1. 引言
在本文中G表示有限群,
表示素数。文中讨论的恰n-极小子群是潘红飞在 [1] 中提出的,即对于一个子群链
如果对于任意的
有
是
的极大子群,则称这个群链是D的极大子群链且链长为n。如果子群D有一个极大子群链且链长是n,则称D为n-极小子群。如果D是n-极小子群,但是D的真子群都不是n-极小子群,则称D是恰n-极小子群。钱国华在 [2] 中提出了n-极大子群,并定义
表示群
子群链的链长。设D是G的一个子群,
表示G到子群D的不可加细链的集合,则
,因此
且
。
设G是有限群,
,
,如果
则称H是G的S-置换子群,或者H是G的S-拟正规子群。若对于
使得
且
有
称H是G的SS-拟正规子群,B为H在G中的SS-补,H在G中SS-补的集合记为
。显然S-置换子群是SS-拟正规子群。
本文主要考虑恰n-极小子群是SS-拟正规子群的有限群的结构。
条件1.1:假设G所有恰n-极小子群是SS-拟正规子群,其中n是正整数。
令
表示G中所有恰n-极小子群组成的集合,
表示G的所有子群链中最长的链长。对正整数n做素数幂分解,
,定义
。令
表示G的权重。
在此先给出一些注解:
根据n-极小子群的定义,显然恰n-极小子群一定是n-极小子群,但反过来不成立。
假设D是G的子群,则很容易得到以下结论:
1)
。
2) 当D是可解群时,
。
2. 预备知识
引理2.1:令H,K是G的子群,则有下列结论成立。
1) 若H是G中S-置换子群,则H是G的次正规子群。若
,则H是K中S-置换子群。
2) 若K是H中的G-不变子群,则H/K是G/K中S-置换子群当且仅当H是G中S-置换子群。
3) 若H,K是G中S-置换子群并且
,则HK也是G中S-置换子群。
4) 若P是G中的p-子群,则P是G中S-置换子群当且仅当
且
。
5) 若H,K是G中S-置换子群,则
也是G中S-置换子群。
6) 若H是G中S-置换子群,则
是幂零子群,这里
。
7) 若H是G中S-置换子群,若
时,则
;若H是可解群时,则
。
证明:这些陈述是已知的,参见 [3] [4] 和( [5] ,第一章,第二节)。
引理2.2 [6] :假设H是G中SS-拟正规子群,
,且N是G的一个正规子群。则
1) 若
,则H是K中的SS-拟正规子群。
2) HN/N是G/N中SS-拟正规子群。
3) 若
且K/N是G/N中SS-拟正规子群,则K是G中SS-拟正规子群。
4) 若K是G中拟正规子群,则HK是G中SS-拟正规子群。
引理2.3 [6] :令H是G的一个幂零子群。则有如下结论等价。
1) H是G中S-置换子群。
2)
且H是G中SS-拟正规子群。
定义2.1 [7] :假设N存在一个G-不变子群链
,且任意的
都是素数阶,则称N是G-超可解群。根据Jordan-Holder定理,一个G-不变子群N是G-超可解群当且仅当N以下的G-主因子都是素数阶的。
引理2.4 [8] :假设N是G的正规子群,若N是G-超可解群,则
是超可解群。
引理2.5:令F是G中正规幂零子群且n是正整数。如果F的任意权重为n的子群H是G中SS-拟正规子群。则有下列结论成立。
1) 假设
且
。则F的所有子群是G中S-置换子群。
2) 假设E是F中的一个极小G-不变子群。则
。如果
,则
或
。
证明:
1) 因为F幂零群且
,则F可以表示成一些素数阶子群的直积形式。令M是F的子群。若
,则M可由F的一些权重为n的子群
的交生成;若
则M可由F的一些权重为n子群
的直积生成。根据条件知
和
在G中SS-拟正规,因为
且
,所以
且
,则根据引理2.3知
和
是G中S-置换子群。所以根据引理2.1 3) 5)知M是G中S-置换子群,所以F的所有子群是G中S-置换子群。
2) 由条件知E是一个初等交换p-群。假设结论是错误的,则
根据结论1)知E的所有子群在G中S-置换。令
使得x中心化G的一个Sylow p-子群。因为
在G中S-置换,则根据引理2.1 4)知
,因此
,矛盾。所以
。
如果
,假设结论错误,则
。令A/E是F/E的极小子群,则A不是循环群且A的所有极大子群在G中S-置换。根据引理2.1 3)知A在G中S-置换,则F/E的任意极小子群在G/E中S-置换。根据2)第一部分条件知F/E中有一个G/E-不变子群B/E且
。因为B是非循环群,所以
。再根据E的极小正规性知
。因为
