AAS  >> Vol. 7 No. 3 (July 2019)

    宇宙空间暴胀机制探讨
    Probe into the Inflationary Mechanism of Cosmos Space

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作者:  

李宇山:邢台利德机械轧辊制造有限公司,河北 邢台

关键词:
宇宙大爆炸宇宙空间暴胀普朗克尺度普朗克黑洞黑洞的熵黑洞辐射Cosmos Big-Bang the Inflationary of Cosmos Space Planck Size Planck Black-Hole the Entropy of Blank-Hole the Radiation of Blank-Hole

摘要:

本文详尽推导了“普朗克尺度”、“黑洞的熵”及“黑洞的辐射温度”公式,研究了黑洞的辐射问题,探讨了宇宙空间的暴胀机制。

This thesis details inferred “Planck size”, “the entropy of Blank-hole” and “the radiation tempera-ture of Blank-hole” formula; studied the question of radiation of Blank-hole and probed into the inflationary mechanism of cosmos space.

1. 文章中用到的常数

光速(c)——2.998 × 108 (m/s);

普朗克常数(h)——6.63 × 10−34 (J/s);约化了的普朗克常数(h/2π);

引力常数(G)——6.67 × 10−11 (N·m2/kg2);

玻尔兹曼常数(kB)——1.38 × 10−23 (J/K);

摩尔气体常数(R)——8.31 (J/mol·K);

阿伏加德罗常数(N0)——6.022 × 1023 (1/mol);

圆周率(π)——3.1415926;

自然常数(e)——2.71828。

目前普遍认为,宇宙起始于约138亿年前的大爆炸,大爆炸之后的宇宙空间有一个急速膨胀的暴胀过程。本文拟对宇宙空间的暴胀机制做一粗浅探讨。

2. 普朗克尺度、普朗克黑洞

我们知道,要精准确定粒子的位置,就要尽量增加入射光的频率。当光的频率增加到一定程度,亦即光的能量密度达到一定程度时(只有宇宙大爆炸时具备这种能量密度),光子一碰到粒子就变成了黑洞,这将没有任何信息可以传出。这一光线的波长尺度称为普朗克尺度,讨论普朗克尺度以下的尺度是没有意义的。因此,普朗克尺度也就是空间的最小尺度。

这里将史瓦西半径等于普朗克尺度的黑洞称为普朗克黑洞。

设普朗克尺度为LP,那么普朗克尺度光的波长就等于LP。根据普朗克尺度的物理意义,普朗克黑洞的史瓦西半径:

L P = 2 G m P / c 2 (1)

mp——普朗克黑洞的质量。

取普朗克黑洞半径的不确定量为Δr;形成普朗克黑洞的光子的动量不确定量为Δp。根据“不确定性原理”则有:

Δ r Δ p = h / 2 π

如将Δp取最大值,即这光的全部动量值mpc,则Δr就是最小值波长LP,故有:

L P m P c = h / 2 π (2)

(1) × (2)得: L P 2 = 2 G h / 2 π c 3 = G h / π c 3

L P = ( G h / π c 3 ) 1 / 2

将各常数代入得: L P = 2.284 × 10 35 (m)

光通过普朗克尺度所需时间称为普朗克时间,约为10−43秒。

由(1)解得普朗克黑洞的质量 m P = L P c 2 / 2 G = ( c h / π G ) 1 / 2 / 2

将各常数代入得: m P = 1.54 × 10 8 (kg)

3. 黑洞的熵及黑洞的辐射温度与辐射

3.1. 黑洞熵公式的推导

由于黑洞的表面积有只增不减之特性(霍金面积不减定理),这与熵的性质相同。因此不难想到二者成某种正比例关系。

设黑洞的熵为S;史瓦西半径为RB;表面积为A,则有: S A ;不妨设:

S = n A (n为比例常数)

又根据玻尔兹曼公式得: S = k log w (w为系统的微观状态数)。

对于普朗克黑洞有:

S P = k log w P = n A P (3)

(SP、wP、AP分别为普朗克黑洞的熵、微观状态数和表面积)。

(3)中对数的底数取wP时, log w P = 1 , k = n A P , n = k / A P

由于 A P = 4 π L P 2 = 4 G h / c 3 n = k c 3 / 4 G h 所以

S = n A = A k c 3 / 4 G h (4)

由于史瓦西半径 R B = 2 G m / c 2 ,黑洞的表面积 A = 4 π R B 2 = 16 π G 2 m 2 / c 4 ;代入(4)得:

S = 4 π k G m 2 / c h (m为黑洞的质量) (5)

