AAM  >> Vol. 8 No. 5 (May 2019)

作者:  

李 军,张江卫:长沙理工大学,数学与统计学院,湖南 长沙

关键词:
上极限下极限级数收敛Upper Limit Lower Limit Series Convergence

摘要:

上下极限对于解决问题有着非常重要的作用,不管是在求解极限问题,还是在判断级数收敛以及实变函数中的定理,都运用着上下极限的概念,因此弄清楚上下极限之间关系,对处理问题起着关键作用。

The upper and lower limits play an important role in solving the problem. Whether it is solving the limit problem or the theorem of the series convergence and the real variable function, the concept of the upper and lower limits is used. Therefore, to understand the relationship between the upper and lower limits plays a key role in dealing with the problem.

1. 引言

极限是我们在数学分析中至关重要的内容,但是我们一般对于极限的探讨是基于存在性和对其进行求解,而证其存在性一般用定义或者左右极限的方法,进而对其进行求解,很少利用上下极限去判断极限的存在性,但是往往有些问题我们必须要用到上下极限去解决,或者用上下极限去刻画,因此对上下极限的定义以及相应性质的了解就非常重要,还有一个特别重要的是,于极限而言,其可能不存在,但是其上下极限一定存在。本文将从上下极限的定义入手,通过对上下极限的性质的罗列进而证明各种相关性质之间的关系,这也会帮助我们进一步系统地了解上下极限,也会对解决其它问题提供一些全新的思路。

另外,上下极限在许多的数学课程以及研究领域中都有用到,所以,本文对上下极限在扩展学科里面涉及的概念亦会进行部分总结,以便于进行更好的理解。

2. 数列上下极限定义和定理

定义2.1 [1] :对于一个有界数列 { x n } ,将其最大聚点M和最小聚点m分别称为 { x n } 的上极限和下极限,记为:

M = lim n ¯ x n m = lim _ n x n

定义2.2 [1] :对所有的 ε > 0 ,存在 N > 0 ,当 n N 时,有 X N < m + ε ,又存在子列 { x n k } ,使得 x n k > M ε ( k N ) ,则有 lim n ¯ x n ( = M ) ;对所有的 ε > 0 ,存在 N > 0 ,当 n > N 时,有 x n > m ε ,又存在子列 { x n k } ,使得 x n k < m + ε ( k N ) ,则有 lim _ n x n = m

定义2.3 [1] :称M为有界数列 { x n } 的上极限,如果 M = lim n lim k n x k = inf n 1 sup k n x k ;称m有界数列 { x n } 的下极限,如果 M = lim inf n k n x k = sup inf n 1 k n x k

定义2.4 [1] :若存在 δ > 0 ,使得数列 { x n } 中有无穷多个项落在 U ( a ; δ ) 之外,则 { x n } 一定不以a为极限。

定理2.1:对任意的有界数列 { x n } ,有 lim _ n x n lim n ¯ x n

证明:由定义2.1,可设 lim n ¯ x n 为最小聚点m,则m的邻域内必含有 { x n } 中的无穷多个点;同理,可设 lim n ¯ x n 为最大聚点M,则M邻域内亦必含有 { x n } 中的无穷多个点;若 U ( M ; δ ) U ( m ; δ ) 相交,且含有 { x n } 中的无穷多个点,则“=”成立,否则,在数轴上 U ( M ; δ ) 必在 U ( m ; δ ) 的右侧,从而 M > m ;综上有 M m ,证毕。

定理2.2: lim n x n = C 的充分必要条件为 lim _ n x n = lim n ¯ x n = C

证明:必要性,由于 lim n x n = C ,故有界数列 { x n } 存在唯一的极限,所以只有 U ( C ; δ ) 才含有 x n 中的无穷多个点;所以由定义2.1,可知 lim _ n x n = lim n ¯ x n = C 。充分性,由定理2.1的证明可知,在整个有界数列 { x n } 中,只有 U ( C ; δ ) 才含有 { x n } 中的无穷多个点,即 { x n } 中有无穷多个项落在 U ( C ; δ ) 之外,故由极限的定义2.4可知 lim n x n = C