,根据1)知B的所有极小子群在G中S-置换,又
知
,矛盾。 □
引理2.6 [2] :假设F是G的正规幂零子群,且
其中n是正整数。设F的任意权重为n的子群H是G中S-置换子群,则
1)
,则F是G-超可解群。
2)
,若F的任意4阶循环子群(如果存在)在G中S-置换,则F是G-超可解群。
引理2.7:假设F是G的正规幂零子群,且
其中n是正整数。设F的任意权重为n的子群H是G中SS-拟正规子群,则
1)
,则F是G-超可解群。
2)
,若F的任意4阶循环子群(如果存在)在G中S-置换,则F是G-超可解群。
证明:因为F是G中正规幂零子群,所以
,又
,所以
,因为H是G中SS-拟正规子群,则根据引理2.3知H是G中S-置换子群。这时根据引理2.6立得上述结论。 □
引理2.8 [8] :如果交换群A忠实且不可约作用在
阶初等交换群V上,则A是循环群且m是最小正整数k使得
成立。
引理2.9:假设G满足条件1.1,令V是G的极小正规子群。若
且
,则
是可解的Frobenius群,A是G的奇数阶超可解补群,V是G的核,而且V是G中唯一权重为n的子群。
证明:假设
且
,所以
。若
,则根据引理2.7可知
是G-超可解群且
,矛盾,所以
。假设G中存在p-子群P,使得
且
,这里P不是循环群,假设P中可找到两个不同的极大子群
和
。因为
和
是P的极大子群,所以
,所以
和
是G中SS-拟正规子群。根据引理2.2 4)可知
是G中SS-拟正规子群,所以
,矛盾。所以
,因此存在G的极大子群A使得
。
假设群A存在p-元x,使x中心化V的非单位元,则
。于是令D是
的极大子群,因为
,所以
在G中SS-拟正规,又因为
,所以
在G中S-置换,则根据引理2.1 5)可知
是G中S-置换子群,又根据引理2.1 4)知
是G中正规子群,矛盾。因此G是有核V和补群A的Frobenius群。
假设A是偶数阶群,令D是A的2阶子群。因为V是完全可约
-模,且根据引理2.8知所有不可约
-模的次数为1,这就意味着V有极大的D-不变子群
,而
是G的正规子群,矛盾,因此A是奇数阶。所以A是奇数阶Frobenius补群,当A所有的Sylow子群是循环群时,A是超可解群,同时G是可解群。
假设D是G中权重为n的子群。则D在G中SS-拟正规。因为
,所以
根据引理2.3知
在G中S-置换且
,根据引理2.1 4)知
在G中正规,所以
。 □
引理2.10:令p是奇素数,假设G的任意p阶子群在G中SS-拟正规。则
是超可解群。如果G满足条件1.1且
则
是超可解群。
证明:假设
且
。因为G的任意p阶子群在G中SS-拟正规,又G的p阶子群包含在
中,所以
。显然根据引理2.7 2)知
是G-超可解群。所以根据引理2.4知
超可解。因为
中任意p阶子群在
的中心里,根据Huppert在( [8] ,第四章,定理5.5)知
是p-幂零群,所以G是p-可解群。因为
,所以
。因此
是超可解群,所以G是超可解群。
若G满足条件1.1且
,因为
,所以
是超可解群。□
引理2.11:假设G是满足条件1.1的可解群,且
。若G有权重为
的极小正规子群D,则G/D是超可解群。
证明:假设G有不同于D的极小正规子群E,则
,根据引理2.7,可知
。根据引理2.2的2)知G/E中所有恰
-极小子群是G/E中SS-拟正规子群,若G/E中有权重为
的极小正规子群DE/E,根据引理2.9知
是超可解群,又因为
,所以G/D是超可解群。假设D是G唯一的极小正规子群,且
因此
是p-群,若
,取p-元
,因为
,所以
是G中SS-拟正规子群,因此
,所以
,矛盾。若
,则根据引理2.9知
,这里
且A是G的极大子群。根据引理2.9知
,根据引理2.10知若A中所有的极小子群是SS-拟正规的,则
是超可解群。
假设A不是超可解群,为方便证明,我们令
不是G-超可解群,又因为O不是循环群,且令B是O的4阶子群,因为D是完全可约
-模,根据引理2.8知,所有不可约
-模的维数是1或2。假设D有子群是1维的不可约
-模,则D有极大B-不变子群
,显然
是G中SS-拟正规子群,因为
且
,所以
,所以
在G中S-置换。又因为
,所以
是G中S-置换子群,根据2.1 4)知
,矛盾。因此D所有的不可约
-模子群都是2维的,因为若
,则所有不可约
-模是1维,因此O没有
类型的子群。又因为O不是G-超可解群,所以O是四元数群,且
