1. 引言
复变函数积分的计算在复变函数课程的教学中有着举足轻重的地位,它是研究解析函数的一个重要工具,是人们讨论的热点问题 [1] [2] [3] [4] [5] 。但讨论最多的是复积分的计算方法 [6] [7] [8] [9] 以及复积分的应用 [10] [11] 。例3.2在复积分的计算中有着举足轻重的地位,它与柯西积分公式、高阶导数公式之间有着密切的联系,但是有关例3.2与柯西积分公式之间的文章却很少。本文就从例3.2出发,先用复积分计算的最基本的方法即参数方程法来求解例3.2,再将例3.2推广,讨论例3.2与柯西积分公式和高阶导数公式之间的联系。
2. 回顾例3.2
定理1 [12] 若函数
沿曲线C连续,则
沿C可积,且
(1)
此定理给出了复积分存在的条件,并给出了一个计算复积分的公式,该定理在文献 [12] 中用定义进行了证明,但对于工科的学生来说此证明有一定的难度,因此我直接推导出计算复积分的公式,从公式得出复积分存在的条件,学生更容易接受。
证 由
,
,故
这就把复积分的计算转化为第二类曲线积分的计算问题,而等号右端的第二类曲线积分存在的条件是二元函数
在曲线C上连续,从而
在曲线C上连续,于是得到
沿曲线C可积的条件是
在曲线C上连续,定理得证。
公式(1.1)说明,复变函数积分的计算问题可以化为其实部、虚部两个二元实函数曲线积分的计算问题,曲线积分的计算对工科的学生来说也是一个难点,更进一步把复变函数积分的计算转化为定积分来
求解。设有光滑曲线C:
,这就表示
在
上连续且有不为零的导数
。
又设
沿C连令
。
由公式(1.1)我们有
即
(2)
或
(3)
用公式(1.2)或(1.3)计算复变函数的积分,是从积分路径C的参数方程出发的,称为参数方程法。
例3.2 [13] 计算积分
,其中n为任意整数,C为以
为中心,r为半径的圆周。
解C的参数方程为:
。故
注:此例3.2中积分曲线C比较特殊是以
为中心,r为半径的圆周,被积函数
的奇点
刚好是C的圆心,如果C是包含
的任意闭曲线,则例3.2就不能直接用参数方程法来做了,下面讨论将例3.2推广后的情形。
3. 例3.2的推广形式
3.1. 将积分曲线推广
引理2.1 (复合闭路定理)设C为复连通区域D的一条简单闭曲线,
是在C内部的简单闭曲线,他们互不相交,互不包含,并且以
为边界的区域全含于D,如果
在D内解析,则有
其中C及
均取正方向。
证明见文献 [13] 。
例3.2’ 计算积分
,其中n为任意整数,C为包含
的任意闭曲线。
解 以
为心,
为半径的圆
包含于C,将
挖去,由复合闭路定理
再根据例3.2
这是例3.2更为普遍的形式,适用的范围更广。
3.2.
时,将被积函数
推广到
在例3.2’中,
时,将被积函数
推广到
便得到我们的柯西积分公式。
定理2 设
在简单闭曲线C所围成的区域D内解析,在
上连续,
是D内任一点,则
或
注:此定理的证明见 [13] ,此公式称为柯西积分公式,这个公式说明,如果一个函数在简单闭曲线C内部解析,在C上连续,则函数在C内部某一点的函数值完全可由C上的积分值而定;另一方面它也提供了一种计算简单闭曲线上复积分的一种方法。
3.3.
时,将被积函数
推广到
在例3.2’中,
时,继续将被积函数
推广到
便得到我们的解析函数的高阶导数公式。
定理3 设
在简单闭曲线C所围成的区域D内解析,在
上连续,则
的各阶导数均在D内解析,对D内任一点
,有
此式叫做解析函数的高阶导数公式。可以从两个方面应用这个公式:一方面用求积分来代替求导数;另一方面则是用求导数的方法来计算复积分,即
从而为某些复积分的计算开辟了新的途径。
从以上讨论可知,例3.2与复积分计算的参数方程法,柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式之间存在密切联系,了解它们之间的内在联系有助于我们更好地学习复积分的计算方法,而且可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。
基金项目
河南省高等学校重点项目(19A110031),任务驱动下的复变函数教学研究与实践(2017jgxm26)。
参考文献