1. 引言
记
是一个素数,
是p-adic数域且
是p-adic整数环。
中任意点x可以表示为
,其中
,
且
。非零元素x的赋值为
。
的绝对赋值是
且若
,设
。赋予了绝对值
的
是一个非阿基米德空间。
Oselies和Zieschang在1975年在
上研究了仿射动力系统,具体地,他们研究形如
(其中
)的映射在
动力学性质 [1] 。2006年,Fan,Li,Yao和Zhou对p-adic整数系数仿射映射
,(其中
)在
上的极小分解与唯一遍历性进行了研究并发表了文章 [2] 。2011年,Fan和Fares研究了系数在
上的仿射映射的遍历性分解 [3] 。2011年,Fan和Liao研究了p-adic多项式动力系统的极小分解 [4] 。2014年,Fan,Liao和Wang发表了关于p-adic分式变换的动力系统的极小分解的研究成果 [5] 。
我们在本文中讨论二维的仿射映射
(1.1)
在
上的动力学性质,其中
,
,
且所有的元素都在
中。
令
对于二次同余式
(1.2)
若式(1.2)有解,则称n为模m的二次剩余;若无解,则称n为模m的二次非剩余。
设
都是2阶方阵,若存在2阶可逆矩阵P,使得
,则称M与N相似,P称为相似变换阵。
令
,则
1) 如果
是模p的二次剩余,那么A与
相似。
2) 如果
,那么A与
相似,其中
。
3) 如果
是模p的二次非剩余。
注:本文研究情况1)和2)中
或
的情况。
对应于式子(1.1)中不同类型的A,根据上述中1) 2),我们得到与
共轭的仿射映射,分别是:
类型1
,其中
。
类型2
,其中
。
我们得出以下结果:
定理1. 针对类型1中仿射映射
,动力系统
分解成:
,
其中P代表
的吸引域,
是所有(至少可数多个)闭开集
的并,其中
是有限个圆盘的并而且子系统
是极小的。H中的点最终会落在P与M中。
具体分解如下:
1) 如果
,则有
包含于M。根据
时,
由
个极小集组成。此时
包含于M,
。
2) 如果
,
,
,
,
。
3) 当
,
,则
,
,
。
4) 若
,且存在
使得
。则对于任意的
,
是
-周期的(
代表
与
的最小公倍数)。此时
,
。
5) 如果
,
,且
,则对于
,
由
个极小集组成,其中
是
在群
的阶。此时
包含在M中。所以
,
。
对于类型2中仿射映射
,其在
上的一些动力学性质如下结果给出。
定理2. 如果
,则
以初始点为
在
中轨迹有以下性质:
1) 当
且p是素数时,
a) 如果
,
。
b) 如果
,且
,其中
,则当
,
,其中
,
,
且
、
是模p的二次剩余。
2) 当
时,
a) 如果
,
。
b) 如果
,令
且
,其中
,我们得到当
且
,
,其中
且
。
定理2的结论有助于得到系统极小分解的相关内容。
2. 预备知识
我们首先介绍有关p-adic数域
的一些基本性质以及本文所需的一些基本概念。
.
记
为N关于
的闭包,则
。
是个局部环。对任意
可以分解为
,其中
。
令X是紧度量空间,且
是一个连续映射。对于任意的
,我们称
为x在T下的轨迹。其闭包表示为
。如果对于所有的
,都有
,则称系统
是极小的。
对于
和
,我们令
;
;
.
设
时,
;
时,
。对于在
中的单位a,令
;
.
引理1 [3] . 令
是在
上的平移变换。则有
1) 圆盘
是极小的。
2) 对于任意的整数
,圆周
包含
个极小集。
引理2 [3] . 考虑在
上的仿射映射
。假设
且a不是单位元的根.令
是
的唯一不动点。
1) 对于
,我们有
当且仅当
且
是在由a生成的
的子群中。
2) 对于
,球体
包含
个极小集,其中
是a在群
的阶。
引理3 [4] . 令
是一个系数是p-adic整数的多项式。令
是
的导函数。假设
是满足
和
的p-adic整数。
引理4 [6] . 一个不被p整除的整数a在
有平方根当且仅当a是模p的二次剩余。
引理5. 对于素数
,可得
,其中
且
是模p的二次剩余。
证明:考虑二次多项式
,其中a是一个p-adic整数。上述
在
上有根仅当
是偶数,设为2m,其中
。进而
,故不妨设
,我们知道在循环群
中,平方将其分为秩为2的子群。假设
是模p的二次剩余,其中
是有理整数,根据引理4可得
,
,在
上有二次根,结论得证。
引理6. 对于
,有
。
证明:由 [7] 可得
是平方数当且仅当
,由此可知若
,则
。同时可知
。相反的,每一个
,
,在
中有平方根。
引理7 [2] . 对于任意
,有
在
中稠密。
3. 定理的证明
定理1的证明:
1) 我们有
.
根据引理1,
是极小集,因此包含于M。同时
时,
是由
个极小集组成。因此
包含于M。故(1)成立。
2)
时,任意
,都有
,因此
在
的吸引域内,而
和
是
的不动点,所以结论得证。
3)
时,
时
的唯一不动点,当
时,
,所以任意
在
的吸引域内,结论得证。
4) 若
,但存在
,使得
,对于任意的
时,
是
-周期的,因此
,
是
-周期的(
代表
与
的最小公倍数),结论得证。
5) 如果
且
,则由引理2知,对于
,
由
个极小集组成,其中
是
在群
的阶。此时
包含在M中。结论得证。
为了证明2,我们需要以下两个引理。
引理8. 当p是素数且
,
,其中
,
。
如下给出:
,
,
其中
且
是模p的二次剩余。
证明:
,则
,
,因为由引理7知,
。设
,其中
,则由引理5知,
,其中
且
是模p的二次剩余。
引理9. 当
且
,其中
,我们得到当
且
,则
,
其中
。
证明:类似于引理8的证明。
定理2的证明:
当
时,
。因为
,其中
,则
与
共轭。
.
首先,考虑
,则当
和
时,
,而当
,上式变形为
,由引理8与引理9,结论得证。对
,当
,
。而当
,根据引理1,结论得证。