屏蔽泵电机定转子环域水对转子振动的影响

The Effect of an Annular Fluid on the Vibrations of a Canned Motor Pump’s Rotor

摘要: 在屏蔽泵电机中，定转子屏蔽套之间存在薄环域水，当定转子发生相对位移时，薄环域水的受迫移动时，会对定转子产生非常重要的反作用影响。在R. J. Fritz论文中，研究了环域水对于长轴的影响。但在FRITZ公式中，环域水的水动力质量m_H的影响是基于环域长度是无限长的，而忽略了端部泄露量的影响，公式中的L简单地认为是环域的长度。但是转子都是有限长度的，公式中需要考虑端部泄漏量的影响。所以，在计算环域水的水动力质量时，考虑了端部泄漏量，得到环域的有效长度L_有效。

Abstract: In the canned motor pump, fluid is contained in the thin annular regions between the rotor and stator in locations such as the can annulus and in seals. When relative motion takes place between rotor and stator, the constrained motion of the fluid can give rise to significant interaction effects. In a paper authored by R. J. Fritz, the effects of an annular fluid on the vibrations of a long rotor are investigated. The hydraulic mass term m_H as defined in Fritz’s equations, is based on the as-sumption that the annular region is sufficiently long that end leakage effects are negligible. For this case, the length L is simply the actual length of fluid annulus being considered. But the rotor is always finite length; the influence of the length needs to be considered in the formula of mH. Therefore, the effects of fluid leakage at the end of the annular region can be taken into account by modifying the length L to get the effect length L_eff. 

1. 简介

屏蔽泵电机转子浸在水体中，定转子环域对转子固有频率的影响是不能忽略的，环域水的振动会引起附加的水体附加质量就是水动力质量，这会降低转子的固有频率。而在工业生产中，能成功的预测转子的固有频率，避开共振点是非常重要的。已有多位学者就环域水对振动的影响提出自己的看法 [1] [2] [3] 。

在R. J. FRITZ的论文 [4] [5] 中提出了环域水对长转子固有频率的影响( $L/R\gg 1$ )，但当转子长度有限时，FRITZ的论文中是没有考虑的，本文就转子长度L与半径R长度相当时，提出环域水动力质量的计算方法。

2. FRITZ基本理论

在分析中，考虑厚度h、平均半径R、包裹着旋转部件的环域水，环域水被认为是很薄的， $h\ll R$ 。水体流速在环域厚度方向认为是一致的，平均速度为u，是随周向角度与时间变化的函数。环域截面详见图1。

(B、S为非转动体和转动体的中心；G为转动体质量中心；GS = e；BG = r；BS = $\delta$ ； $\varphi$ 为极坐标系相对最小液膜厚度位置； $\psi$ 为环域某水体位置； $\theta$ 为环域某水体相对于最小液膜厚度的位置； $\Omega$ 为转动部件角速度)

Figure 1. The section of the annular

图1. 环域截面

流体连续性方程：

$\frac{\partial h}{\partial t}+\frac{1}{R}\frac{\partial hu}{\partial \Psi }=0$ (1)

根据动量守恒得到：

$-\frac{1}{R}\frac{\partial p}{\partial \phi }=\frac{{\tau }_1-{\tau }_2}{h}+\rho \left(\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{u}{R}\frac{\partial u}{\partial \phi }\right)$ (2)

其中：p——水动力压力

${\tau }_1,{\tau }_2$ ——水壁面的剪切应力

$\rho$ ——水体的密度

剪切应力在环域两个壁面的变化为：

$\frac{{\tau }_1-{\tau }_2}{h}=F_V\rho {\left(\frac{C}{h}\right)}^{1.217}V$ (3)

$\frac{{\tau }_1-{\tau }_2}{h}=F_T\rho \left(\frac{C}{h}\right)V$ (4)

其中：V——由转子偏心产生的速度

$F_V$ 、 $F_T$ 、F为阻尼系数

将公式(3) (4)带入公式(2)得：

$-\frac{1}{R}\frac{\partial p}{\partial \phi }=\rho {\left(\frac{C}{h}\right)}^{a}FV+\rho \left(\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{u}{R}\frac{\partial u}{\partial \phi }\right)$ (5)

如图1所示，对于小偏角下的厚度h与偏心率 $ϵ$ 、间隙C的关系为：

$h=C\left(1-ϵ\cos \theta \right)$ (6)

角度对应关系：

$\psi =\theta \left(\psi ,t\right)+\varphi \left(t\right)$ (7)

由(6)、(7)求导并带入连续性方程(1)得到：

$u=\frac{\Omega R}{2}\left(1+ϵ\cos \theta \right)+R\stackrel{\dot{}}{ϵ}\sin \theta -Rϵ\stackrel{\dot{}}{\varphi }\cos \theta$ (8)

由于转子的偏心，得环域的流速为：

$u=\frac{\Omega R}{2}+V$ (9)

联立方程(9)和(8)得到：

$V=\frac{\Omega R}{2}ϵ\cos \theta +R\stackrel{\dot{}}{ϵ}\sin \theta -Rϵ\stackrel{\dot{}}{\varphi }\cos \theta$ (10)

由公式(7)得到：

$\partial \psi =\partial \theta \left(\partial t=0\right)$ (11)