下面讨论黑洞熵公式中所引入的玻尔兹曼常数k与自然对数条件下:

( S = k B ln w )玻尔兹曼常数kB之关系。

在推导黑洞熵公式时,由于做了特殊处理,使得 log w P = 1 ,根据(3)有 S P = k ,即玻尔兹曼常数k代表普朗克黑洞的熵。普朗克黑洞形成过程中的能量交换全部形成了普朗克黑洞的内能,所以根据熵的定义有:

k = m P c 2 / T P (6)

其中mc2与TP分别为普朗克黑洞的内能和温度。

宇宙从大爆炸奇点处开始,此时能量、温度均为无穷大。因为小于普朗克尺度和普朗克时间的时空没有意义,而大爆炸的能量密度又符合形成普朗克黑洞的条件。所以我们认为,如果将半径等于普朗克尺度的空间定义为普朗克空间,那么,可讨论的宇宙就是自普朗克时间产生了普朗克空间,同时又在普朗克空间中产生了普朗克黑洞的时刻开始的。此时的温度是普朗克温度。

宇宙的初始状态又可以看做是目前的宇宙系统经压缩而得到的,故可以运用研究系统问题的“分子运动论”和“热力学理论”对其进行分析。

根据分子运动论,理想气体状态方程可写成如下形式 [1] :

P V = ( N R / N 0 ) T

其中P、V、T分别为系统的压力、体积与温度;N为分子数。由于 k B = R / N 0 ,故有:

P V = N k B T (7)

对普朗克黑洞应用(7)则有:

P P V P = N k B T P

普朗克黑洞可视为只有一个分子的系统,故N = 1则:

P P V P = k B T P

将热力学第一定律应用于普朗克黑洞得 [1] :

Q = m P c 2 + P P V P

普朗克黑洞形成过程是一个绝热过程,Q = 0;普朗克黑洞的形成是外界作功之结果,此过程不对外作功。故PPVP取负值。所以有:

m P c 2 P P V P = 0 P P V P = m P c 2

于是: k B T P = m P c 2

那么: k B = m P c 2 / T P (8)

比较(6)、(8)两式可得: k = k B ;于是得: w P = e (自然数)。

这表明黑洞熵公式中的k就是kB,并且自然数e是普朗克黑洞的微观状态数。

3.2. 黑洞的辐射温度

由熵公式的微分形式 d S = d Q / T 得: T = d Q / d S ;对于黑洞辐射温度TB则有:

T B = d Q / d S = d ( m c 2 ) / d S = c 2 d m / d S

T B = c 2 / ( d S / d m )

根据(5)式得: d S / d m = d ( 4 π k G m 2 / c h ) / d m = 8 π k G m / c h

所以黑洞的辐射温度:

T B = c 2 / ( 8 π k G m / c h )

T B = c 3 h / 8 π k G m (9)

由(8)式得普朗克黑洞的辐射温度为:

T P = m P c 2 / k B

将数值代入得: T P = 10 32 (K)

这一温度也称为普朗克温度。

3.3. 黑洞的辐射(霍金辐射)

由于量子效应,空间存在着量子涨落,即瞬间产生正能量粒子和负能量反粒子对并瞬间互相湮灭的现象。

对于负能量的反粒子来说,黑洞相当于一个很陡的正能量势阱。粒子—反粒子对在黑洞边界上产生时,负能量反粒子必然落入黑洞,而正能量的粒子要么一同落入黑洞(这种情况相当于粒子—反粒子对互相湮灭),要么飞向无限远处(落入负能量势阱)与反粒子落入黑洞的事件相抵消。这就相当于黑洞辐射了粒子。

当外界温度高于黑洞辐射温度时,其吸收的能量比辐射的能量多,黑洞逐渐长大,温度随之降低;当外界温度低于黑洞辐射温度时,其吸收的能量比辐射的能量少,黑洞逐渐缩小,温度随之升高并最终剧烈蒸发殆尽(爆炸)。

其它大质量天体(如恒星、白矮星、中子星)对于负能量反粒子来说也相当于一个正能量势阱,但其陡度不够。由于粒子–反粒子对互相湮灭的速度近于光速,这一陡度不足以使反粒子在湮灭前落入其中。

4. 宇宙空间暴胀机制

前已述及,宇宙大爆炸后,于普朗克时间(10−43秒)形成了普朗克空间,同时在普朗克空间内形成了普朗克黑洞。根据这些条件可推测,这之后空间以绝热膨胀的形式扩张,而黑洞则以从空间吸收能量的方式长大,起始温度均为普朗克温度[1032(K)]。这一过程有两种可能的发展模式:

