PM  >> Vol. 9 No. 3 (May 2019)

作者:  

邹山中:广东 广州

关键词:
角谷算法B集合H集合Collatz Algorithm B Set H Set

摘要:

假设角谷猜想不正确,那么可将自然数分为两种数的集合,满足角谷猜想的自然数集记为集合B,不满足角谷猜想的自然数集记为集合H,通过对H中的数进行角谷运算,证明了角谷猜想是正确的。

Assume that Collatz conjecture is incorrect, and represent the set of natural numbers as N, then the N set can be divided into B set and H set. Set B satisfies the Collatz conjecture; set H does not satisfy the Collatz conjecture. After performing the Collatz operation on the number in the H, it proves that the Collatz conjecture is correct.

1. 预备工作

角谷算法, f ( n ) = { n / 2 n 0 ( mod 2 ) 3 n + 1 n 1 ( mod 2 )

角谷猜想任给一自然数通过角谷算法后最后都将进入 4 2 1 4 的循环中。

假设角谷猜想不正确,则有:

定义1 角谷数集B,非角谷数集H。

设N是自然数集,把N分成B、H两个数集:

1) 满足角谷猜想的自然数,记为集合B

B = { b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , , b i } , b 1 = 1 , b 2 = 2 , b 3 = 3 , b 4 = 4 , b i

2) 不满足角谷猜想的自然数称为非角谷数集,记为集合H

H = { h 1 , h 2 , h 3 , h 4 , , h i }

显然有 B H = N B H = ,且 h 1 是奇数 [1] ,由于 h 1 是H集合中最小自然数,所以凡是小于 h 1 的自然数都在集合B中。

2. 命题证明

在集合 H = { h 1 , h 2 , h 3 , h 4 , , h i } 中,因为 h 1 是H中最小的自然数,且 h 1 是奇数。所以有:

引理一: h 1 = 2 p + 1 p = 2 n + 1 ,即: h 1 = 2 ( 2 n + 1 ) + 1 = 4 n + 3 ,并且 不能被4整除。

证:如果 p = 2 n ,即 h 1 = 4 n + 1 ,根据角谷算法, 3 × ( 4 n + 1 ) + 1 = 12 n + 4 ( 12 n + 4 ) / 2 = 6 n + 2 ( 6 n + 2 ) / 2 = 3 n + 1 ,而 3 n + 1 < 4 n + 1 = h 1 3 n + 1 B 3 h 1 + 1 = 3 ( 4 n + 3 ) + 1 = 12 n + 10 ,而 ( 12 n + 10 ) / 4 = 3 n + 5 / 2 3 h 1 + 1 不能被4整除。#

为了直观地看到H集合中 h i 在角谷运算过程中的变化情况,我们建立直角坐标系如下:

Figure 1. Line X = 3 Y + 1 intersects Line Y = h i

图1. 直线 X = 3 Y + 1 与直线 Y = h i 相交

图1中, Y = h i 直线与 X = 3 Y + 1 直线相交于D [1] ,过D点作垂线与X轴交于E,可得到直角三角形D0E,设角D0E为Q,有 tan Q = Y 3 Y + 1 ,设 D E = Y = h 1 则有 0 E = X 1 = 3 h 1 + 1 X i h i 是一一对应的,当 D E = h 1 时, tan Q = h 1 3 h 1 + 1 ,因为 3 h 1 + 1 是偶数,依照角谷运算法有, h 2 = X 1 2 n 1 = 3 h 1 + 1 2 n 1 n 1 1 h 2 H n 1 的取值取决于 3 h 1 + 1 2 n 1 是否是奇数,当 3 h 1 + 1 2 n 1 是奇数时 n 1 是最大值,设: y = 3 h 1 + 1 2 n 1 = h 2 ,因为 tan Q = h 1 3 h 1 + 1 = h 2 X 2 即: X 2 = h 2 ( 3 h 1 + 1 ) h 1 ,所以 X 2 = ( 3 h 1 + 1 ) 2 2 n 1 h 1 ,依照角谷算法有 h 3 = X 2 2 n 2 = ( 3 h 1 + 1 ) 2 h 1 2 n 1 2 n 2 ,此时 Y = h 3 tan Q = h 1 3 h 1 + 1 = h 3 X 3 即: X 3 = h 3 ( 3 h 1 + 1 ) h 1 = ( 3 h 1 + 1 ) ( 3 h 1 + 1 ) 2 h 1 2 2 n 1 2 n 2

依照角谷算法有 h 4 = X 3 2 n 3 = ( 3 h 1 + 1 ) 3 h 1 2 2 n 1 2 n 2 2 n 3 ……以此类推有:

h i + 1 = ( 3 h 1 + 1 ) i h 1 i 1 2 n 1 + n 2 + + n i , ( n 1 + n 2 + + n i ) i , (1)

n 1 = n 2 = = n i = 1 时, ( n 1 + n 2 + + n i ) = i ,设 ( n 1 + n 2 + + n i ) = β , β i

这样(1)式可写成: h i + 1 = h 1 ( 3 h 1 + 1 h 1 2 β / i ) i ,因为 h i + 1 是整数,所以 3 h 1 + 1 h 1 2 β / i 必须是整数,而 3 h 1 + 1 h 1 不是整数,所以 3 h 1 + 1 2 β / i 必须是整数,根据引理一,4不能整除 ( 3 h 1 + 1 ) ,所以 2 β / i 只能等于2,即: β / i = 1 β = i ,所以 ( n 1 + n 2 + + n i ) = i ,即有: n i = 1 ,所以 h i = 4 n + 3 ,所以 p i = 2 n j + 1 ,所以 h 1 = 2 p 1 + 1 = 2 ( 2 ( 2 ( 2 n j + 1 ) + 1 ) + 1 ) + 1 j = 1 , 2 , 3 , j

证:如果j不是无穷大,则在H集合中必须出现循环,而(1)出现循环的必要条件是: h 1 ( 3 h 1 + 1 h 1 2 β / i ) i = h 1 ,即有 ( 3 h 1 + 1 h 1 2 β / i ) i = 1 ,即 3 h 1 + 1 = h 1 2 β / i ,显然 3 h 1 + 1 2 h 1 ,所以等式(1)不可能产生从 h 1 开始的循环,因为 n i = 1 ,所以在H集合中任取一 h i 来讨论都会得到同样的结果。所以 j 。#

因为 j ,所以我们永远无法找到一个 h 1 [2] ,满足 h 1 在H集合中作角谷运算,所以非角谷数的集合是不存在的,即 H = ,故角谷猜想是正确的。证明完!

NOTES

作者简介:出生年月:1959年9月,籍贯:广东省始兴县,学历:本科,职称:工程师。

文章引用:
邹山中. 证明角谷猜想是正确的[J]. 理论数学, 2019, 9(3): 414-416. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93055

参考文献

[1] Gu, C.H. (1992) Mathematics Dictionary. Shanghai Dictionary Press, Shanghai.
[2] Min, S.H. (1981) Method of Number Theory. Science Press, Beijing.