1. 引言
纽结理论是数学中拓扑学的一个分支 [1] ,纽结的等价分类问题在纽结领域中十分重要 [2] 。人们通过寻找纽结不变量来解决纽结的等价问题,常见的纽结不变量有三色性、交叉数、解结数、桥数、纽结多项式、纽结群等。
本文研究了一类特殊的Brunnian链环
,并给出了这类链环的Jones多项式的计算公式。为实现
的多Jones项式的计算,一方面,通过计算
、
的尖括号多项式,逐步递推进而得到
尖括号多项式的计算公式。另一方面,通过对给定向的
进行区域划分,用枚举法找到拧数的计算规律,进而给出了
拧数的计算公式。结合以上两方面得出了
的Jones多项式的计算公式。
本文的创新之处在于对原有的连通和的定义进行推广,以特定的弧段去做连通,由
构造
,再由
构造
,进而可找到
的计算规律,从而大大简化了计算过程。
2. 预备知识
2.1. 纽结及投影图
把嵌入到三维欧式空间
中或者球面
中的单位圆周
称为纽结,设K是
中的简单闭曲线,且
,称K是一个纽结 [3] 。
若给定纽结一个方向便可得到一个定向纽结。
选择一个恰当的平面,将三维空间中的纽结正则投影到平面上,且满足:
①只有有限多个交叉点;
②每个交叉点都是二重点;
③在每个二重点处,上下两线的投影都是互相穿越交叉的则称为纽结投影图。注意,平面的选择不同随之投影图不唯一。
2.2. 链环
将若干互不相交的圆周
嵌入到三维欧式空间
中或者球面
中,由这些圆周形成的空间图形称为链环,记为
。其中
称为L的一个分支,n为
链环的分支数 [4] 。
若通过和痕后所有的
都是平凡纽结,则此时称L为平凡链环;若给定每个分支一个方向,便可得到一个定向链环。
2.3. Reidemeister Move (R变换)
Reidemeister变换是改变纽结的正则投影图的三种方式,每一种都会改变交叉点之间的关系 [1]
RI变换:
RII变换:
RIII变换:
纽结经过Reidemeister变换后纽结的拓扑性质不变,这是一个等价变换。虽然一个纽结有很多个投影图,但这些投影图之间是等价的。之后提到的有关纽结的投影图都指的是正则投影。一个投影图在等价意义下唯一确定一个纽结 [5] 。
2.4. 纽结连通和
设纽结
和
,各取一个走向,将其放在一个平面的两侧,分别把它们的一小段(哪一小段均可)拽向分隔平面,在平面处接通使走向协调,便得到两个有向纽结的和,又称为连通和,记作
2.5. 尖括号多项式
1) 介绍A通道、B通道:
对于上图的交叉点,其中,A通道:若由上行线到下行线逆时针旋转所经过的区域称为A通道,反之,B通道:若由上行线到下行线顺时针旋转所经过的区域称为B通道。
尖括号多项式满足如下的拆接关系:
2.6. 拧数
对于一个链环L的有向投影图,称全体交叉点的的+1和−1的总和为L的拧数。对于每一个交叉点处,有从上行线的箭头转到下行线的箭头的最小转角是逆时针记为+1;从上行线的箭头转到下行线的箭头的最小转角是顺时针记为−1 [3] 。
2.7. Jones多项式
设
是
中的定向环链。因此,有Jones多项式
与之对应,且满足下列条件:
1)
是合痕不变量;
2)有拆接公式:
。
3)
。
在(2)式中
是三个只在一个交叉点不同的环链,也就是它们分别是正交叉点、负交叉点和保持定向的拆接。
2.8. 引理1
设
是一个排叉结如下图,当s为奇数时,
是一个纽结,当s为偶数时,
是一个两分支的链环,并且有
则 [4] :
2.9. 引理2
定义
是一个如下图的排叉结,含
个交叉点,由尖括号多项式的运算法则从最右面的交叉点开始打开可得
2.10. 引理3
定义具有
个半扭转的横向排列称为一个
。其中
表示
个横向半扭转 [6] 。
当
时表示正的半扭转,当
时表示负的半扭转。
如图所示。
当
时,此时
变成
。这时所有的半扭转消失,如图所示 [6] 。
当
时,
变成
,是构成
的单位元素,也可以理解为由
加入
个半扭转得到的,如图所示。
3. 定理证明
首先,将
如左图逆时针旋转90˚变为右图,右图可以看成两个排叉结
和
做连通和得到的 [2]
由引理,所以
,将
代入
的通项公式得到
在
上标记两段弧记为
,如图所示
按照尖括号多项式的运算法则将
的全部交叉点打开,从中选取带有弧
的平凡分支有两种情况,当弧
在同一分支时记为a如左图,当弧
在不同分支时记为b如右图
根据尖括号多项式的计算法则可知
可以写成
的线性组合,即
下面计算
可以看作
与
沿着
两段弧对应做连通和所得,如右图所示
由尖括号多项式的运算法则可知,在计算
的过程中可先打开左侧
中的全部交叉点,所得的投影图有两种情况,a与
沿着弧
对应做连通和可得投影图如左图,根据RII变换最终可变成两分支的平凡链环,b与
沿着弧
对应做连通和,所得投影图为
,如右图
因此有
。
所以
。
同理
可看作
与
沿着特定弧连通和
所做的特殊连通和。
即
重复以上操作最终有
再对
进行计算
①当
时如上图。
从
最右端的交叉点开始打开可得
其中
如下图
可看成如下两部分的连通和
即
由于
所以
(1)
同理
由于
所以上式可写成
将上式带入到(1)中得
重复以上操作,直到将
的全部交叉点都打开,可得
因此有:
②当
时如图
从
右端的交叉点打开可得:
其中L如图所示。
L可以看成如下四部分的连通和
由引理3.1.1可知:
所以
同理,经逐步递推可得:
此时,
的排叉部分只剩下
个交叉点如图所示:
从
最右面的交叉点开始有
其中H如图3.19所示,经RII变换后可得右图
可以看成如下两部分的连通和,其中左图相当于三分支的平凡链环
由引理3.1.1可知:
所以
综上所述,整理得
当
时,从
最右端的交叉点开始打开可得:
其中D是由k个如左图所示的链环、
个中图4和一个右图的连通和组成
由引理3.1.1和引理2.1.1可得
因此
重复以上操作,递推
次可得:
对
中的
进行一样的操作,从右面的交叉点打开得:
其中W由k个相同链环如左图所示、
个如中图所示、如右图所示的连通和
因此,
所以
递推
次可得
递推
次可得
同理,直到仅剩最后一个排叉部分
时,即对于
从
最右端的交叉点开始打开可得:
其中T由如左图所示和k个如右图所示链环的连通和
因此
所以
经以上的逐步递推全部代入到
中可得
特别的,
当
时,上式中的
仅剩下
。
当
时,上式中的
仅剩下
。
即结论成立。
拧数的计算将
分成
部分和
部分,其中
为
的部分拧数,如图所示
i) 计算
部分的拧数
若
、
为奇数、
时,如图所示,有
、
、
、
、
、
、
、都有
所以无论
如何定向,都有
ii) 计算所有
部分的拧数
若
且
时,如图所示,
中每一个交叉点处都是+1,所以有
同理
且
时,
且
时,
且
时,有
所以部分交叉点的拧数是由
以及
的正负决定的,且满足
综合(i)、(ii)及拧数的定义可得结论,即
综上所述即由Jones多项式的定义可知
参考文献
NOTES
*通讯作者