一种级联两个IIR滤波器的微波光子滤波器的特性分析

The Characteristic of Microwave Photonic Filters Using Cascaded Two IIR Filters

摘要: 本文给出了一种可调的高Q值的带通微波光子滤波器(Microwave Photonic Filters, MPFs)，它由两个级联的无限脉冲响应(Infinite Impulse Response, IIR)滤波器组成。对其进行了详细的理论分析，讨论了两个IIR滤波器的耦合系数k₁，k₂，k₃、掺饵光纤环的增益g和光纤环的长度L₁和L₂对微波光子滤波器滤波性能的影响。通过理论计算和仿真分析可知，在IIR1滤波器的耦合系数为k₁ = 0.5、掺饵光纤环增益为2、IIR2滤波器的耦合系数k₂ = 0.5，k₃ = 0.9、两个光纤环长度相等时，得到的微波光子滤波器的滤波效果最佳。

Abstract: A kind of adjustable bandpass microwave photonic filters (MPFs) that can realize a high Q value is presented in the paper. It consists of two cascaded infinite impulse response filters. The theory of it was detailed analyzed, and the paper discussed the influences on the filtering performance of microwave photonic filters the coupling coefficient k₁, k₂, k₃ of the two IIR filters, the gain of Er-doped fiber ring g, the fiber ring length L₁, L₂of the two IIR filters. Theoretical calculation and simulation analysis indicate that the best filtering effect of the microwave photonic filters can be obtained when the coupling coefficient of the IIR1 filter is 0.5, the gain of Er-doped fiber ring is 2, the coupling coefficient of the IIR2 filter is k₂ = 0.5 and k₃ = 0.9, and the fiber ring length of the two IIR filters is equal.

1. 引言

微波光子学是利用光子技术实现微波系统射频功能的一门交叉学科 [1] ，微波光子滤波器是微波光子学的一个重要分支，由于其低损耗、高带宽和抗电磁干扰等优点，多年来一直受到研究者们的关注 [2] 。具有高品质因子Q或窄带宽的MPFs能够提供高频选择性，在高纯微波信号产生、高分辨率微波光子传感器和高性能微波光子雷达中具有重要应用 [3] [4] [5] 。

近年来，研究者们采用多种方法来提高MPFs的Q值，对于有限脉冲响应(Finite Impulse Response, FIR) MPFs，大多采用增加抽头数量来增加Q值，但是相应的元件数量和花费都将增加，从而MPFs的可靠性降低 [6] 。相对于FIR微波光子滤波器，增加IIR微波光子滤波器的Q值需要较少元件，比如可以采用级联FIR滤波器和IIR滤波器的方法增强其Q值 [7] ，采用级联两个IIR滤波器的方法增强Q值 [8] 。本文详细分析了一种级联两个IIR滤波器的微波光子滤波器，通过调节两个IIR滤波器的耦合系数和掺饵光纤环的增益，得到了在耦合系数k₁ = 0.5，k₂ = 0.5，k₃ = 0.9，掺饵光纤环增益g = 2时，微波光子滤波器的滤波性能最佳。另外由于游标效应，只有同时与两个IIR滤波器频率相匹配的频率才能被过滤掉，从而显著增加级联两个IIR滤波器的MPFs自由频谱范围和Q值，这里选择两个IIR滤波器的光纤环长相等。

2. 级联两个IIR滤波器的MPFs的结构和滤波原理分析

级联两个IIR滤波器的MPFs的结构如图1所示。第一部分是基于耦合器k₁和掺饵光纤光栅环的IIR滤波器，第二部分是基于两个耦合器k₂和k₃的IIR滤波器。调制光通过耦合系数为k₁的耦合器，其中的(1 − k₁)部分光直接进入到IIR2滤波器中，剩余的k₁部分的光进入长为L₁的掺饵光纤环中，经过掺饵光纤环放大器后，其中的k₁部分进入IIR2滤波器，另外的(1 − k₁)部分继续进入掺饵光纤环中传输，如此循环下去。对于IIR1滤波器，通过控制输入的光功率可以得到一个尖锐的带通滤波响应。耦合进耦合器k₂的光信号通过长为L₂/2的光纤环后再经过耦合器k₃，其中有k₃部分直接输出，另外的(1 − k₃)部分光进入到IIR2滤波器的左半臂，经过的长为L₂/2光纤环后有(1 − k₂)部分进入IIR2滤波器的右半臂，如此循环下去。由于游标效应，只有同时与两个IIR滤波器频率相匹配的频率才能被过滤掉，因此这里选择IIR2滤波器的臂长与IIR1滤波器的臂长相同，即L₁ = L₂ = L，可以增大自由频谱范围，从而增强MPFs的Q值。整个微波光子滤波器由IIR1滤波器和IIR2滤波器级联形成，通过调节k₁、k₂、k₃、掺饵光纤环增益g和长度L₁、L₂可以实现MPFs的最佳滤波性能。

