Orbifold丛与陈特征

Orbifold Bundle and Chern Character

摘要: 重新描述orbifold和orbifold丛的定义，并且提出了orbifold丛上联络的定义，从而诱导orbifold陈特征等概念。

Abstract: In this paper, we reformulate the notion of orbifolds and orbifold bundles, and then define the connection, with which we construct orbifold chern character.

1. 引言

Orbifold最早产生于代数几何领域，带有奇性的簇被视为最早出现的orbifold。到了上世纪50年代，Satake [1] [2] 首次在拓扑学和微分几何领域引入orbifold的概念。在微分几何中，orbifold被视为光滑流形的推广，当时被称为V-流形，即是带有奇点的“流形”。类似于光滑流形，orbifold是一个拓扑空间，其上加以一个orbifold结构。orbifold结构也是由空间的一个开覆盖构成，每张局部卡为 $R^n$ 中的连通开集，模以一个有限子群得到的商集。orbifold结构刻画了orbifold的局部奇性，但是缺乏局部相容性，所以不能很好的展现其整体结构。Haefliger [3] 利用群胚的语言来表述orbifold。群胚有良好的整体性，使若干代数拓扑的概念得以推广到orbifold领域中来。由于群胚的语言比较抽象，其几何直观性有所欠缺。

本文结合局部卡和群胚的语言。重新表述orbifold的概念。新的表述保留了orbifold结构，再利用群胚来规范局部卡之间的相容性。这种定义下的orbifold可以理解为对群胚的像空间进行加细，从而揉进了局部卡构成的开覆盖。新的表述既保留了原来局部奇性的刻画，同时也兼顾整体性，使很多微分几何的概念在orbifold领域得以推广。首先，我们重新描述orbifold丛，把orbifold X上的orbifold丛定义为一个orbifold E，和一个丛投射 $p:E\to X$ ，使得在局部上，对于X的每一张orbifold卡 $\left(V_{\alpha },G_{\alpha },{\pi }_{\alpha }\right)$ ， $U_{\alpha }=V_{\alpha }/G_{\alpha }$ 上的纤维为 $\left(R^n\times V_{\alpha }\right)/G_{\alpha }$ 。这种描述本质上与Ruan [4] 的orbifold丛定义是等价的。

由于orbifold丛新的描述保留了过渡矩阵等语言，我们可以参考微分几何的技巧，通过构造曲率方阵，在orbifold丛上定义联络，使得向量场的微分并不会受到局部奇性的影响。即是对向量场的微分与局部群的作用可以交换。类似于微分几何，本文还进一步定义了orbifold丛的陈特征。

2. Orbifold

纸型

Orbifold的定义可以用两种语言来描述。一种是局部卡的语言，另一种是群胚的语言。本节先简要介绍这两种语言，然后结合这两种语言，我们对orbifold的定义重新描述。

局部卡的语言首先是Satake [1] [2] 提出来的，但本节引用了Ruan [4] 的表述方式。

定义1.1 [4] ：设X为一个仿紧的Hausdorff拓扑空间， $n>0$ 。

1) X上一个n维orbifold卡，是指一个三元组 $\left(V,G,\pi \right)$ 。其中V为 $R^n$ 中的连通开子集，G为 $diff\left(V\right)$ 的有限子群， $\pi :V\to X$ 是一个G不变的映射，并且诱导同胚 $V/G\to \pi \left(V\right)\subseteq X$ 。

2) 如果光滑嵌入 $\lambda :V_1\to V_2$ 满足 ${\pi }_1={\pi }_2\circ \lambda$ ，则称 $\lambda$ 为两个orbifold卡 $\left(V_1,G_1,{\pi }_1\right),\left(V_2,G_2,{\pi }_2\right)$ 之间的嵌入。

3) 对于一族orbifold卡 $\Gamma ={\left\{\left(V_{\alpha },G_{\alpha },{\pi }_{\alpha }\right)\right\}}_{\alpha }$ ，如果 $\Gamma$ 局部相容，并且 ${\left\{{\pi }_{\alpha }\left(G_{\alpha }\right)\right\}}_{\alpha }$ 覆盖X，则称 $\Gamma ={\left\{\left(V_{\alpha },G_{\alpha },{\pi }_{\alpha }\right)\right\}}_{\alpha }$ 为X的一个orbifold卡册。

4) 对于X的两个orbifold卡册 ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2$ ，如果 ${\Gamma }_1$ 中的每一张orbifold卡都能嵌入到 ${\Gamma }_2$ 中的某一张orbifold卡，则称 ${\Gamma }_1$ 为 ${\Gamma }_2$ 的一个加细。如果两个orbifold卡册有一个共同的加细，则称它们是等价的。

