1. 引言
变分法是研究泛函极值的一种重要方法。它不仅与数学中众多分支相联系,而且在描述物理学、化学、生物学等各种问题中有着重要的作用。尤其是Schrödinger方程及Chquard方程广泛应用于电磁学、量子力学等领域。越来越多的实例证明,变分法是研究解的存在性及多重性最有利的工具之一。
结合变分法,本文应用 [1] 中的Theorem 1.1来研究下面的方程。
(1.1)
其中,
是具有光滑边界的有界开集,
是一个磁性位势,使得
,
,
。
且连续,
,
。非线性函数
,
,在
时有
,且满足:
(f1)
。
(f2) 存在
,使得
。
(f3) 存在
,使得对于
,
。其中
。
其中的整数阶磁性Laplacian算子:
,
,当
时,也就是没有磁性位势,算子变成了
,很多作者研究了
(1.2)
类型问题的解的存在性和多重性,其中
是位势井,并带有次临界增长,也就是
,更多结果参见文献 [2] [3] 。
另外,类似于(1.2)的方程类型,Clapp和Ding在文献 [4] 中利用变分法建立了临界的情形下,正解的存在性和多重性。对于有临界非线性项的Schrödinger方程,也可参见 [5] [6] 及其参考文献。在文献 [7] 中作者研究了带有径向缺失的二次非线性Schrödinger方程径向解的爆破,位于半径为
的球中。当
时,也就是方程带有磁势的问题,近期Lv在 [8] 中研究了
,
, (1.3)
其中
,
,
,
。
和g是两个重要的函数,满足一些必要条件。他证明了当时的基态解的存在性,以及
时解的集中行为。在此类问题的研究中,Hardy-Littlewood-Sobolev不等式扮演了一个很重要的角色。
方程(1.3)中,如果
,
,
,
,那么方程就变为
,
.
这就是经典的Chquard方程,它出现在很多的物理学领域,尤其是关于非相对论的玻色子原子和分子的大系统量子论的方程,已经被很多国内外作者研究。例如,在 [9] 中,Lieb证明了
于
中
在平移变换下,解的存在性和唯一性。2014年,Salazar在 [10] 中研究了下面的稳定非线性磁性Chquard方程
于
,
其中
,
,
,
是一个磁性位势,
是个有界电势。
我们发现,各类磁性方程虽然被广泛的研究,但人们主要研究了解的存在性、多重性以及集中性,考虑P. H. Rabinowitz在1978年提出的鞍点理论,我们可以得出不一样的结果。Jonas Volek在文献 [1] 中提出,如果泛函满足P. H. Rabinowitz 的鞍形假设,再满足PS紧性条件以及下方有界,就可以得出方程至少有三个临界点:
定理1.1. ( [1] , Theorem 1.1) 设X是实Banach空间,
,其中
维数有限。假设
有下界,并且满足
(R) 存在
使得
。
(PS) 对任意的序列
使得
有界,并且
有收敛子列。
则J至少有三个临界点。
这是一个新的结果。于是,在本文中,我们就应用这个定理,做了一个带有连续位势的磁性方程至少存在三个解的证明。具体的证明过程我们将在第三部分及第四部分给出。
2. 变分设置和主要结果
设
,
其中,
是一个磁性位势,使得
。
。且连续。
定义内积如下:
.
从而我们得到
为Hilbert空间。记其范数为
.
仿照Adam在 [11] 中定理3.6的证明可知,
是可分的。
此外,当
中
时,我们得到空间
。
设
是具有光滑边界的有界开集,
在
中以范数
生成的闭包记为
。
也是可分的Hilbert空间。记范数为:
.
下面是我们众所周知的抗磁性不等式:
引理2.1. 当
时,如果
,那么
,并且有
成立。
由 [12] 我们得到,当
时,有整数阶连续嵌入
,当
时,嵌入是紧的。继而我们可以得到
引理2.2. 当
时,
是连续的,当
时,嵌入是紧的。也就是
.