Figure 1. The structure diagram of the microwave photonic filter based on two cascaded IIR filters

图1. 级联两个IIR滤波器的MPF的结构图

根据级联两个IIR滤波器的MPFs结构图，可以得到其信号流程图如图2所示，根据信号流程图，利用自动控制原理可以推导出系统函数的表达式：

Figure 2. The signal flow diagram of the microwave photonic filter based on two cascaded IIR filters

图2. 级联两个IIR滤波器的MPFs信号流程图

$H\left(z\right)=\left[\frac{\left(1-k_1\right)+\left(2k_1-1\right)g{z}^{-1}}{1-\left(1-k_1\right)g{z}^{-1}}\right]\left[\frac{k_2{k}_3{z}^{1/2}+k_2{k}_3\left(1-k_2\right)\left(1-k_3\right)z^{-1/2}}{z-\left(1-k_2\right)\left(1-k_3\right)}\right]$ (1)

其中 $k_1$ 、 $k_2$ 和 $k_3$ 分别是IIR1和IIR2滤波器中耦合器的耦合系数；g为掺饵光纤环的增益； $z={\text{e}}^{j\omega T}={\text{e}}^{j2\text{π}fT}$ ，f是射频信号的基波频率，是光信号在光纤环中的延迟时间，n为光纤环的有效折射率，L为光纤环的长度，c为真空中的光速。

级联两个IIR滤波器的MPFs在频域中的传输函数为：

$H\left(\omega \right)=\left[\frac{\left(1-k_1\right){\text{e}}^{j\omega T}+\left(2k_1-1\right)g}{{\text{e}}^{j\omega T}-\left(1-k_1\right)g}\right]\left[\frac{k_2{k}_3{\text{e}}^{j\omega T/2}+k_2{k}_3\left(1-k_2\right)\left(1-k_3\right){\text{e}}^{-j\omega T/2}}{{\text{e}}^{j\omega T}-\left(1-k_2\right)\left(1-k_3\right)}\right]$ (2)

3. 仿真分析与讨论

3.1. IIR1滤波器中耦合系数对MPFs滤波性能的影响

图3给出了IIR1耦合器的耦合系数分别为k₁ = 0.4，k₁ = 0.5，k₁ = 0.6时微波光子滤波器的传输特性曲线，其中IIR2滤波器中耦合器的耦合系数k₂ = 0.5，k₃ = 0.9，掺饵光纤放大器的增益g = 2，光纤环长L₁ = L₂ = L = 50 cm。从图中可以看出当IIR1滤波器中耦合系数k₁ = 0.5时，MPFs的滤波性能最佳。减小耦合系数当k₁ = 0.4时，MPFs的幅频响应带宽展宽，幅度下降。增大耦合系数当k₁ = 0.6时，MPFs的幅频响应由窄的带通响应变为带陷响应。

Figure 3. The frequency characteristic of the microwave photonic filter based on two cascaded IIR filters with different coupling coefficient k₁

图3. 级联两个IIR滤波器的MPFs在不同耦合系数k₁下的幅频特性

3.2. IIR1滤波器中掺饵光纤环增益g对MPFs滤波性能的影响

如图4所示，给出了IIR1中耦合器的耦合系数k₁ = 0.5，IIR2滤波器中耦合器的耦合系数k₂ = 0.5，k₃ = 0.9，光纤环长L₁ = L₂ = L = 50 cm都固定不变的情况下，掺饵光纤环增益分别为g = 1，g = 2，g = 4时MPFs的传输特性曲线。从图中可以看出，只有当掺饵光纤环增益g = 2时，MPFs的幅频响应带宽最窄，幅度最大，增大或减小掺饵光纤环的增益，得到的MPFs的滤波效果均很差，不仅带宽变宽，幅度也下降很多。

Figure 4. The frequency characteristic of the microwave photonic filter based on two cascaded IIR filters with different gain of Er-doped fiber ring g

图4. 级联两个IIR滤波器的MPFs在不同掺饵光纤增益g下的幅频特性

3.3. IIR2滤波器中耦合系数对MPFs滤波性能的影响

如图5所示，给出了IIR1中耦合器的耦合系数k₁ = 0.5，掺饵光纤环增益为g = 2，IIR2滤波器中耦合器的耦合系数k₃ = 0.9，光纤环长L₁ = L₂ = L = 50 cm，IIR2滤波器中耦合器的耦合系数k₂分别为k₂ = 0.4，k₂ = 0.5，k₂ = 0.6时MPFs的传输特性曲线。从图中可以看出，当k₂ = 0.5时，MPFs的滤波性能最佳，减小IIR2滤波器中耦合器的耦合系数k₂为0.4时，MPFs的滤波深度减小，而增加IIR2滤波器中耦合器的耦合系数k₂为0.6时，MPFs的滤波带宽展宽，因此，这里选择k₂ = 0.5。

