1. 引言
Banach [1] 引入的Banach收缩原理是数学分析中最重要的结果之一,它是数学许多分支中应用最广泛的不动点理论,并在许多不同的方向上被进行了推广。其中一方面推广涉及度量空间的各种推广,且在新的框架中得到不动点的结果,例如,在b-度量空间、广义度量空间和偏序度量空间中发表了一些关于这个主题的论文。2014年,Shukla [2] 推广了b-度量空间和偏序度量空间,定义了偏b-度量空间的概念。Mitrovic和Radenovic [3] 推广了
-度量空间 [4] ,引入了
-度量空间的概念。Abdullahi和Kumam [5] 推广了偏序度量空间和
-度量空间,定义了偏
-度量空间,且在其中建立了不动点理论。他们在论文中提出了一些开放型问题:是否可以类似的在推广的
-度量空间,
-度量空间,偏
-度量空间中证明Chatterjee型压缩、Hardy-Roger型压缩、Ciric型压缩和Suzuki型压缩的不动点问题。
另一方面是对压缩条件进行推广。Meir-Keeler [6] 采用了一种不同的方法来概括受到广泛关注的Banach收缩原理。准确地说,他们取得了以下令人印象深刻的结果。
定理1.1: [6] 假设映射A是完备度量空间
上的一个自映射,且满足下述条件:对给定的
,存在
,对于任意的
,有
这个结果随后被推广到很多方面。例如Jachymski [7] 提出了一些等同于Meir-Keeler类型条件的条件,并建立了一个完善的不动点理论,该理论将Meir-Keeler的理论广泛化。
定理1.2: [7] 假设映射A是完备度量空间
上的一个自映射,且满足下述条件:
1) 对给定的
,存在
,对于任意的
,有
其中
;
2) 对任意的
,且
,
若A是连续的则A有唯一的不动点。
本文中我们将在偏
-度量空间中建立推广的Meir-Keeler型映射的不动点理论,并且给出这一理论的一些直接的结果。
2. 预备知识
从现在开始,我们用
分别代表正整数,实数,正实数,非负实数。下面我们回顾一下偏
-度量空间的定义。
定义2.1: [5] 令X是非空集合,映射
,
,若对于任意的
,存在互不相同的元素
,且它们与x和y是互异的,有下列条件成立:
1)
当且仅当
;
2)
;
3)
;
4) 存在
且
,有
(偏
-不等式)。
则d称为X上的偏
-距离,
称为偏
-度量空间,且系数
。
注1 [5] 在偏
-度量空间
中,若对
,有
,则
。反之不一定成立。
注2 [5]
1) 偏
-度量空间是偏度量空间 [8] ;
2) 偏
-度量空间是偏b-度量空间,系数
[2] ;
3) 偏
-度量空间是偏矩形度量空间 [9] ;
4) 偏
-度量空间是偏矩形b-度量空间,系数
;
5) 偏
-度量空间是偏
-度量空间。
定义2.2:令X是一个非空集合,映射
,
。若对任意的
,存在互不相同的元素
,且它们与x和y是互异的,有下列条件成立:
1)
当且仅当
;
2)
;
3)
;
4)
(偏
-不等式)。
则d称为X上的偏
-距离。
称为偏-度量空间。
定义2.3: [5] 令
是偏
-度量空间,数列
,且
。则
1) 若
,则数列
称为X中的收敛列,且收敛于x。x称为数列
的极限,记为
,或
,
。
2) 若
存在,则数列
称为X中的柯西列。
3) 若对于X中的每个柯西列
,存在
,且
,则
称为完备的偏
-度量空间。
在 [5] 中我们给出了一些例子来说明偏
-度量空间上的拓扑与推广的度量空间上的拓扑是不相容的 [10] 。因此,我们在偏
-度量空间中定义了连续性。
定义2.4:若当
,
时,有
,则称映射T是连续的。
Samet等人 [11] 通过定义
-收缩映射和
-容许映射给出了一个有趣的结果,同时也推广了Banach收缩原理。
定义2.5: [11] 令T是集合X上的一个自映射,函数
,我们称T是
-容许映射,若对
,下列条件成立:
定义2.6: [12] 令X是非空集合,映射
,函数
。我们称T是三角
-容许映射,若有下列条件成立:
1) 对任意
,且
,有
成立。
2) 对任意的
,且
,
,有
成立。
若对所有的
,有
成立,我们称
具有反身性。
引理2.1: [12] 令T是三角
-容许映射。假设存在
,且
。通过如下方式来定义数列
:
。则对所有的
,且
,有
成立。
下面的引理将用于证明我们的主要结论。
引理2.2:令
是偏
-度量空间,数列
是X中的柯西列,当
时,有
,且
。则数列