是A-主因子。因为
是6阶的且A不可约作用在
上,所以
。令
是A的3阶子群,
是O的4阶子群。因为
是A中SS-拟正规子群,
是12阶循环群,又因为D是
-群,所以D是完全可约
-模。取
,这里
,
是
-模且
是不可约的,所以
。因为
是2维的不可约
-模,所以
,所以
且
是G中SS-拟正规子群。因为
且
,所以
是G中S-置换子群。若
则
在G中S-置换子群,所以根据引理2.1 4)知
,矛盾。若
,则
是G中S-置换子群,所以根据引理2.1 7)知
,矛盾。 □
3. 主要结果及其证明
定理3.1:令F是G的正规幂零子群,P是F的Sylow p-子群,这里p是奇数阶。若F的所有极小子群在G中SS-拟正规,或若
且F所有权重为2的子群D在G中SS-拟正规。则P是G-超可解群。
证明:假设
且F所有权重为2的子群D在G中SS-拟正规。令E是F的极小G-不变子群。根据引理2.5 2)知E是素数阶,所以F/E任意极小子群在G/E中SS-拟正规。又因为
,所以F/E任意极小子群在G/E中S-置换。因为可由PE/E的G-超可解性直接推出P的G-超可解性。因此只要考虑当F所有极小子群在G中SS-拟正规的情况即可。
假设F所有极小子群在G中SS-拟正规,因为
,所以F所有极小子群在G中S-置换。显然F的所有子群继承了假设条件。因此假设
且P的所有真G-不变子群是G-超可解群。若
和
是P中不同的极大G-不变子群,则
和
都是G-超可解群,所以P也是G-超可解群。因此设P有唯一极大G-不变子群V。
为了证明P的G-超可解性,我们只要证明P/V是p阶群。若
,则P是G的极小正规子群,又根据引理2.5知P是G-超可解群。若
,则根据引理2.4知
是超可解群。
假设
。因为
是P中G-不变子群,且V是P中唯一极大G-不变子群,所以
,则P/V同构于
的G-主因子,因此
。因此假设
,则
,且P最多有2个类。令
是P中所有p阶元生成的子群,所以
。
假设
,令
是P/V的任意极小子群。因为
,
是p阶群且在G中S-置换,因此P/V的所有极小子群在G/V中S-置换。因此根据引理2.5 2)知P/V是p阶群。
假设
,则
,因此
是初等交换群。又因为
是G-超可解群,所以根据引理2.4知
是超可解群。若
-群平凡的作用在
上,则
-群平凡的作用在P上。则
是p-群。显然
。又因为P/V是G的p-主因子,且
,所以
,又因为
是超可解群,所以
是超可解群。根据引理2.1 4)知
是由一些p阶
-不变子群的直积生成,因此
是交换群且
。令
使得
,显然
,
,则
是
的商群,因此
是交换群且
。对于
的任意
-主因子
。因为
一定是
的
-主因子,所以
是素数q阶且
。又因为
的Sylow p-子群平凡的作用在
上,所以也平凡的作用在
上。因为
,所以
。因此
是交换群且
,所以P/V是p阶群。得证。 □
定理3.2:设G是满足条件1.1的可解群且
,若G所有极大子群链链长至少为
,或者
,则G是超可解群。
证明:假设G不是超可解群,且G是极小阶反例。令D是G唯一的极小正规子群,当
时,则根据引理2.9和引理2.11,可知G/D是超可解群。当
时,则G/D满足定理的所有条件,根据归纳法可知G/D是超可解群。如果G有不同的极小正规子群
,则根据归纳法
都是超可解群。如果
时,因为G/D是超可解群。则G也是超可解群。当
时,设D是G唯一极小正规子群,则根据引理2.10知
且
,其中A是G的极大子群。
如果G的任意极大子群链链长至少为
,则
;如果
,则
。取P是A中极大正规幂零子群。则
,又因为
,所以
,又因为
,矛盾。
从而G是超可解的。 □
定理3.3:设G是满足条件1.1的可解群且
,若
,k是正整数,
表示G的幂零长,则
。
证明若
,则
,则根据定理3.2知G是超可解群,所以
。
若
,令D是G的极小正规子群。若
,则根据引理2.9和引理2.11知G/D是超可解群。所以
;若
,令
,则
,则G/D满足定理条件,G/D中所有权重为
的子群都是SS-拟正规子群,并且
,则根据归纳法知
。假设
且
是G唯一的极小正规子群,所以
,其中A是G的极大子群。令
,且
。若
,则A中有子群M在G中SS-拟正规,则
,矛盾。所以
,因为
。则
,
,因此
。根据归纳法可知
,所以
。□
基金项目
NOTES
广西研究生教育创新计划项目(XYCSZ2019086)。