1. 引言
在量子信息和量子计算中,非常重要的任务就是构造好的量子纠错码。近年来,诸多研究者通过经典纠错码来构造量子纠错码(见 [1] [2] [3] )。一个参数为
q元量子码Q是Hillbert空间
的一个
维子空间。参数为
量子码C满足量子Singleton界:
,如果
,则称量子码C为量子极大距离可分离码(量子MDS码) (见 [4] )。
在量子纠错码中,纠缠辅助量子纠错码(简写为EAQEC码)扮演重要的角色。在 [5] 中,给出对EAQEC码纠缠辅助Singleton界,并把达到这个界的码称为纠缠辅助量子MDS码(简写为EAQMDS码)。在 [6] 中,在经典MDS码的基础上,通过加入一个或者更多的纠缠态,构造五类新的EAQMDS码。在 [7] 中,提出分解定义集的概念,并用这个方法分解BCH循环码的定义集,得到了一些好的EAQEC码。近年来,负循环码经常被用来构造EAQMDS码。在 [8] [9] 中,通过分解负循环码的定义集,得到新的EAQMDS码。在 [10] [11] 中由基于负循环码扩充到基于常循环码来构造新的EAQMDS码。本文通过分解常循环码的定义集构造了六类新的EAQMDS码。本文采用不同于 [10] [11] 的方法来计算纠缠态的数量c,在同样的长度n下定义集具有更一般的形式,从而可构造更多的EAQMDS码。
由于EAQMDS码的性能优劣是通过速率
来评价的,已知
,c随着
增大而增大,就其性能而言
越小越好。而EAQMDS码的纠错能力与最小距离d有关,d越大纠错能力越强,正如在 [12] 中给出最小距离大于
时,码具有较好的纠错能力。d随着
增大而增大,因此在实际问题中
尽可能大时保证c尽量小,我们有必要弄清楚c与
的关系,本文将讨论这一问题。
2. 预备知识
2.1. 常循环码
令q为一个奇素数的方幂,设
为具有
个元素的有限域,给任意两个向量
和
,定义Hermitian内积为
。如果
,则称这两个向量Hermitian正交。
为
上的n维向量空间,一个参数为
的线性码C是指
空间中最小距离为d的k维子空间。定义线性码的Hermitian对偶码为
,如果
,则C称为Hermitian自正交码。
设
。对于
,如果
,有
,称线性码C为
-常循环码。一个码字
也可以用一个多项式
表示。因此每个
-常循环码都是商环
的一个主理想,即
,其中
,且
是首1多项式。假设
是rn次本原单位根且
,令
,则
是一个n次本原单位根。那么就有
令
。对于
,设C是
-常循环码,且
,称
为C的定义集,因而
为
的定义集。称
为j模rn的
-分圆陪集。
引理2.1 [13] 设
是一个在
上,长度为n的
-常循环码,其中
是一个r次本原单位根。如果
的根为
,那么C的极小距离至少为d。
引理2.2 [14] 设
和
,其中
。C是一个在
上,长度为n的
-常循环码,其定义集为
,那么
当且仅当
,其中
。
2.2. 纠缠辅助量子码
引理2.3 [15] 如果在有限域
上存在一个参数为
的线性码C,则有Singleton界:
。当达到Singleton界,即
,则称C为MDS码。
令H为C的
的校验矩阵,则
有
的生成矩阵
,其中
为H的共轭转置矩阵。
引理2.4 [16] 如果C为有限域
上参数为
的线性码,H为C的校验矩阵,则存在参数为
的EAQEC码,其中
。
引理2.5 [5] C为有限域
上带参数为
的EAQEC码,如果
,则C满足纠缠辅助Singleton界:
。如果对于
,C满足
,则C称为EAQMDS码。
定义2.6 [8] 设
和
,其中
。C是一个在
上,长度为的n的
-常循环码,其定义集为Z。假设
,其中
。则
称为C的定义集的分解。
引理2.7 [8] C是一个在
上,长度为的n的
-常循环码,其定义集为Z,且
为定义集Z的分解,则纠缠态的数量为
。
本文未指明的符号、概念参见 [11] 。
3. 主要结果
3.1. 构造长为
的EAQMDS码
在本节中q为一个奇素数的方幂,
。注意到
,则有
,这意味着每个模rn的
-分圆陪集只包含一个元素。
定理3.1 若C是一个在
上,长度为
的
-常循环码,它的定义集为
,则能找到所有长度为n的EAQMDS码,它的参数为
。
证明 由于
则从引理2.1和引理2.3可知C是一个参数为
MDS码。根据引理2.7
这表明c与
的取值范围有关。由引理2.4存在参数为
的EAQMDS码。为了找到c关于
的对应关系,讨论同余方程
的解,注意到
,因此可假定
。这样
有整数解
对
来说,
有整数解
。
由
,当
时,可得
。在取定l后把
表示成
这种形式,其中
的取法是多样的,例如:
令
,得到所有的
,只要给定r,就可以把
从小到大排列。依次记为
。若
对应的
有
个,则当
时,
;当
时,
;
;当
时,
。接下来计算所有的
。
当
时,有
,因为
,则
,
即当
时
当