至多收敛于一个点。
证明:假设
是数列
的两个极限,且
由偏
-不等式,我们有
因为
,我们得到
。由偏
-推广度量空间的定义,有
。
引理2.3:令
是非负数列。若
,
,则
。
在本文中,我们用
代表映射T的不动点集合。
3. 主要结论
在这一节中,我们将在完备的偏
-度量空间中来证明我们的结论。
定理3.1:令
是完备的偏
-度量空间,函数
,映射
。假设下列条件成立:
1) 对所有的,且
,有
(3.1)
其中
;
2) 对任意的
,存在
,对所有的
,有
,
; (3.2)
3) T是三角
-容许映射,且
具有反身性;
4) 存在
,有
成立;
5) T是连续的。
则T有唯一的不动点u,且
收敛于u。更进一步,若对所有的
,有
,则T在X中有唯一的不动点。
证明:令
且满足
。我们通过下列方式来构造数列
:
,
。若对某个
,有
,则
是T的不动点。在接下来的证明中,我们假设对所有的
,
。因为T是
-容许映射,对所有的
,
,我们有
(3.3)
1) 我们首先证明
。
在(3.1)中令
,
,我们得到
(3.4)
其中
(3.5)
利用(3.4)和(3.5),对所有的
,我们得到
(3.6)
因此
是递减数列。故存在
,使
。明显地,对于所有的
,
。若
,令
,存在
,对所有的
,有
,
(3.7)
因为对于所有的
,
,
,则存在
,对所有的
,有
由(3.7),对所有的
,我们得到
,这与
,
是矛盾的。因此得到
。因此
(3.8)
2) 下面我们证明对所有的
,有
。假设若对某一
,有
成立,因此我们得到
。由(3.6),得到
,矛盾。因此,对任意
,
。
3) 接下来证明,对任意的
,且
,有
成立。
因为
,对任意的
,我们可以假设
。在(3.1)中,令
,
。因
,
,我们得到
(3.9)
其中
因为数列
是递减的,且对所有的
,有
,故得到
(3.10)
由(3.9)和(3.10),得到
(3.11)
令
,
,故
因为
,因此对任意的
,得到
。故数列
是递减的,假设它收敛于某一
。因为
,由引理2.3得到
若
,因为
,
,接下来,我们假设
,
,即
,
。
令
,存在
,对任意的
,有
,
(3.12)
因为对所有的
,
,且
,则存在
,对
,有
由(3.12),对所有的
,
,这与
,
是矛盾的。故
。即
(3.13)
4) 下面我们证明
。相反地,我们假设
不收敛于0,选取子列
,存在
,
是使下列式子成立的最小指标
,
(3.14)
由定理3.1条件(2)知,存在
,对任意的
,
,
(3.15)
显然地,(3.15)式中用
来代替
,(3.15)仍成立。因为
,
,则存在
,对所有
,有
(3.16)
对
,由偏
-不等式,有
即
。
因为
,
,即能推得存在
,有
(3.17)
其中
(3.18)
利用定理3.1条件(2),我们有
。然而,由(3.15)~(3.18)知
这与已知的矛盾。故
,即
是柯西列。因为
是完备的,所以存在
,使得
5) 假设T是连续的,下面我们证明u是T的不动点。因为T是连续的,则
因为对于
,数列
满足
,我们可以假设每一
与
都是不同的。考虑
因
,得到
。因此
(3.19)
假设u不是T的不动点,即
,则
因为
具有反身性,由(3.1),
,我们得到
这与(3.19)是矛盾的。即u是T的不动点。
6) 最后,我们证明T的不动点是唯一的。假设
是T的两个不动点,且
。则由假设
。
所以由(3.1)式,
,得到
其中
即
矛盾。因此
。
推论3.2:令
是完备的偏
-度量空间。映射
是单调的,且满足下列条件:
1) 对任意的
,且
,若
,则有
,其中
;
2) 对任意的
,存在
,且对任意的
,有
,
;
3) 存在
,满足;
4) T是连续的。
则T存在不动点u且
收敛于u。更进一步,若对任意的
,我们有,则T在X中存在唯一的不动点。
证明:定义
,且
显然地,由定理3.1,T存在不动点。
致 谢
在论文完成之际,我要特别感谢纪培胜老师的热情关怀和悉心指导,无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面,还是在论文的研究方法以及成文定稿方面,纪老师都给予了无私的帮助,在此表示真诚的感谢和深深的谢意。在论文的写作过程中,也得到了董芳远同学的宝贵建议,在此一并致以诚挚的谢意。最后,还要感谢山东省自然科学基金资助项目对本论文的支持。
基金项目
山东省自然科学基金资助项目(ZR2016AM05)。