1. 引言
当下大学物理实验室大多以光杠杆法或CCD法来测量金属丝弹性模量,该类方法过程较为单一,对学生的实验操作能力有着一定的要求,且测量误差较大,针对此类局限性,我们设计了一套综合性较高的实验流程,将传统的物理实验与计算机技术结合精准测量弹性模量,更为贴切大学校园培养综合性全面型人才的教学方案。
2. 实验方案
本实验用L表示钢丝的长,A为横截面积,在两端施加拉力F后,设其伸长量为n,则应力为F/A,应变为n/L,弹性模量表示为:
其中m为砝码质量,g为重力加速度,d为金属丝直径。设计测量装置如下图1所示,选用尼康D7000单反相机拍摄照片,并采用数字图像处理方法简化n值的测量。考虑到只拍摄金属丝,难以精确识别金属丝伸长量变化的值,所以提出利用CAD软件设计一种标识物,仅由黑白两色构成,其中黑色部分的宽度为2 mm,两黑色缝隙之间白色宽度为0.3 mm,将设计好的标识物打印在感光较好的相纸上,贴于金属夹具,通过拍摄标志物来放大位移过程的新方案,标识物如图2所示。在调整好相机的进光与焦距等问题后,逐个添加砝码,每加一个50 g砝码,拍摄一张照片,依次增加10个砝码后,将拍摄的照片导入电脑,利用MATLAB做后续数据图像处理。
Figure 1. Schematic diagram of the experimental device
图1. 实验装置示意图
3. 数据处理
照片导入电脑格式为RGB,通过MATLAB软件转换成灰度图。将灰度图分为m × n个的区域,每个区域为不同灰度的像素点,像素点所在的位置都有与其相对应的灰度值,这样将照片转换为一个二维的数值矩阵可以用二维离散函数F(x, y)表示,公式为 [1]
其中(x, y)分别代表矩阵的行和列,不同的灰度值代表的不同的图像信息,图像中黑色到白色分为256个等级。为了减小拍摄中产生的误差因素对数据的影响,对灰度图选取一个较为合适的阈值二值化。函数处理后图像呈现出明显的黑白两色,黑色部分数值为1,白色部分数值为0,利用求和函数对F矩阵进行求和,得到矩阵行值与像素点关系如下图3所示。考虑到标识物黑色部分左右两边都有白色边缘干扰实验数据,所以取F矩阵行求和后数值大于200的位置,排除了边缘白色对F矩阵的影响,同时找到了所有黑色部分上边界m1和下边界m2所在F矩阵中的位置。
Figure 3. Schematic diagram of the relationship between matrix row values and pixel points
图3. 矩阵行值与像素点关系示意图
每一个黑色部分的上下边界都可以作为一条刻线,这可以实现一次得到多组数据的目的,同时求取平均数,减小误差。金属丝在弹性限度范围内满足胡克定律,即增加一个50 g砝码,金属丝伸长量变化(m1 − m2)个像素点,数值为
。为了将位移的单位从像素转换为毫米,本实验利用黑色和白色部分在图像中的像素尺寸比例关系,可实现像素转换为毫米 [2] :根据图像处理后的数据可以得出黑色部分的宽所占的像素点数,进而可以求出两个像素点间所占的实际距离S,公式为:
标识物上一个黑色部分的宽度所占用99个像素点数,所以得出S值为2.020E-05 mm。
每次增加砝码金属丝伸长变化的像素差乘以实际距离S可得出每次金属丝的实际伸长量L1,公式如下:
对所得出L1的值利用累加函数进行累加,利用函数找出方程的斜率就是微小伸长量n。实验中我们将每次增加砝码金属丝伸长像素点数与实际伸长量L1整理成表1所示。
Table 1. Wire extension pixel count () and actual elongation (L1)
表1. 金属丝伸长像素点数()与实际伸长量(L1)
理论上每增加一个砝码后金属丝伸长一定的长度,但是由于测量误差的原因,本实验采用最小二乘法对表1的数据进行拟合,拟合结果如图4所示,图中所示的斜率为最小伸长量n其值为6.614E-05 mm。
Figure 4. Schematic diagram of data fitting results
图4. 数据拟合结果示意图
本实验所用钢丝长L = 0.86 m,直径d = 2 mm,测得钢丝弹性模量E的值为2.029E+11 N/m³,与给定的钢丝弹性模量E = 2 × 1011 N/m³的相对误差为1.45%。实验的误差主要来源于拍摄过程,其误差远小于光杠杆等测量方法。该测量方法从整体上提高尽量实验效率,且具有一定的实用性。
4. 结语
最近几年,数字图像处理技术越发广泛的应用在许多新的领域中,而基于MATLAB数字图像处理技术的性能完善,可以对照片实行精准的数字化处理,使原本繁琐的数学计算得以简化。该方法是一种非接触式的测量方法,避免了人为原因带来的误差,更适用于大学物理实验室,因其操作简便,测量精度较高,测量过程中涉及的知识辐射面更广,能使学生综合素质有着一定的提高。
基金项目
内蒙古自治区级大学生创新创业训练计划项目(201810128009)。
NOTES
*通讯作者。