局部卡定义的局部相容缺乏整体性。为此Haefliger [3] 提出了群胚的语言。群胚是指一个小范畴，其所有的态射都是等价。

定义1.2 [5] ：一个群胚 $G=\left(G_0,G_1\right)$ 称为李群胚，如果其像空间 $G_0$ 和态空间 $G_1$ 都是光滑流形，5个结构映射都光滑，且满足以下性质：

1) 源映射 $s:G_1\to G_0$ 为淹没映射；

2) 靶映射 $t:G_1\to G_0$ 也为淹没映射；

3) 复合映射 $m:G_{\begin{array}{cc}1& s\end{array}}{\times }_t{G}_1\to G_1$ ， $gh:=m\left(g,h\right)$ ，满足结合律，其中 $G_{\begin{array}{cc}1& s\end{array}}{\times }_t{G}_1=\left\{\left(h,g\right)\in G_1\times G_1|s\left(h\right)=t\left(g\right)\right\}$ ；

4) 单位映射 $u:G_0\to G_1,x\to 1_x$ ，使得对任意 $h\in s^{-1}\left(x\right),g\in t^{-1}\left(x\right)$ ，有 $$ ；

5) 逆映射 $i:G_1\to G_1,g\mapsto g^{-1}$ ，使得对任意 $g\in G_1$ ，有 $g{g}^{-1}=1_x$ 。

定义1.3 [5] ：设 $G=\left(G_0,G_1\right)$ 为一个李群胚，如果 $\left(s,t\right):G_1\to G_0\times G_0$ 为一个proper映射，且 $s,t$ 都是局部微分同胚，则称为一个orbifold群胚。

Orbifold之间的映射由群胚同态来描述。

定义1.4 [5] ：设 $G=\left(G_0,G_1\right),H=\left(H_0,H_1\right)$ 为李群胚。若 ${\varphi }_0:G_0\to H_0,{\varphi }_1:G_1\to H_1$ 和是光滑映射，并且与G和H所有的结构映射都可以交换，则称 $\varphi =\left({\varphi }_0,{\varphi }_1\right):G\to H$ 为群胚同态。

定义1.5 [4] ：设X为一个仿紧的Hausdorff拓扑空间， $n>0$ 。若赋予X一个orbifold群胚 $G=\left(G_0,G_1\right)$ ，使得，则 $X\cong G_0/G_1$ 称 ${\rm X}=\left(X,G\right)$ 为一个n维orbifold。

群胚的语言比较抽象，并不能很清晰的体现orbifold的几何性质。因此，我们结合局部卡和群胚两种语言，重新描述orbifold的定义。

定义1.6：设X为一个仿紧的Hausdorff拓扑空间， $n>0$ 。X上的一个orbifold结构为一个

orbifold卡册 $\Gamma ={\left\{\left(V_{\alpha },G_{\alpha },{\pi }_{\alpha }\right)\right\}}_{\alpha }$ 和一个orbifold群胚 $G=\left(G_0,G_1\right)$ ，使得

$G_0={\coprod }_{\alpha }{V}_{\alpha }$ ，，且 $X\cong G_0/G_1$ 。

对于orbifold我们记为 $\left(X,\Gamma ,G\right)$ ，有时简记为 $\left(X,G\right)$ 。

3. Orbifold丛和的Rham上同调

Orbifold丛最早是由Satake [1] [2] 提出来的。其定义的缺陷，就是丛的不再是丛。为此，Ruan [4] 用群胚语言定义了orbifold的概念。

定义2.1 [4] ：设 $G=\left(G_0,G_1\right)$ 为一个orbifold群胚， $p:E_0\to G_0$ 为平常的纤维从，若存在 $G_1$ 对 $E_0$ 的作用 $\mu :G_1{\times }_{G_0}{E}_0\to E_0$ ，使得 $G_1$ 作用在每个纤维上都是线性的，则称 $E_0$ 为orbifold $\left(G_0/G_1,G\right)$ 上的一个orbifold丛。

为了定义orbifold丛上联络的概念，我们利用定义1.6的语言，重新描述orbifold丛的定义。

定义2.2：设 $\left(X,G\right)$ 和 $\left(E,H\right)$ 为两个orbifold， $\left(p_0,p_1\right):\left(H_0,H_1\right)\to \left(G_0,G_1\right)$ 为群胚同态。若以下条件成立，