第一种,二者以等温方式同步膨胀。

空间绝热膨胀应满足 [1] :

V r 1 T =

其中:V表示体积;T代表温度;r为比热容比。 r = ( i + 2 ) / i ;i为自由度,这里取 i = 3 ,故 r 1 = 2 / 3

设空间半径为RS;空间温度为TS

则有: ( 4 π R S 3 ) 2 / 3 T S = ( 4 π L P 3 ) 2 / 3 T P , R S 2 T S = L P 2 T P

T S = ( L P / R P ) 2 T P

设黑洞史瓦西半径为RB,则: R B = 2 G m / c 2 , m = c 2 R B / 2 G ,又根据⑧有: k = m P c 2 / T P 且: m P = c 2 L P / 2 G

代入(9)并整理得黑洞温度:

T B = ( G h / 2 π c 3 L P R B ) T P

因为: L P = ( G h / π c 3 ) 1 / 2

所以: T B = ( L P / 2 R B ) T P (11)

R S = a b L P R B = b L P (a、b为系数,取正数)于是根据(10)、(11)有:

T S = ( 1 / a b ) 2 T P , T B = ( 1 / 2 b ) T P

由于空间与黑洞以等温方式同步膨胀,故有: T S = T B

亦即: ( 1 / a b ) 2 T P = ( 1 / 2 b ) T P , a 2 = 2 / b

讨论:1) 当 b < 2 时, a > 1 R S > R B 空间半径大于黑洞半径;

2) 当 b = 2 时, a = 1 R S = R B = 2 L P 空间半径与黑洞半径相等;

3) 当 b > 2 时, a < 1 R S < R B 空间半径小于黑洞半径。

1) 表示空间与黑洞等温同步膨胀,空间半径始终大于黑洞半径;

2) 表示空间与黑洞同步膨胀至半径均等于二倍的普朗克尺度,此时的温度为: T B = T P / 4

3) 表示如果继续膨胀,黑洞的半径将比空间的半径要大,温度也要比空间的温度高。然而这种情况是不可能发生的,此刻黑洞将会以霍金辐射的方式剧烈蒸发,从而致使空间以爆发式增长,即发生暴胀。

在宇宙的初始阶段,空间尚不存在基本粒子,但却存在能量涨落效应。黑洞凭借能量涨落而发生剧烈蒸发。

第二种,二者以等径方式同步膨胀( R S = R B )。

至(11)式以上推导过程与第一种相同。

R S = R B = a L P (a为系数,取正数) 于是根据(10)、(11)分别有:

T S = ( L P / R S ) 2 T P = T P / a 2 (12)

T B = ( L P / 2 R B ) T P = T P / 2 a (13)

(12)/(13)得: T S / T B = 2 / a

讨论:1) 当 a < 2 R S = R B < 2 L P 时, T S > T B ,空间温度高于黑洞温度;

2) 当 a = 2 R S = R B = 2 L P 时, T S = T B ,空间温度与黑洞温度相等;

3) 当 a > 2 R S = R B > 2 L P 时, T S < T B ,空间温度低于黑洞温度。

(1)、(2)两种情况说明,空间与黑洞等径膨胀直至 R S = R B = 2 L P

(3)表明,如果继续膨胀,空间温度将低于黑洞温度,此刻黑洞将会以霍金辐射的方式剧烈蒸发,从而使空间的爆发式增长,以至发生暴胀。

两种发展模式都证明,当空间与黑洞半径增长至二倍普朗克尺度时,黑洞的剧烈蒸发导致宇宙空间发生暴胀。

5. 结论

1) 普朗克尺度 L P = ( G h / π c 3 ) 1 / 2

2) 黑洞的熵 S = A k c 3 / 4 G h = 4 π k G m 2 / c h ,其中的玻尔兹曼常数k就是自然对数条件下( S = k B ln w )的玻尔兹曼常数kB;黑洞的辐射温度 T B = c 3 h / 8 π k G m

3) 普朗克黑洞的熵等于自然对数条件下的玻尔兹曼常数,即 S P = k B ;普朗克黑洞的微观状态数等于自然数,即 w P = e

4) 黑洞可通过空间的量子涨落而产生辐射。

5) 宇宙原始空间与黑洞的相互作用使空间发生暴胀。

文章引用:
李宇山. 宇宙空间暴胀机制探讨[J]. 天文与天体物理, 2019, 7(3): 65-70. https://doi.org/10.12677/AAS.2019.73007

参考文献

[1] 程守洙, 江之永, 主编. 普通物理学[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978