Figure 5. The frequency characteristic of the MPFs based on two cascaded IIR filters with different coupling coefficient k₂

图5. 级联两个IIR滤波器的MPFs在不同耦合系数k₂下的幅频特性

3.4. IIR2滤波器中耦合系数 $k_3$ 对MPFs滤波性能的影响

如图6所示，给出了IIR1中耦合器的耦合系数k₁ = 0.5，掺饵光纤环增益为g = 2，IIR2滤波器中耦合器的耦合系数k₂ = 0.5，光纤环长L₁ = L₂ = L = 50 cm，IIR2滤波器中耦合器的耦合系数k₃分别为k₃ = 0.8，k₃ = 0.9，k₃ = 0.95时MPFs的传输特性曲线。从图中可以看出，当k₃ = 0.9时，MPFs的滤波性能最佳，减小IIR2滤波器中耦合器的耦合系数k₃为0.8时，MPFs的滤波深度变低，而增加IIR2滤波器中耦合器的耦合系数k₃为0.95时，MPFs幅频响应的带宽展宽，因此，这里选择k₃ = 0.9。

Figure 6. The frequency characteristic of the MPFs based on two cascaded IIR filters with different coupling coefficient k₃

图6. 级联两个IIR滤波器的MPFs在不同耦合系数k₃下的幅频特性

3.5. 光纤环长度L对MPFs滤波性能的影响

如图7所示，给出了IIR1中耦合器的耦合系数k₁ = 0.5，掺饵光纤环增益为g = 2，IIR2滤波器中耦合器的耦合系数k₂ = 0.5，k₃ = 0.9，光纤环长分别为L = 20 cm，L = 40 cm，L = 80 cm时MPFs的传输特性曲线。从图中可以看出，级联两个IIR滤波器的MPFs具有很强的边频选择性，因此可以通过控制光纤环的环长实现MPFs的可调谐性。当光纤环长从20 cm增加到80 cm时，频谱的自由频谱范围减小，同时3 dB带宽也有明显减小，因此Q值变化不大。

Figure 7. The frequency characteristic of the MPFs based on two cascaded IIR filters with different length of fiber ring L

图7. 级联两个IIR滤波器的MPFs在不同光纤环长L下的幅频特性

图8给出了IIR1滤波器(Front loop)的环长L₁和IIR2滤波器(Back loop)的环长L₂时IIR1滤波器和IIR2滤波器的幅频响应，内置图是下面曲线IIR2滤波器幅频响应的放大图，从图中可以看出，当IIR1滤波器和IIR2滤波器的光纤环长相等时，IIR1滤波器的幅频响应与IIR2滤波器的幅频响应在频率上相匹配，从而实现高Q值的MPFs，因此选择IIR1滤波器和IIR2滤波器的光纤环长相等。

Figure 8. Compare the frequency response of IIR1 filter and IIR2 filter with different optical fiber rings

图8. 比较IIR1滤波器与IIR2滤波器在不同光纤环长时的幅频响应

4. 结束语

本文给出了一种级联两个IIR滤波器的微波光子滤波器，根据其结构图，得到了该微波光子滤波器的信号流程图，利用自动控制原理由信号流程图计算出该微波光子滤波器的传输函数。讨论了IIR1滤波器的耦合系数k₁和掺饵光纤环的增益g、IIR2滤波器的耦合系数k₂、k₃和光纤环长度对MPFs滤波性能的影响。通过对IIR1滤波器和IIR2滤波器中结构参数的分析可知，当 $k_1=0.5$ ， $k_2=0.5$ ， $k_3=0.9$ ， $g=2$ 时，可以实现窄带的带通滤波特性；通过分析IIR1滤波器的光纤环长L₁和IIR2滤波器的光纤环长L₂对MPFs滤波性能的影响可知，当L₁ = L₂时，IIR1滤波器的幅频响应与IIR2滤波器的幅频响应在频率上相匹配，从而实现高Q值的MPFs。因此可以通过改变IIR1滤波器和IIR2滤波器的结构参数实现可调谐的高Q值的带通微波光子滤波器。

基金项目

贵州省科技厅联合基金项目(黔科合LH字[2016]7036号)、贵州省教育厅青年项目(黔教合KY字[2016]326). 贵州省教育厅青年项目(黔教合KY字[2017]360)。