Hochstadt-Lieberman定理的重构问题

The Reconstructing Problem for Hochstadt-Lieberman Theorem

摘要: Hochstadt-Lieberman唯一性定理表明，对于定义在[0, 1]区间上的Sturm-Liouville问题，若[0, 1/2]区间上的势函数已知，则一组Dirichlet-Dirichlet特征值即可唯一确定整个区间上的势函数。本文应用亚纯函数的Mittag-Leffler展开定理，给出了重构该问题势函数的一种新方法，同时给出了该问题的解存在的充要条件。

Abstract: In this paper we are concerned with the Hochstadt-Lieberman uniqueness theorem which states that, when the potential is known a priori on [0, 1/2], the full Dirichlet-Dirichlet spectrum of a Sturm-Liouville problem defined on the interval [0, 1] uniquely determines its potential. We shall give a new method for reconstructing the potential for this problem in terms of the Mittag-Leffler decomposition Theorem of meromorphic functions associated with the solution of Sturm-Liouville equantions. We also give a necessary and sufficient condition for the existence of the solution.

1. 引言

1978年，Hochstadt与Lieberman [1] 证明了如下著名的Hochstadt-Lieberman唯一性定理：

定理1.1 对于定义在[0, 1]区间上的Sturm-Liouville算子 $L_{\text{DD}}$ ：

$Lu=-u^{″}+qu$ (1)

满足Dirichlet-Dirichlet (DD)边值条件：

$u\left(0\right)=0=u\left(1\right)$ , (2)

其中 $q\in L^2\left[0,1\right]$ 为实值函数，若q在子区间 $\left[0,1/2\right]$ 上已知，则一组Dirichlet-Dirichlet特征值 ${\sigma }^{\text{DD}}={\left\{{\lambda }_{n\text{,D}}^2\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 唯一确定 $\left[0,1\right]$ 区间上的势函数q。

Martinyuk及Pivoarchik [2] 曾对以上唯一性定理给出了重构势函数的方法。本文的目的是对Hochstadt-Lieberman唯一性定理提供一种新的重构势函数的方法。通过应用Mittag-Leffler展开定理，将“较大的”全纯函数分解为两个“较小的”全纯函数，此分解为我们更好地使用Levin-Lyubarski插值公式重构全纯函数 $u_{-}\left(1/2,\lambda \right)$ 及 ${u^{\prime }}_{-}\left(1/2,\lambda \right)$ 提供了环境。此外，该重构方法亦给出了该问题的解存在且唯一的充要条件。

本文将用 ${\mathcal{L}}_a$ 表示定义在 $L^2\left(-\infty ,\infty \right)$ 上的型为a的指数类全纯函数 [3] 。

2. 势函数的重构

设 $u_{-}\left(x,\lambda \right)$ 为方程(1)满足初始条件 $u_{-}\left(0\right)=0$ 及 ${u^{\prime }}_{-}\left(0\right)=1$ 的解。由文 [4] 可得：

$\begin{array}{c}{u}_{-}\left(x,\lambda \right)=\frac{\sin \lambda x}{\lambda }+{\displaystyle {\int }_0^{x}K\left(x,t\right)\frac{\sin \lambda t}{\lambda }\text{d}t}\\ =\frac{\sin \lambda x}{\lambda }-K\left(x,x\right)\frac{\cos \lambda x}{{\lambda }^2}+{\displaystyle {\int }_0^x{K}_t\left(x,t\right)\frac{\cos \lambda x}{{\lambda }^2}\text{d}t}\end{array}$ , (3)

其中

$K\left(x,t\right)=\tilde{K}\left(x,t\right)-\tilde{K}\left(x,-t\right)$ , $K_t\left(x,t\right)=\frac{\partial K\left(x,t\right)}{\partial t}$ ,

$\tilde{K}\left(x,t\right)$ 满足以下积分方程：

$\tilde{K}\left(x,t\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{x+t}{2}}q\left(s\right)\text{ds}}+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{x+t}{2}}\text{d}\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{\frac{x-t}{2}}q\left(\alpha +\beta \right)\tilde{K}\left(\alpha +\beta ,\alpha -\beta \right)\text{d}\beta }$ ,

且对于两个变量分别存在一阶偏导数。此外，

$K\left(x,x\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{x}q\left(t\right)\text{d}t}$ , $K\left(x,0\right)=0$ . (4)

由(3)可得

$\begin{array}{l}{u}_{-}\left(\frac{1}{2},\lambda \right)=\frac{1}{\lambda }\sin \left(\frac{\lambda }{2}\right)-\frac{K_{-}}{{\lambda }^2}\cos \left(\frac{\lambda }{2}\right)+\frac{{\psi }_{-,0}\left(\lambda \right)}{{\lambda }^2};\\ {u^{\prime }}_{-}\left(\frac{1}{2},\lambda \right)=\cos +\frac{K_{-}}{\lambda }\sin \left(\frac{\lambda }{2}\right)+\frac{{\psi }_{-,1}\left(\lambda \right)}{{\lambda }^2}\end{array}$ (5)

其中 $K_{-}=K\left(1/2,1/2\right)$ ，且对于 $j=0,1$ ， ${\psi }_{-,j}\in {\mathcal{L}}_{1/2}$ 。

定义 $u_{+}\left(x,\lambda \right)$ 为方程(1)满足初始条件 $u_{+}\left(1,\lambda \right)=0$ ， ${u^{\prime }}_{+}\left(1,\lambda \right)=1$ 的解。则 $u_{+}\left(x,\lambda \right)$ 具有类似于(3)的表达式：

