# 对上下极限的一些讨论Some Discussions of the Upper and Lower Limits

• 全文下载: PDF(489KB)    PP.892-896   DOI: 10.12677/AAM.2019.85100
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The upper and lower limits play an important role in solving the problem. Whether it is solving the limit problem or the theorem of the series convergence and the real variable function, the concept of the upper and lower limits is used. Therefore, to understand the relationship between the upper and lower limits plays a key role in dealing with the problem.

1. 引言

2. 数列上下极限定义和定理

$M=\stackrel{¯}{\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}}{x}_{n}$$m=\underset{n\to \infty }{\underset{_}{\mathrm{lim}}}{x}_{n}$

$\stackrel{¯}{\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}}{x}_{n}\le \stackrel{¯}{\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}}{y}_{n}$$\underset{n\to \infty }{\underset{_}{\mathrm{lim}}}{x}_{n}\le \underset{n\to \infty }{\underset{_}{\mathrm{lim}}}{y}_{n}$

$\alpha \le \underset{n\to \infty }{\underset{_}{\mathrm{lim}}}{x}_{n}\le \stackrel{¯}{\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}}{x}_{n}{x}_{n}\le \beta$

1) m是 $\left\{{x}_{n}\right\}$ 的最小聚点；

2) m是 $\left\{{x}_{n}\right\}$ 的子列的最小值；

3) $m=\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}{y}_{n}=\underset{n\to \infty \text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}k\ge n}{\mathrm{lim}\mathrm{inf}}{x}_{k}=\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}\mathrm{inf}\left\{{x}_{n},{x}_{n+1},\cdots \right\}$

4) $m=\underset{n\ge 1\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{​}\text{\hspace{0.17em}}k\ge n}{\mathrm{sup}\mathrm{inf}}{x}_{n}$

5)对 $\forall \epsilon >0$$\exists N>0$，当 $n>N$ 时，有 ${x}_{n}>m-\epsilon$，又存在子列 $\left\{{x}_{{n}_{k}}\right\}$，使得 ${x}_{{n}_{k}} $\left(k\in N\right)$；相互等价。

1) $⇒$ 2)：由于m是 $\left\{{x}_{n}\right\}$ 的聚点，则当且仅当 $\left\{{x}_{n}\right\}$ 的子列 $\left\{{x}_{{n}_{k}}\right\}$ 收敛于m，故可知 $\left\{{x}_{n}\right\}$ 的最小聚点即为 $\left\{{x}_{{n}_{k}}\right\}$ 极限的最小值。

2) $⇒$ 3)：由2)可知，存在 $\left\{{x}_{n}\right\}$ 的子列 $\left\{{x}_{{n}_{k}}\right\}$ 收敛于m，因为

${x}_{{n}_{k}}\ge {y}_{{n}_{k}}$

$m=\underset{k\to \infty }{\mathrm{lim}}{x}_{{n}_{k}}\ge \underset{k\to \infty }{\mathrm{lim}}{y}_{{n}_{k}}$

${m}^{\prime }-1<{y}_{{n}_{{k}_{1}}}<{m}^{\prime }+1$

${y}_{{n}_{{k}_{1}}}$ 的定义，必 $\exists {n}_{{{k}^{\prime }}_{1}}>{n}_{{k}_{1}}$，s.t.

${m}^{\prime }-1<{y}_{{n}_{{{k}^{\prime }}_{1}}}<{m}^{\prime }+1$

${y}_{{n}_{k}}\to {m}^{\prime }$，又必 $\exists {n}_{{k}_{2}}>{n}_{{{k}^{\prime }}_{1}}$，s.t.

${m}^{\prime }-\frac{1}{2}<{y}_{{n}_{{k}_{2}}}<{m}^{\prime }+\frac{1}{2}$

${y}_{{n}_{{k}_{2}}}$ 的定义，必 $\exists {n}_{{{k}^{\prime }}_{2}}>{n}_{{k}_{2}}$，s.t.

