AAM  >> Vol. 8 No. 4 (April 2019)

    无穷维恒等算子的伪宽度
    Pseudo n-Width of Infinite Dimension Identity Operator

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作者:  

陆文静,肖寒月,秦 静:西华大学理学院,四川 成都

关键词:
无穷维恒等算子伪宽度序列空间渐近阶Infinite Dimension Identity Operator Pseudo Width Sequence Space Asymptotic Degree

摘要:

本文讨论了无穷维恒等算子的伪宽度,并计算了其精确渐近阶。

In this paper, we study the pseudo width of infinite dimension identity operator , and obtain its asymptotic degree.


1. 引言及主要结果

宽度理论是函数逼近论的重要内容之一,也是国内外研究的热点之一,它与计算复杂性有着密切的联系 [1] 。其中,关于伪宽度的研究是当下宽度理论研究的热点之一,伪宽度在模式识别、消退估计、经验过程、学习理论中都有重要的应用。VC-维数的概念最早被Vapnik和Chervonenkis在参考文献 [2] [3] 中提出,他们介绍了集合的指标函数的VC维数。在实值函数中,Pollard [4] 和Haussler [5] 将VC-维数的定义扩展到伪维数,VC维数和伪维数是集合或空间容量的度量,它与一个函数类的熵有联系 [6] 。1998年,Maiorov和Ratsaby在参考文献 [7] 中给出VC-宽度和伪宽度的定义,研究了有限维空间伪宽度在一致框架下的逼近特征,并确定了在一致框架下的VC-宽度 ρ n V C ( B p m , l q m ) 和伪宽度 ρ n P ( B p m , l q m ) 的精确渐近阶。2007年,陈广贵等 [8] 讨论了具有共同光滑函数类的伪宽度,并且计算了其精确阶。本文主要讨论无穷维恒等算子的伪宽度。首先,介绍伪维数和伪宽度的定义。

定义1.1:对实数 x sgn ( x ) 表示符号函数,当 x > 0 时,其值为1,其它情形其值为−1。对向量 x R m , sgn ( x ) : = ( sgn ( x 1 ) , , sgn ( x m ) ) ,如果 F R m 上的一个实值函数集合,称满足下列条件的最大整数 k F 的伪维数,即存在指标集 I { 1 , 2 , , m } y R k 使得集合

{ sgn ( F | I , y ) : F | I , y = ( x i 1 + y 1 , , x i k + y k ) , x = ( x 1 , , x m ) F , i j I , 1 j k }

的基数为 2 k 。如果不存在这样的最大的 k ,那么 F 的伪维数是正无穷。我们将 F 的伪维数记为 dim p ( F )

定义1.2:设 W 为赋范线性空间 ( Z , ) 的一非空子集, n = 0 , 1 , 2 , ,称

ρ n ( W , Z ) = inf F n sup x W inf y F n x y

W Z 中的伪宽度,其中 F n 取遍 Z 中的伪维数不超过 n 的所有线性子空间。

定义1.3:设 X , Y 为两个赋范线性空间,其范数分别为 · X · Y T X Y 的有界线性算子, n = 0 , 1 , 2 , ,称

ρ n ( T : X Y ) = ρ n ( T ( B z ) , Y ¯ )

为算子 T 的伪宽度,其中 B X 表示 X 的单位球,即 B X : = { x X | x X 1 }

关于伪宽度的一些重要性质已经得到了精彩的结果。本文将讨论无限维恒等算子 I p , q : l p , r l q ( 1 q p < , r > 1 q 1 p ) 的伪宽度。为此,继续介绍有关概念。

1 p ,对任一实序列 x = { x n } n = 1 ,令

x l p = { ( n = 1 | x n | p ) 1 / p , 1 p < sup n 1 | x n | , p =

l p 表示满足条件 x l p < 的实序列 x 所构成的集合。众所周知, · l p l p 上的一个范数,而且 l p 是一个Banach空间。易见, l p 空间具有如下性质:

1) l p l q ( 1 p q )

2) l p l q ( 1 p q )

因此,无穷维恒等算子 I 是从 l p l q ( 1 p q ) 的有界线性算子,而不是 l p l q ( 1 q < p ) 的算子。

对于 1 p , r > 0 x = { x n } n = 1 l p ,令

x r : = { n r x n } n = 1 x l p , r = x ( r ) l p

l p , r : = { x l p | x l p , r < }

则易见 · l p , r l p , r 上的范数,且 l p , r 为Banach空间。用 B p , r 表示 l p , r 中的单位球。

1 q < p r > 1 q 1 p ,( p = 时,记 1 p = 0 ),对任意的 x = { x n } l p , r ,由Hölder不等式有

x l q { x l p . r ( n = 1 n p r p q ) 1 q 1 p < , 1 q < p < x l p . r ( n = 1 n r q ) 1 q < , p =

因此 x l q 。从而无穷维恒等算子 ( 1 q < p , r > 1 q 1 p )

I p , q : l p , r l q

x x

l p , r l q 的有界线性算子。

本文利用离散化的方法讨论了无穷维恒等算子 I p , q ( 1 q < p ) 的伪宽度,并得到其精确渐近阶。这就是本文的主要结果,即

定理1:设 1 q < p < r > 1 q 1 p n = 0 , 1 , 2 ,

ρ n ( I p , q : l p , r l q ) n ( r 1 q + 1 p )

其中,符号“ ”的定义如下:假设 c i , i = 0 , 1 , 是和参数 p , q , r 有关的非负常数。对两个正函数 a ( y ) b ( y ) y D ,如果存在正常数 c 1 满足条件 a ( y ) c 1 b ( y ) ,则记 a ( y ) = b ( y ) 。若存在正常数 c 2 满足条件 c 2 a ( y ) b ( y ) ,则记 a ( y ) b ( y ) ,若 a ( y ) = b ( y ) a ( y ) b ( y ) ,则记 a ( y ) b ( y )

2. 主要结果的证明

为了证明定理1,首先讨论有限维空间的伪宽度。令 m = { x = ( x 1 , , x m ) { x i R , i = 1 , , m }

1 p x = ( x 1 , , x m ) m 。令

x l p m = { ( n = 1 m | x n | p ) 1 / p , 1 p < , max 1 n m | x n | , p = .