其中
是一个嵌入常数。
经过计算,结合范数定义,可以推出方程(1.1)相应的能量泛函为
.
引理2.3. 设
,则泛函
满足:
(i)
并且满足
,
其中,
。
(ii)
是(1.1)的弱解,当且仅当
是
的临界点。
现在,我们来陈述文章的主要结果:
定理2.1. 设
,存在
,使得当
时,(1.1)有至少三个弱解。
由引理2.3可知,想要证明定理2.1只需证明
有至少三个临界点。
3. 一些重要引理
引理3.1. 设
则泛函
在
上弱强制,即当
时,有
且
有下界。
证明:根据(f1)与(f3)可得出,存在
,使得
. (3.1)
根据(2.2)可知,
(3.2)
其中
为
的测度。
(3.3)
当
时,有以下两种情况:
(i) 若
有界,则有
。
(ii) 若
,则由
可知
。
故
是弱强制的。此外,由(3.3)可推出
(3.4)
不等式右边是与
有关的函数,因为
,所以不等式右边是有下界的,故得出
有下界。
因为
是
连续且下方有界,由文献[ [13] , Theorem 2.4]知
存在PS序列。又因为
是弱强制的, 所以PS序列
有界。因此有下面引理成立。
引理3.2. 如果序列
有界且
,则
有收敛子列。
证明:由
,在子列意义下有
于
且
于
,
。
注意到,
.
所以
. (3.5)
此外,
.
所以
. (3.6)
此外,由条件(f1)及(f2)有,对于任意的
,存在
,使得
,其中
。 (3.7)
因为
有界,及Hölder不等式,引理2.2以及(3.7)得出,
(3.8)
结合(3.5),(3.6)和(3.8)式可知
。又因为
于
,所以有
于
。
我们定义算子
如下:
,
.
那么算子T是线性的。
引理3.3. 线性算子
有特征值
,
,且
。且当
时,
。
证明:
因此T为自伴算子。设
于
,由引理2.2知,
于
。此时,
当
时,
.
所以
于
,从而
在
中有界。因此
因此T为紧算子。另外
,有
。因此T为正算子。
由 [14] 中的定理2.2.16,命题2.2.15以及推论2.2.13知,算子T存在一列正的特征值
,及一组对应的
中的正交基
, 使得
。另外,当
时,
,即
。
不妨设
,则我们有
.
4. 定理2.1的证明
由引理3.1和引理3.2,我们有下面的引理成立。
引理4.1. 设
,则泛函
满足(PS)c条件,即定理1.1中的条件(PS)成立。
证明:假设
是
的一个(PS)c序列,结合
是弱强制的,那么就可推出
满足(PS)c条件。
接下来证明
至少存在三个临界点,设
为
中对应的特征值
(
算子的特征值)的特征函数且
是
的规范正交基,并且
。将
分解为
。其中
,
. (4.1)
引理4.2. 设
,则存在
对任意的
且
,都有泛函
满足条件(R),其中
满足(4.1)。
证明:设
, 结合Parseval等式有下式成立
,且
。
因此
满足
,
(4.2)
因为
所以有
. (4.3)
因此,对
,由(4.3)及嵌入定理可以得到
(4.4)
当取
时,有下式成立
且
。
由
,以及(4.2)可以推出
. (4.5)
因此,对任意的
,
(由于
的任意性)。其中,
是引理2.2中的嵌入常数。
结合(4.5)及引理2.2(ii)可得
(4.6)
因此,如果要证明条件(R)成立,当且仅当存在
使得对
,
时结合(4.4)以及(4.6)要有下式成立
. (4.7)
记
整理得出下式
. (4.8)
记
.
因为
与
无关,并且
。因为
,故存在某个
充分小,使得
。因此存在一个充分小的
使得
,
.
因此,对任意的
且
以及
且有
,
因此满足(R)式。
综上所述,验证出定理1.1的所有条件都成立,所以泛函
至少存在三个临界点,即方程至少存在三个弱解。