即
时,
,否则
。得到所有的
如下:
取
,得到所有的
:
取
,得到所有的
:
取
,得到所有的
:
注意当
时,同理可计算所有的
。综上若C的定义集为
,当
时,则存在参数为
的EAQMDS码。
推论3.2 1) 若C是一个在
上,长度为
的
-常循环码,它的定义集为
,则存在参数为
EAQMDS码。当
时,
,得
;当
时,
;当
时,
;当
时,
;当
时,
;当
时,
;当
时,
。
2) 若C是一个在
上,长度为
的
-常循环码,它的定义集为
,则存在参数为
EAQMDS码。当
时,
,得
;当
时,
;当
时,
;当
时,
;当
时,
。
证明 我们只证明1),2)的证明是类似的。在定理3.1中,取定
,所有的
取值如下:
当
时,
当
时,
当
时,
当
时,
当
时,
当
时,
现在把
从小到大排列出来,这里只排列出前面部分,有
根据定理3.1即可得出结论。
推论3.3 1) 若C是一个在
上,长度为
的
-常循环码,其中
且
,r是一个奇数。令
。C的定义集为
,则存在参数为
的EAQMDS码。当
时,
,得
;当
时,
;当
时,
;当
时,
;
;当
时,
;
;当
时,
;当
时,
。
2) 若C是一个在
上,长度为
的
-常循环码,其中
且
,r是一个偶数。令
和
。C的定义集为
,则存在参数为
的EAQMDS码。当
时,
,得
;当
时,
;当
时,
;当
时,
;
;当
时,
;
;当
时,
;
当
时,
。
证明 我们只证明1),同理可证明2)。当
时,有
,得到
的表示唯一,此时相当于对
做带余除法。这里设定
,由
和
可得
。
当
时,有
;
当
时,有
;
当
时,有
因为
,所以
当
时,有
,
;
当
时,有
,
;
当
时,有
,
又因为
故有
将它们从小到大排列出来:
根据定理3.1即可得出结论。
3.2. 构造长为
,其中
与长为
,其中
的 EAQMDS码
在本节中q为一个奇素数的方幂,
。注意到
或者
,则有
。令
则模
的
-分圆陪集分别是
,其中
。
引理3.4 令
,当
时,有
是
的解
是
的解。
证明 要证
是
的解
是
的解,即证
是
的解
是
的解。
先证必要性,由
是
的解,有
即
得
是
的解。同理可证充分性。
引理3.5
,当
时,则
是
的解
是
的解。
证明 只需证
是
的解
是
的解。
先证必要性,由
是
的解,有
即
得
是
的解。同理可证充分性。
定理3.6 q为一个奇素数的方幂,且
,若C是一个在
上,长度为
的
-常循环码,它的定义集为
,则存在参数为
的EAQMDS码。
当
时,
;当
时,
;
当
时,
;当
时,
;
当
时,
;当
时,
;
当
时,
;当
时,
;
当
时,
。
证明 由于
则从引理2.1和引理2.3得C是一个带参数为
MDS码。由引理2.4得存在参数为
的EAQMDS码。当
时,有
,得到
的表示唯一,此时相当于对
做带余除法。设定
,由于
,根据引理2.7
又因为
有整数解
,其中
对
来说,
有整数解
,其中
。
有整数解
,其中
对
来说,
有整数解
,其中
。
取定l后把
表示成
这种形式,令
。
当
时,有
,
;
当
时,有
,
;
当
时,有
,
;
当
时,有
,
;
当
时,有
,
;
当
时,有
,
;
当
时,有
,
;
当
时,有
,
;
当
时,有
,
;
对
,将
从小到大排列,依次记为
。得
,
,
,
,
,
,
,
,
由引理3.4得
是
的解
是
的解。对
,
,令
,将
从小到大排列,顺序依然为
。令
,综上,对
,当
时,
。
定理3.7 q为一个奇素数的方幂,且
,若C是一个在
上,长度为
的
-常循环码,它的定义集为
,则存在参数为
的EAQMDS码。
当
时,
;当
时,
;
当
时,
;当
时,
;
当
时,
;当
时,
;
当
时,
;当
时,
;
当
时,
。
证明 由于
则从引理2.1和引理2.3得C是参数为
的MDS码。由引理2.4得存在参数为
的EAQMDS码。当
时,有
,得到
的表示是唯一的,此时相当于对
做带余除法。我们设定
,由引理2.7,有
而我们知道
有整数解
,其中
对
来说,
有整数解
,其中
。
有整数解
,其中
对
来说,
有整数解
,其中
。
取定l后把
表示成
这种形式,令
。对
,将
从小到大排列,依次记为
。得
,
,
,
,
,
,
,
,
,
。
由引理3.5得
有解
有解
。对
,
,令
。将
从小到大排列,顺序依然为
。综上即可得出结论。
定理3.8 q为一个奇素数的方幂,且
,若C是一个在
上,长度为
的
-常循环码,它的定义集为
,则存在参数为
的EAQMDS码。有
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
对
,当
时,
。
证明 证明过程与定理3.6类似,此处省略。