1. 一维分层Boussinesq方程反问题模型
在文献 [1] 中,对二维情况下的Boussinesq方程的渗透系数反演问题采用了变分伴随方法进行了研究,在本文中,我们对一维分两层情况下的Boussinesq方程渗透系数反演问题进行建模和数值实例的设计,并采用三次样条函数方法进行数值验证。
建立双层模型如下:
将区域
按空间分为两层,浓度时空分布函数
满足的Boussinesq方程可表述为如下形式:
(1)
当渗透系数
,
均设定为正常数时,浓度时空分布函数方程可简化为
(2)
初始条件为:
边界条件为:
,
,
。
临界层边界为:在临界线
上
连续,
可能不连续,但
连续,且
,这一要求类似于热传递在不同介质临界面性质。
当满足上述方程及边界条件时,若函数
未知,已知参数及其他函数,则求解未知函数
的问题称为正问题;若方程中参数
,
均为未知,初始条件与边界条件中的函数
,
,
均已知,求解
、
、
的问题称为反问题。
在求解反问题时,必须添加额外信息,一般附加如下已知条件:
2. 数值验证实例设计
考虑在计算过程中,我们取
并设定
的真值为
(3)
易验证
,其中
相应地,我们也得到了边界条件、初始条件以及附加条件的表达式:
从而,我们可以推算出
的表达式:
当
时,
当
时,
经验算可知上述给定的函数满足Boussinesq方程。
3. 基于三次样条方法的正问题离散化过程的调整
由于临界层的引入及其满足的条件关系式要求,浓度时空分布函数
在
的左右两侧区域
与
应该用不同的双三次样条函数逼近;渗透系数函数为分段(2段)常数,故不需要进行一元三次样条函数逼近,问题又变得相对简单一点。
利用逼近
的双三次样条函数
分别在区域
上近似满足Boussinesq方程,同样可建立关于
在区域
内部离散点处未知取值以及两个渗透系数常数
与
的非线性方程组,因此同样可以采用信赖域算法求解对应的非线性最小二乘问题。
4. 基于三次样条方法的双层渗透反问题的数值验证
我们对第2节中设计的实例(式3)进行数值求解,我们采用调整后的三次样条方法,计算过程中采取等距离分割,离散网格点数为21 × 10,
的搜索区间取为
,
的搜索区间取为
,初始的搜索值设为K0 = [1.2, 2.3],具体程序参见附录。
程序运行耗时74.01秒。
的均方误差为
,渗透系数的数值计算结果分别为1.0001,2.0007,渗透系数真值为
。
所得真值图像与估值图像的对比图如下(图1,图2):
该算法求解精度相对于有限差分法较高,但是通过改变初始值,我们发现,该算法对初始值有一定的依赖性,算法稳定性不足。
5. 总结
在实际处理非均匀地质的问题时,我们可以将非均匀地质近似为多层均匀地质构成,相应地,渗透系数通常可以近似为一个分段常数函数,即在每一个时空网格单元中,都可以视之为一个常数值。本章给出了分两层的一维Boussinesq方程描述、实例设计、反问题离散化求解方法、实例数值验证等。由于临界层的存在,对三次样条函数进行了相应的调整,给出了反问题的解决过程,并验证算法的有效性。