定理2.3 [1] :(保不等式性)设有界数列 { x n } { y n } 满足:存在 N 0 > 0 ,当 n > N 0 时有 x n y n ,则

lim n ¯ x n lim n ¯ y n lim _ n x n lim _ n y n

特别若 α β 为常数,又存在 N 0 > 0 ,当 n > N 0 时有 α x n β ,则

α lim _ n x n lim n ¯ x n x n β

推论4:设 { x n } 为有界数列,则

1) m是 { x n } 的最小聚点;

2) m是 { x n } 的子列的最小值;

3) m = lim n y n = lim inf n k n x k = lim n inf { x n , x n + 1 , }

4) m = sup inf n 1 k n x n

5)对 ε > 0 N > 0 ,当 n > N 时,有 x n > m ε ,又存在子列 { x n k } ,使得 x n k < m + ε ( k N ) ;相互等价。

证明:

1) 2):由于m是 { x n } 的聚点,则当且仅当 { x n } 的子列 { x n k } 收敛于m,故可知 { x n } 的最小聚点即为 { x n k } 极限的最小值。

2) 3):由2)可知,存在 { x n } 的子列 { x n k } 收敛于m,因为

x n k y n k

于是由数列极限的保号性可知

m = lim k x n k lim k y n k

而该不等式中只能取等号,否则 m = lim k y n k < m ,则由 y n k m ,必存在 n k 1 ,使得

m 1 < y n k 1 < m + 1

y n k 1 的定义,必 n k 1 > n k 1 ,s.t.

m 1 < y n k 1 < m + 1

y n k m ,又必 n k 2 > n k 1 ,s.t.

m 1 2 < y n k 2 < m + 1 2

y n k 2 的定义,必 n k 2 > n k 2 ,s.t.

m 1 2 < y n k 2 < m + 1 2

以此类推,我们就可以得到: y n k m ,必 n k N > n k N 1 ,s.t. m 1 N < y n k N < m + 1 N ,据 y n k 的定义,必 n k N > n k N ,s.t. m 1 N < y n k N < m + 1 N

故令 N ,可知 m 亦为 { x n } 的最小极限,这与m为 { x n } 的最小极限矛盾,从而有 m = lim k y n k ;又因为 { y n } 单调递增且有上界,故 { y n } 必收敛,所以 { y n } 与其子列有相同的极限,进而有 m = lim n y n = lim inf n k n x k

3) 4):由于 { x n } 非空,且其存在上界,故 { y n } 亦非空有上界;从而 { y n } 上确界存在,记为

m = sup n 1 y n ,于是 m y n ,并且对 ε > 0 N > 0 ,有 y N > m ε ;又因为 { y n } 单调递增,s.t.当 n > N

时,必有 y n y N ,从而 m ε < y N y n < m + ε ;由此可以得到 y n m ,而由3)已知 y n m ,从而 m = m

即: lim n y n = sup n 1 y n ,亦即: lim inf n k n x k = sup inf n 1 k n x n

4) 5):先证明对 ε > 0 N > 0 ,当 n > N 时,有 x n > m ε ;由 m = sup n 1 y n ,依据上确界定义注意到 { y n } 单调递增,故 ε > 0 N > 0 ,当 n > N 时, y n > m ε 成立;又 y n = inf { x n , x n + 1 , } ,则当 n > N 时,均有 x n y n > m ε

再证明存在子列 { x n k } ,s.t. x n k < m + ε ( k N ) ;已知 m = sup n 1 y n = sup inf n 1 k n x n ,可反设对 N > 0 ,当 n > N 时, x n m + ε ,取 ε = 1 ,则 m + 1 便是从第n项起以后项的下界,从而得到 y n = inf k n x k a + 1 sup n 1 y n = sup inf n 1 k n x k a + 1 a a + 1 ,矛盾。

5) 1):由1)可知,对 ε > 0 ,必有无穷多个n,s.t. x n ( m ε , m + ε ) ,故m为 { x n } 的聚点,

下证 { x n } 再无小于m的聚点,否则, m 为小于m的聚点,取 ε = m m 2 m + ε < m ε ,由假设 m

聚点,则对于 { x n } ,必有 m + ε < m ε < x n ,这与存在子列 { x n k } ,s.t. x n k < m + ε 矛盾;证毕。