· l p m m 上的范数。用 l p m 表示 m 按照范数 · l p m 所构成的Banach空间。用 B p m 表示 l p m 中的单位球。易见 { e n } n = 1 m l p m 的基,其中 e n = ( 0 , , 0 , 1 , 0 , 0 ) m (第n个分量为1,其余分量为0)。

引理1: [7] 设 1 q < p n = 1 , 2 , m c n ,则

ρ n ( B p m , l q m ) ( m n ) 1 q 1 p .

下面建立估计定理1上界的离散化定理。首先介绍一些记号。

k ,其中 = { 1 , 2 , } ,记 S k = { n N { 2 k 1 n < 2 k } 。则对任意的 k , k ,且 k k S k S k = = k = 1 S k 。用 m k 表示 S k 中元素的个数,则 m k = | S k | = 2 k 1

以下我们总是假设 1 p < 。用 e n 表示第 n 个分量为1,其余分量为0的无穷维实序列,则 { e n } n = 1 l p ( 1 p < ) 的Schauder基。从而对 x = { x n } l p ,有 x = n = 1 x n e n

k ,记 F k = span { e n | n S k } ,则 dim ρ ( F k ) = m k = 2 k 1 。令

I k : F k R m k

x = n S k x n e n j = 1 m x 2 k 1 + j 1 e 2 k 1 + j 1

则对 x = n S k x n e n F k ,有

x l p , r = ( n S k | n r x n | p ) 1 / p ( n S k | 2 r k x n | p ) 1 / p = 2 r k ( n S k | x n | p ) 1 / p = 2 r k I k x l p m k (2.1)

x l p = ( n S k | x n | p ) 1 / p = I k x l p m k . (2.2)

从而 I k l p F k l p m k 上的等距同构映射。

引理2:设 1 q < p < r > 1 q 1 p ,非负整数序列 { n k } k = 1 满足 0 n k m k ,且 k = 1 n k n 。则

ρ n ( B p , r , l q ) = n = 1 2 r k ρ n k ( B p m k , l q m k ) .

证明:对 k ,由(2.1)知,对 x B l p , r F k ,有

1 x l p , r = 2 r k I k x l p m k

y F k ,由(2.2)知

y l q = I k y l q m k

所以

ρ n k ( B p , r F k , l q F k ) = 2 r k ρ n k ( B p m k , l q m k )

由伪宽度的定义知,存在 l q F k 的一个伪维数不超过 n k 的线性子空间 M k 使得

sup x B p , r F k inf y M k x y l q = 2 r k ρ n k ( B p m k , l q m k )

M = k = 1 M k (直和)。则 M l q 的线性子空间,且

dim ρ ( M ) k = 1 dim ρ ( M k ) k = 1 n k n

从而

ρ n ( B p , r , l q ) = sup x B p , r inf y M x y l q k = 1 sup x B p , r F k inf y M k x y l q = k = 1 2 r k ρ n k ( B p m k , l q m k )

下面引理3是估计定理1下界的离散化定理。

引理3:令 1 q < p < r > 1 q 1 p n = 0 , 1 , 2 , ,则

ρ n ( B p , r , l q ) = 2 r k ρ n ( B p m k , l q m k )

其中 n 2 k = 2 n

证明:对 x B p m k ,则由(2.1)有

1 x l p m k 2 r k I k 1 x l p , r

y l q m k ,则由(2.2)有

y l q m k = I k 1 y l q

所以

ρ n ( B p , r , l q ) ρ n ( B p , r F k , l q F k ) = 2 r k ρ n ( B p m k , l q m k )

定理1的证明:

由定义1.1及定义1.2和无穷维恒等算子 I p , r 的定义,易见 ρ n ( I p , q : l p , r l p ) = ρ n ( B p , r , l q )

首先估计定理1的上界。

k ,令 k = [ lg n ]

n k = { m k , 1 k < k 2 k · 2 β ( k k ) , k k

其中, 0 < β < 1 ,易见 { n k } 满足引理2的条件。

由引理2和引理1有

ρ n ( I p , q : l p , r l q ) = n = 1 2 r k ρ n k ( B p m k , l q m k ) = k = k 2 r k ρ n k ( B p m k , l q m k ) = k = k 2 r k · 2 ( 1 q 1 p ) k = k = k 2 ( r 1 q + 1 p ) k = 2 ( r 1 q + 1 p ) ) k = n ( r 1 q + 1 p )

定理1的下界估计。

取满足引理3中条件的 k ,则由引理3和引理1有

ρ n ( I p , q : l p , r l q ) = 2 r k ρ n ( B p m k , l q m k ) = 2 r k n 1 q 1 p = n ( r 1 q + 1 p )

综上,定理1得证。

文章引用:
陆文静, 肖寒月, 秦静. 无穷维恒等算子的伪宽度[J]. 应用数学进展, 2019, 8(4): 747-752. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.84084

参考文献

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