1) $H_0\cong G_0\times R^n,H_1\cong G_1\times R^n\cong G_1{\times }_{G_0}{H}_0$ ，

2) $G_1$ 在 $H_0$ 的每个纤维上的作用都是线性的，

则称 $\left(E,H\right)$ 为 $\left(X,G\right)$ 上的一个orbifold丛， $\left(p_0,p_1\right):\left(H_0,H_1\right)\to \left(G_0,G_1\right)$ 为丛投射。

定义2.2与定义2.1本质上是等价的。若 $E_0$ 是定义2.1中的orbifold丛。令 $H_1=G_1{\times }_{G_0}{E}_0$ ，则 $H=\left(H_0,H_1\right)$ 是一个orbifold群胚，并且 $\left(H_0/H_1,H\right)$ 是定义2.2中的orbifold丛。反之，若 $\left(E,H\right)$ 是定义3。2中的orbifold丛。令 $E_0=H_0$ 即可的定义2.1。

注2.3：把定义2.2中的 $R^n$ 换成 $C^n$ ，我们可以得到orbifold复丛的定义。

设 $\left(p_0,p_1\right):\left(H_0,H_1\right)\to \left(G_0,G_1\right)$ 为一个orbifold复丛投射。对任意 $g\in G_1$ ，g在纤维上的作用相当于乘上一个方阵。因此，我们得到一个映射，

$\varphi :G_1\to GL\left(n,C\right)$ 。

显然， $\varphi$ 满足cocycle条件，即是对任意 $g_1,g_2\in G_1$ 有 $\varphi \left(g_1{g}_2\right)=\varphi \left(g_1\right)\varphi \left(g_2\right)$ 。称 $\varphi$ 为纤维丛 $\left(E,H\right)$ 的过渡函数。我们有以下性质。

定理2.4： $\left(X,G\right)$ 上所有n维orbifold丛构成的集合与所有满足n维cocycle条件过渡函数构成的集合，即

$\left\{\varphi :G_1\to GL\left(n,C\right)|\varphi \left(g_1{g}_2\right)=\varphi \left(g_1\right)\varphi \left(g_2\right),对任意g_1,g_2\in G_1\right\}$

之间存在一一对应。

证明：由前面的分析知道每个orbifold丛对应着一个过渡函数。

反之，设 $\varphi :G_1\to GL\left(n,C\right)$ 满足cocycle条件。令

$H_0\cong G_0\times R^n,H_1\cong G_1\times R^n\cong G_1{\times }_{G_0}{H}_0.$

定义结构映射

$\begin{array}{c}s:H_1\to H_0\\ \left(g,v\right)\mapsto \left(s\left(g\right),v\right)\end{array}$ ， $\begin{array}{c}t:H_1\to H_0\\ \left(g,v\right)\mapsto \left(t\left(g\right),\varphi \left(g\right)v\right)\end{array}$

和投射

$\left(p_0,p_1\right):\left(H_0,H_1\right)\to \left(G_0,G_1\right),$

其中

$\begin{array}{c}{p}_0:H_0\to G_0\\ \left(x,v\right)\mapsto x\end{array}$ ， $\begin{array}{c}{p}_1:H_1\to G_1\\ \left(g,v\right)\mapsto g\end{array}$

则 $$ 是一个orbifold群胚，并且 $\left(p_0,p_1\right):\left(H_0,H_1\right)\to \left(G_0,G_1\right)$

是一个从 $\left(H_0/H_1,H\right)$ 到 $\left(X,G\right)$ 的丛投射。

对于orbifold $\left(X,G\right)$ ，定义 $\left(X,G\right)$ 上的de Rham复型为

$A^p\left(G\right)=\left\{\omega \in {\Omega }^p\left(G_0\right)|s^{\ast }\omega =t^{\ast }\omega \right\}$

由[ALR]知， $d{A}^p\left(G\right)\subseteq A^{p+1}\left(G\right)$ 。定义 $\left(X,G\right)$ 上的de Rham上同调为

$H^{\ast }\left(G\right)\subseteq H^{\ast }\left(A^{p+1}\left(G\right),d\right).$

4. 联络

首先介绍单位分解。

定义3.1：设 $\left(X,G\right)$ 为orbifold， ${\left\{{\rho }_i\right\}}_i$ 为X上一族非负函数。若以下条件成立，

1) 对任意i， $0\le {\rho }_i\le 1$ ， $\sup pp{\rho }_i$ 紧并且存在 $\alpha$ ，使得 $\sup pp{\rho }_i\subseteq {\pi }_{\alpha }\left(V_{\alpha }\right)$ 。