将公式(8)、(10)、(11)代入公式(5)得到：

$\begin{array}{c}-\frac{1}{\rho R}\frac{\partial p}{\partial \theta }=\cos \theta \left(-\Omega R\stackrel{\dot{}}{ϵ}+2R\stackrel{\dot{}}{ϵ}\stackrel{\dot{}}{\varphi }+Rϵ\ddot{\varphi }-\frac{\Omega R}{2}ϵF+Rϵ\stackrel{\dot{}}{\varphi }F\right)\\ +\sin \theta \left(-\frac{\Omega R}{2}ϵ\stackrel{\dot{}}{\varphi }-R\ddot{ϵ}+Rϵ{\stackrel{\dot{}}{\varphi }}^2+\frac{{\Omega }^2}{4}Rϵ-\frac{\Omega }{2}Rϵ\stackrel{\dot{}}{\varphi }-R\stackrel{\dot{}}{ϵ}F\right)\end{array}$ (12)

如图1所示，水动力载荷为：

$F_0=-{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}LRp\cos \theta \text{d}\theta }$ (13)

$F_Q=-{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}LRp\sin \theta \text{d}\theta }$ (14)

由(12) (13) (14)得到：

$-F_0=m_{H}C\left(\ddot{ϵ}-ϵ{\stackrel{\dot{}}{\varphi }}^2+\Omega ϵ\stackrel{\dot{}}{\varphi }-\frac{{\Omega }^2}{4}ϵ+F\stackrel{\dot{}}{E}\right)$

$-F_Q=m_{H}C\left(ϵ\ddot{\varphi }+2\stackrel{\dot{}}{ϵ}\stackrel{\dot{}}{\varphi }-\Omega \stackrel{\dot{}}{ϵ}-\frac{\Omega }{2}ϵF+Fϵ\stackrel{\dot{}}{\varphi }\right)$

其中： $m_H=\text{π}\rho R^{3}L/C$

所以，根据FRITZ基本公式得到：当 $h\ll R$ 并且 $L/R\gg 1$ ，定转子环域水的水动力质量 $m_H=\text{π}\rho R^{3}L/C$ 。

3. 分析方法

FRITZ模型简化基于环域水与长转子半径比值远远大于1， $L/R\gg 1$ ；环域被认为是很薄的， $h\ll R$ 。而本文使用的模型对转子的长度没有限制，但仍针对很薄的环域 $h\ll R$ 。

因为环域的刚度和阻尼对转子第一阶固有频率的影响很小，本文在不考虑环域刚度和阻尼的条件下，使用流固耦合分析方法，得到考虑环域水的水动力质量时，转子的第一阶固有频率。而后进行转子干模态的分析，并增加环域水质量单元，计算得到与流固耦合计算相同的第一阶固有频率，此时施加的附加质量即为水动力质量。

修改水动力质量的公式为：

$m_H=\text{π}\rho R^3{L}_{有效}/C$

$\eta =L_{有效}/L$

$L_{有效}$ 为水动力质量的有效长度， $\eta$ 为有效长度比例。通过计算得到有效长度比例 随长径比变化的关系曲线。(长径比为内筒长度与直径的比值)。

4. 有限元分析模型

使用软件ANSYS17.0，对模型进行流固耦合和干模态分析计算。模型包括敞口外筒体和封闭的内筒体，内外筒体间存在环域水。筒体和端部封头厚度都为50 mm，外筒体内径与内筒体外径间隙为1.6 mm，以内筒体长度和内筒体外半径作为变量，得到水体动力质量与长径比的关系曲线。

内外筒体使用20节点高阶单元SOLID186。流固耦合计算中，水体环域部分使用20节点FLUID220进行模拟，它是声学高阶单元，需要定义水体密度、声速；而在干模态分析中，水动力质量使用FLUID38进行模拟，它是ANSYS专门用于模拟环域水的计算单元，对于定转子整体模态而言，此处水体不存在水动力效应，此处仅为水体的质量 $\text{π}L\rho \left(R_2^2-R_1^2\right)$ 。此单元用于计算时，需要定义水体的密度，以及单元的实常数，实常数分别有内外径和长度，此处长度为有效长度，考虑端部泄露的影响。

在计算时，在A、B圆面建立引导点，引导点与地面建立径向轴承，并在A圆面引导与地面建立推力轴承；外筒体两端固定。有限元模型见图2。

Figure 2. The FEA model

图2. 有限元模型

分析模型参数如下：

内筒外半径分别为245.5 mm、295.5 mm，内筒的长度从280 mm增加到980 mm，每个计算模型对应的等效长径比，如表1所示。

Table 1. The geometric dimension of the FEA models

表1. 有限元分析模型的几何尺寸

5. 分析结果

分析得到，对于薄环域水体， $h\ll R$ ，水动力质量的有效长度仅与环域长径比有关，将有效长度除以环域原长，进行无量纲化处理，得到有效长度比值如表2所示。两组有效长度比例与长径比的关系曲线如图3所示。

Figure 3. The curved line between the ratio of effective length and the ratio of length to diameter of the annulus

图3. 有效长度比例与长径比之间的关系曲线

Table 2. The ratio of effective length to the ratio of length to diameter of the annulus

表2. 有效长度比例随环域长径比的变化

由图3中得到：曲线为水动力质量有效长度比例与长径比的关系曲线，也就是说不同几何尺寸的内筒半径和长度，只要长径比相同，水动力质量有效长度比例是相同的。

6. 结论

1) FRITZ公式基于环域水长度与转子直径比值远远大于1的情况， $L/R\gg 1$ ；这是较理想的状态，在很多实际分析中是不适用的；

2) 本文得到的环域水动力质量有效长度比例与长径比的关系曲线仅针对于水体薄环域， $h\ll R$ ，计算中没有考虑环域的阻尼和刚度；

3) 本文将两种常规较成熟的计算分析方法的计算结果进行对比，得出环域水动力质量有效长度比与长径比的关系曲线，对考虑水中模态的工程人员有一定借用价值；

4) 流固耦合与干模态虽为较成熟的计算方法，但有效长度关系曲线仍需试验进一步验证。