${m}^{\prime }-\frac{1}{2}<{y}_{{n}_{{{k}^{\prime }}_{2}}}<{m}^{\prime }+\frac{1}{2}$

3) $⇒$ 4)：由于 $\left\{{x}_{n}\right\}$ 非空，且其存在上界，故 $\left\{{y}_{n}\right\}$ 亦非空有上界；从而 $\left\{{y}_{n}\right\}$ 上确界存在，记为

${m}^{\prime }=\underset{n\ge 1}{\mathrm{sup}}{y}_{n}$，于是 ${m}^{\prime }\ge {y}_{n}$，并且对 $\forall \epsilon >0$$\exists N>0$，有 ${y}_{N}>{m}^{\prime }-\epsilon$；又因为 $\left\{{y}_{n}\right\}$ 单调递增，s.t.当 $n>N$

4) $⇒$ 5)：先证明对 $\forall \epsilon >0$$\exists N>0$，当 $n>N$ 时，有 ${x}_{n}>m-\epsilon$；由 $m=\underset{n\ge 1}{\mathrm{sup}}{y}_{n}$，依据上确界定义注意到 $\left\{{y}_{n}\right\}$ 单调递增，故 $\forall \epsilon >0$$\exists N>0$，当 $n>N$ 时， ${y}_{n}>m-\epsilon$ 成立；又 ${y}_{n}=\mathrm{inf}\left\{{x}_{n},{x}_{n+1},\cdots \right\}$，则当 $n>N$ 时，均有 ${x}_{n}\ge {y}_{n}>m-\epsilon$

5) $⇒$ 1)：由1)可知，对 $\forall \epsilon >0$，必有无穷多个n，s.t. ${x}_{n}\in \left(m-\epsilon ,m+\epsilon \right)$，故m为 $\left\{{x}_{n}\right\}$ 的聚点，

3. 集列上下极限定义和定理

1) 由该集列中无限多个集合的对应元素的全体组成的集合称为该集列的上限集或者上极限，记为 $\stackrel{¯}{\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}}{A}_{n}$$\underset{n\to \infty \text{\hspace{0.17em}}\text{​}\text{\hspace{0.17em}}k\ge n}{\mathrm{lim}\mathrm{sup}}{x}_{k}$；用集合表示即为：

$\stackrel{¯}{\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}}{A}_{n}=\left\{x|对\forall N>0,\text{\hspace{0.17em}}\exists n>N,\text{\hspace{0.17em}}\text{s}\text{.t}\text{.}\text{\hspace{0.17em}}x\in {A}_{n}\right\}$$\stackrel{¯}{\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}}{A}_{n}=\left\{x|\exists 无穷多个{A}_{n},\text{\hspace{0.17em}}\text{s}\text{.t}\text{.} \text{\hspace{0.17em}}\text{​}x\in {A}_{n}\right\}$

2) 除有限个下标外，属于集列中每个集合的元素的全体组成的集合称为下限集或者下极限，记为 $\underset{n\to \infty }{\underset{_}{\mathrm{lim}}}{A}_{n}$$\underset{n\to \infty \text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{​}k\ge n}{\mathrm{lim}\mathrm{inf}}{x}_{k}$；用集合表示即为：

$\underset{n\to \infty }{\underset{_}{\mathrm{lim}}}{A}_{n}=\left\{x|\exists N>0,\text{\hspace{0.17em}}对\forall n>N,\text{\hspace{0.17em}}\text{s}\text{.t}\text{.}\text{\hspace{0.17em}}x\notin {A}_{n}\right\}$$\underset{n\to \infty }{\underset{_}{\mathrm{lim}}}{A}_{n}=\left\{x|当n充分大以后都有x\in {A}_{n}\right\}$

4. 上下极限的应用

4.1. 依据上下极限判断级数的收敛性

4.2. 上下极限在实变函数中的应用

${\int }_{E}\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}{f}_{n}\left(x\right)\text{d}x\le \underset{n\to \infty }{\underset{_}{\mathrm{lim}}}{\int }_{E}{f}_{n}\left(x\right)\text{d}x$

 [1] 华东师范大学数学系. 数学分析上册[M]. 第四版. 北京: 高等教育出版社, 2010: 165-175. [2] 黄世国. 关于上(下)极限几种定义的等价性证明[J]. 桂林市教育学院学报(综合版), 1997, 31(1): 70-72. [3] 程其襄, 张奠宙, 等. 实变函数与泛函分析基础[M]. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2010.