于任意的 t ( 0 , T max ) ,都存在一个常数 C > 0 使得

v ( , t ) L ( Ω ) C

在引理3和引理4的基础上,我们有如下的结论。

引理5:若 u 0 C 0 ( Ω ¯ ) v 0 C 1 ( Ω ¯ ) w 0 L ( Ω ¯ ) 是非负的,若 μ 足够大,那么对于任意的存在 t ( 0 , ] ,存在常数 C > 0 ,使得

u ( , t ) L ( Ω ) C w ( , t ) L ( Ω ) C

证明:对于任意的 p > 1 ,对趋化模型(1.1)的第一个方程两边同时乘并在 Ω 进行积分,然后借助于Young不等式和引理4,容易得到

1 p d d t u L p ( Ω ) p + ( p 1 ) Ω u p 2 | u | 2 d x ( p 1 ) Ω u p 1 | u | | v | d x + μ Ω u p 1 ( u u 2 ) d x C Ω u p 1 | u | d x + μ Ω u p 1 ( u u 2 ) d x p 1 4 Ω u p 2 | u | 2 d x + C Ω u p d x + μ Ω u p 1 ( u u 2 ) d x p 1 4 Ω u p 2 | u | 2 d x + C Ω u p d x μ Ω u p + 1 d x .

这样利用Young不等式可得

1 p d d t u L p ( Ω ) p + 1 p Ω u p d x + p 1 p 2 Ω | u p 2 | 2 d x C

进一步利用Gronwall不等式可得证

u ( , t ) L p ( Ω ) C

那么在引理4和引理5的基础上,运用标准的Alikakos-Moser迭代 [13] 可得证

u ( , t ) L ( Ω ) C

最后利用趋化模型(1.1)第三个一阶线性常微分方程的解,显然可得

w ( , t ) L ( Ω ) C

从而定理1得证。

注1:本文在 μ 足够大的条件下证明了方程解的全局有界性,事实上,若Logistic源项变为 μ u μ u α ,从引理3的证明可以看出,当 α > 2 时,对任意 μ > 0 趋化模型的解全局存在,证明过程只需要简单修改即可。

基金项目

自治区青年科技创新人才培养项目“偏微分方程理论及其在图像处理中的应用”(2017Q081)。

NOTES

*通讯作者。

文章引用:
唐清泉, 辛巧. 具有间接吸引信号产出的高维趋化增长系统解的有界性[J]. 应用数学进展, 2019, 8(4): 650-656. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.84072

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