$u_{+}\left(x,\lambda \right)=-\frac{\sin \lambda \left(1-x\right)}{\lambda }-{\displaystyle {\int }_x^{1}K\left(x,t\right)}\frac{\sin \lambda \left(1-t\right)}{\lambda }\text{d}t$ . (6)

故 $u_{+}\left(1/2,\lambda \right)$ ， ${u^{\prime }}_{+}\left(1/2,\lambda \right)$ 有如下渐近式：

$\begin{array}{l}{u}_{+}\left(\frac{1}{2},\lambda \right)=-\frac{1}{\lambda }\sin \left(\frac{\lambda }{2}\right)-\frac{K_{+}}{{\lambda }^2}\cos \left(\frac{\lambda }{2}\right)+\frac{{\psi }_{+,0}\left(\lambda \right)}{{\lambda }^2}\\ {u^{\prime }}_{+}\left(\frac{1}{2},\lambda \right)=\cos \left(\frac{\lambda }{2}\right)+\frac{K_{+}}{\lambda }\sin \left(\frac{\lambda }{2}\right)+\frac{{\psi }_{+,1}\left(\lambda \right)}{{\lambda }^2}\end{array}$ (7)

其中 $K_{+}={\displaystyle {\int }_{1/2}^{1}q\left(t\right)\text{d}t}$ ，且对于 $j=0,1$ ， ${\psi }_{+,j}\in {\mathcal{L}}_{1/2}$ 。

由于(1)~(2)的DD特征值 ${\left\{{\lambda }_n\right\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_0}$ 为特征值方程

$\Delta \left(\lambda \right)=u_{-}\left(1,\lambda \right)$ (8)

的零点。由(3)可得，特征值函数的渐近式为：

$\Delta \left(\lambda \right)=\frac{1}{\lambda }\sin \lambda -\frac{K_{-}+K_{+}}{{\lambda }^2}\cos \lambda +\frac{\hat{\psi }\left(\lambda \right)}{{\lambda }^2}$ , (9)

其中 $\hat{\psi }\in {\mathcal{L}}_1$ 。则当 $n\to \infty$ 时，DD特征值 ${\left\{{\lambda }_n\right\}}_{n\in Z_0}$ 的渐近式为：

${\lambda }_n=n\text{π}+\frac{K_{-}+K_{+}}{n\text{π}}+\frac{{\alpha }_n}{n}$ (10)

其中 ${\left\{{\alpha }_n\right\}}_{n\in Z_0}\in l^2$ 。

引理2.1 [5] [Theorem 3,6,2] 设 $F\left(z\right)$ 为亚纯函数，且当时，其单重极点满足。记为在处的留数。若

, (11)

则存在全纯函数使得

, (12)

其中，(12)式右侧的级数在上任何不包含点的有界子集上是一致收敛的。

引理2.2 [6] [Theorem A]设f为sine类函数，其振幅宽度为2a，且其零点为。则对于，映射

(13)

为与的同构映射，且在的任何子域上一致收敛。

下面给出在上重构q的方法及解存在的充要条件。定义为方程(1)满足初始条件，的解。类似可得

(14)

其中，对于，。记为的零点，则

, (15)

其中。显然为亚纯函数且具有单重极点。设为函数在处的留数，则有

, (16)

其中。由(5)，(8)及(10)可得

, (17)

其中，结合(15)，可得。由引理2.1，可知存在全纯函数，满足

. (18)

定义

, (19)

则可得

. (20)

显然时，，为全纯函数。

引理2.3 若记与为

(21)

则，，且及在展开式(20)中为唯一的。

证明 注意到为的零点，则由(20)可得

(22)

将(15)带入计算，可得

,

, (23)

,

,

其中，，均属于。进而将(23)带入(22)得到

. (24)

由于函数为sine类函数，且存在正整数及p使得当时，

则结合(24)，应用Levin-Lyubarski插值定理，即引理2.2，选取为重构函数的插值节点，若记，则有：

, (25)

其中，。

此外，Levin-Lyubarki插值定理保证了所重构函数的唯一性。故定理得证。

引理2.4 设与由(21)式定义。若

, (26)

则

. (27)

进而有

(28)

证明 由于

, (29)

计算易得(27)成立。由于

(30)

且，式(30)结合(27)，可知存在满足

. (31)

由(5)及(7)可知，当时，有

,

故，从而可得(28)。定理得证。

注1 由引理2.3可知是唯一的. 由引理2.4可得的表达式，进而可得与，故有如下结论：

定理2.5 设函数，数列已知，且满足如下渐近式：

(32)

其中A，，。若

(33)

其中，分别由(21)与(26)定义，且，由(5)定义。

则存在唯一的实值函数，使得势函数q在上满足，在上，，且其对应的算子以为特征值的充要条件是属于Nevanlinna类函数。

证明 必要性：假定存在实值函数，使得为Sturm-Liouville算子的DD特征值。则由以上讨论可知，

,.

故由 [2] [7] 知，是Sturm-Liouville问题(1)~(2)的Weylm-函数 [7] ，故属于Nevanlinna类函数。

充分性：若实值函数已知，则函数、及，为已知函数。则由(5)、(14)及引理2.3得，及可知，又由于DD特征值已知，进而由(26)可得，从而由(28)计算可得及：

,

,

其中，故可知。定理得证。

基金项目

国家自然科学基金面上项目资助(11571212)；陕西省大学生创新训练项目资助(1314)。

NOTES

^*通讯作者。