以上推论4对关于下极限的几个定义的等价性进行了证明,而关于上极限定义的等价性证明可见文献 [2] 。

3. 集列上下极限定义和定理

定义3.1 [3] :设 { A n } n = 1 为任意集列,

1) 由该集列中无限多个集合的对应元素的全体组成的集合称为该集列的上限集或者上极限,记为 lim n ¯ A n lim sup n k n x k ;用集合表示即为:

lim n ¯ A n = { x | N > 0 , n > N , s .t . x A n } lim n ¯ A n = { x | A n , s .t .   x A n }

2) 除有限个下标外,属于集列中每个集合的元素的全体组成的集合称为下限集或者下极限,记为 lim _ n A n lim inf n k n x k ;用集合表示即为:

lim _ n A n = { x | N > 0 , n > N , s .t . x A n } lim _ n A n = { x | n x A n }

定义3.2 [3] :如果集合 { A n } 有极限,当且仅当 lim _ n x n = lim n ¯ A n

定理3.1 [3] :设 { A n } n = 1 为任意集列,则 lim n ¯ A n = n = 1 m = n A m ;且 lim _ n A n = n = 1 m = n A m

推论3.2 [3] :对于单调集列, lim n A n = n = 1 A n ,如果 { A n } n = 1 单调递增; lim n A n = n = 1 A n ,如果 { A n } n = 1 单调递减。

4. 上下极限的应用

4.1. 依据上下极限判断级数的收敛性

定理4.1.1:设 u n 为正项级数,且 lim n ¯ u n n = l ,则若 l < 1 ,级数收敛;若 l > 1 ,级数发散。

证明:由定义2.2可知,当取 ε = | 1 l | 时,存在 N > 0 ,当 n > N 时,有 u n n < l + ε u n n < l + | 1 l | ,所以若 l < 1 ,则 u n n < 1 ,从而 u n 收敛;而又存在 { u n n } 的子列 { u n k n k } ,使得 u n k n k > l ε ( k N ) u n k n k > l | 1 l | ,所以若 l > 1 ,则 u n k n k > 1 ,故由于有一个子列所在的级数不收敛,所以级数 u n 发散,证毕。

定理4.1.2:设 u n 为正项级数,可得1) 若 lim n ¯ u n + 1 u n = q < 1 ,则级数收敛;2) 若 lim _ n u n + 1 u n = q > 1 ,则级数发散。

证明:1) 由定义2.2可知,当取 ε = | 1 q | 2 时,存在 N > 0 ,当 n > N 时,有 u n + 1 u n < q + ε ,故当 q < 1 时, u n + 1 u n < 1 + ε = 1 + | 1 q | 2 = 1 + q 2 < 1 ,所以由比式判别法可知, u n 收敛;又存在 { u n + 1 u n } 的子列 { u n k + 1 u n k } ,使得 u n k + 1 u n k > q ε ( k N ) ,故当 q > 1 时, u n k + 1 u n k > q | 1 q | 2 = 1 + q 2 > 1 ,故由比式判别法可知,有一个子列所在的级数不收敛,所以级数 u n 发散,证毕。

4.2. 上下极限在实变函数中的应用

定理4.2 [3] :设 E R q 为可测集, { f n } n = 1 为E上的一列非负可测函数,且 f n ( x ) f ( x ) 在集合E上几乎处处成立,则

E lim n f n ( x ) d x lim _ n E f n ( x ) d x

以上定理4.3称为Fatou引理,以上也隐含着即使左端被积函数 lim n f n ( x ) 存在,但是右边积分的 E f n ( x ) d x 的极限不一定存在,因此以下极限来代替。而Fatou引理对于实变函数中单调收敛定理,勒贝格收敛定理的证明都起着非常重要的作用,由此也说明了上下极限对于我们处理问题时的关键性。

文章引用:
李军, 张江卫. 对上下极限的一些讨论[J]. 应用数学进展, 2019, 8(5): 892-896. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.85100

参考文献

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析上册[M]. 第四版. 北京: 高等教育出版社, 2010: 165-175.
[2] 黄世国. 关于上(下)极限几种定义的等价性证明[J]. 桂林市教育学院学报(综合版), 1997, 31(1): 70-72.
[3] 程其襄, 张奠宙, 等. 实变函数与泛函分析基础[M]. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2010.