2) 对任意 $p\in X$ ， ${\displaystyle {\sum }_i{\rho }_i}\left(p\right)$ 是一个有限和。

3) ${\displaystyle {\sum }_i{\rho }_i}\equiv 1$ 。

4) 对任意i， ${\rho }_i\circ {\pi }_{\alpha }$ 为 $V_{\alpha }$ 上光滑函数。

则称为 ${\left\{{\rho }_i\right\}}_i$ 为X上一个从属于 $G$ 的单位分解。

利用微分几何的方法，容易验证任何orbifold上都有单位分解。

下面定义orbifold丛上的联络，并且证明所有orbifold丛都有联络。

定义3.2：设 $\left(p_0,p_1\right):\left(H_0,H_1\right)\to \left(G_0,G_1\right)$ 为从 $\left(E,H\right)$ 到 $\left(X,G\right)$ 的丛投射。 $\left(E,H\right)$ 上的联络定义为丛 $p_0:H_0\to G_0$ 上的平常联络 $D:\Gamma \left(H_0\right)\to \Gamma \left(T^{\ast }{G}_0\otimes H_0\right)$ ，使得对任意

${\sigma }_1,{\sigma }_2\in \Gamma \left(H_0\right)$ ，若 $s^{\ast }{\sigma }_1=t^{\ast }{\sigma }_2$ ，则有 $s^{\ast }D{\sigma }_1=t^{\ast }D{\sigma }_2$ 。

对于的 $G_0$ 每一个分支 $V_{\alpha }$ ，取丛 ${H_0|}_{V_{\alpha }}$ 的一个基底 $S_{\alpha }$ 。 $A_{\alpha }^{\beta }$ 为过渡矩阵，即 $S_{\alpha }=A_{\alpha }^{\beta }{S}_{\beta }$ 。 ${\left\{{\rho }_i\right\}}_i$ 为X上一个从属于 $G$ 的单位分解。构造联络方阵

${\omega }_{\alpha }={\displaystyle \underset{i}{\sum }\frac{1}{\left|G_{\beta }\right|}}{\left(t^{-1}\right)}^{\ast }\left({\rho }_i\circ {\pi }_{\beta }\circ s\right)d{A}_{\beta }^{\alpha }{\left(A_{\beta }^{\alpha }\right)}^{-1}.$

其中， $\sup pp{\rho }_i\subseteq {\pi }_{\beta }\left(V_{\beta }\right)$ 。令 $D:\Gamma \left(H_0\right)\to \Gamma \left(T^{\ast }{G}_0\otimes H_0\right)$ 为

$D{S}_{\alpha }={\omega }_{\alpha }\otimes S_{\alpha },$

可以验证联络方阵满足

$A_{\alpha }^{\beta }{s}^{\ast }{\omega }_{\alpha }{\left(A_{\alpha }^{\beta }\right)}^{-1}+d{A}_{\alpha }^{\beta }{\left(A_{\alpha }^{\beta }\right)}^{-1}=t^{\ast }{\omega }_{\beta },$ (3.1)

则D为orbifold丛 $\left(E,H\right)$ 上的一个联络。

下面利用联络D构造陈特征。考虑曲率矩阵

${\Omega }_{\alpha }=d{\omega }_{\alpha }-{\omega }_{\alpha }\otimes {\omega }_{\alpha }.$

由(3.1)知 $A_{\alpha }^{\beta }{s}^{\ast }{\Omega }_{\alpha }=t^{\ast }{\Omega }_{\beta }{A}_{\alpha }^{\beta }$ 。即是 $A_{\alpha }^{\beta }{s}^{\ast }{\Omega }_{\alpha }{\left(A_{\alpha }^{\beta }\right)}^{-1}=t^{\ast }{\Omega }_{\beta }$ 。类似于光滑的情形，对任意 $\alpha$ ，我们可以构造

$b_i\left({\Omega }_{\alpha }\right)=tr{\left(\frac{\sqrt{-1}}{2\text{π}}{\Omega }_{\alpha }\right)}^i.$

并且 $s^{\ast }{b}_i\left({\Omega }_{\alpha }\right)=t^{\ast }{b}_i\left({\Omega }_{\beta }\right)$ 。构造 $b_i\left(\Omega \right)$ ，使得 ${b_i\left(\Omega \right)|}_{V_{\alpha }}=b_i\left({\Omega }_{\alpha }\right)$ 。于是， $b_i\left(\Omega \right)\in A^p\left(G\right)$ 。称 $b_i\left(\Omega \right)$ 为丛 $\left(E,H\right)$ 的第i个chern特征。