理论数学  >> Vol. 9 No. 7 (September 2019)

一类单叶接近凸调和映射
A Class of Univalent Close-to-Convex Harmonic Mapping

DOI: 10.12677/PM.2019.97107, PDF, HTML, XML, 下载: 431  浏览: 561  科研立项经费支持

作者: 乔金静*, 翟小雨:河北大学数学与信息科学学院,河北 保定

关键词: 单叶调和映射偏差定理凸半径部分和极值函数Univalent Harmonic Mapping Deviation Theorem Radius of Convexity Partial Sum Extremal Function

摘要: 作为导数实部大于零的解析函数类的推广,本文介绍了一类单叶接近凸调和映射,讨论了此类映射的如下性质:偏差定理、凸半径、部分和的接近凸性、极值函数,且也研究了幂级数展开式中除首项外前有限项系数为零的子类。
Abstract: This paper investigates a class of univalent close-to-convex harmonic mappings, which is the gener-alization of analytic functions whose derivatives have positive real parts. We discuss the following properties of functions in this class: deviation theorem, the radius of convexity, close-to-convexity of partial sums, extremal functions, and we also study the subclass of functions with initial zero coef-ficients.

文章引用: 乔金静, 翟小雨. 一类单叶接近凸调和映射[J]. 理论数学, 2019, 9(7): 813-817. https://doi.org/10.12677/PM.2019.97107

1. 预备知识

H 0 是单位圆盘 D = { z : | z | < 1 } 上的复值调和映射 f = h + g ¯ 组成的函数类,其中h和g是D上的解析函数,分别称为f的解析部分和反解析部分, h ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 h ( 0 ) = 1 。h和g有级数表示

h ( z ) = z + n = 2 a n z n , g ( z ) = n = 1 b n z n , z D .

调和映射 f = h + g ¯ H 0 的Jacobian矩阵为 J f ( z ) = | h ( z ) | 2 | g ( z ) | 2 。如果对任意 z D ,都有 J f ( z ) > 0 ,则称f在D中是保向的 [1] 。由Lewy [2] 的结果,可得 J f ( z ) > 0 是f局部单叶并且保向的一个充分必要条件。而 f H 0 在D中保向当且仅当 g ( z ) = ω ( z ) h ( z ) ,其中 ω 在D中解析,且 | ω ( z ) | < 1

称函数 ω 为f的解析伸缩。

条件 Re f ( z ) > 0 是凸区域上的解析函数f单叶的充分条件,参见( [3] 定理2.16)。对满足条件 Re f ( z ) > 0 的函数f的最早的研究是Alexander的论文 [4] 。Alexander证明了:如果f在D中是解析的且 f 将D映射到边界为一条通过原点的直线的半平面,那么f就是单叶的。Noshiro ( [5] , p. 151)和Warschawski ( [6] , p. 312)分别证明了 Re f ( z ) > 0 是f在任意凸区域内单叶性的一个充分条件。事实上满足条件 Re f ( z ) > 0 的函数是接近凸的( [3] , p. 46)。

令R表示D中满足条件 Re f ( z ) > 0 的解析函数类,且满足规范化条件 f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) = 1 。由Noshiro和Warschawski的结果,R中的每一个函数都是单叶的 [4] 。在文献 [7] 中,作者研究了函数类

= { f ( z ) = z + n = 2 a n z n : θ 0 [ 0 , 2 π ] , Re e i θ 0 f ( z ) > 0 , z D } .

显然R是 的子类。文献 [7] 主要讨论了 中函数的如下性质:偏差定理,凸半径,部分和的接近凸性,极值函数,幂级数展开式中除首项外前有限项系数为零的子类。本论的目的是把文献 [7] 中的结果推广到调和映射。

函数类 到调和映射的一个自然的推广是类

H : = { f = h + g ¯ H 0 : θ 0 [ 0 , 2 π ] , Re e i θ 0 h ( z ) > | g ( z ) | , z D } .

如果 f = h + g ¯ H ,即存在 θ 0 [ 0 , 2 π ] ,使得 Re e i θ 0 h ( z ) > | g ( z ) | ,则称 θ 0 为f对应的旋转角。如果 f = h + g ¯ H ,显然有 h 并且对每一个 θ [ 0 , 2 π ] D h + e i ( θ θ 0 ) g 。利用上述性质,本文讨论H

中映射的如下性质:偏差定理,凸半径,部分和的接近凸性,极值函数,幂级数展开式中除首项外前有限项系数为零的子类。

2. 偏差定理

定理2.1 如果 f ( z ) = h ( z ) + g ( z ) ¯ = z + n = 2 a n z n + n = 2 b n ¯ z ¯ n H ,且对应的旋转角为 θ 0 [ 0 , 2 π ] ,那么

| a n | + | b n | 2 n cos θ 0 , n = 2 , 3 , ,

| h ( z ) | + | g ( z ) | cos θ 0 1 + | z | 1 | z | + | sin θ 0 | ,

Re e i θ 0 h ( z ) cos θ 0 1 | z | 1 + | z | + | g ( z ) | ,

| | h ( z ) | | g ( z ) | | | h ( z ) | + | g ( z ) | cos θ 0 [ | z | 2 log ( 1 | z | ) ] + | sin θ 0 | | z | ,

| | h ( z ) | | g ( z ) | | cos θ 0 [ | z | + 2 log ( 1 + | z | ) ] . (1)

证明:因为 f = h + g ¯ H ,且对应的旋转角 θ 0 [ 0 , 2 π ] ,即在D中 Re e i θ 0 h ( z ) > | g ( z ) | ,这等价于对每一个 θ [ 0 , 2 π ] Re ( e i θ 0 h ( z ) + e i θ g ( z ) ) > 0 ,也就是 Re e i θ 0 ( h ( z ) + e i ( θ θ 0 ) g ( z ) ) > 0 。由文献 [7] 中的定理1.1,有

| a n + e i ( θ θ 0 ) b n | 2 n cos θ 0 , n = 2 , 3 , ,

| h ( z ) + e i ( θ θ 0 ) g ( z ) | cos θ 0 1 + | z | 1 | z | + | sin θ 0 | ,

Re e i θ 0 ( h ( z ) + e i ( θ θ 0 ) g ( z ) ) > cos θ 0 1 | z | 1 + | z | ,

| h ( z ) + e i ( θ θ 0 ) g ( z ) | cos θ 0 [ | z | 2 log ( 1 | z | ) ] + | sin θ 0 | | z | ,

| h ( z ) + e i ( θ θ 0 ) g ( z ) | cos θ 0 [ | z | + 2 log ( 1 + | z | ) ] .

因此

| a n | + | b n | 2 n cos θ 0 , n = 2 , 3 , ,

| h ( z ) | + | g ( z ) | cos θ 0 1 + | z | 1 | z | + | sin θ 0 | ,

Re e i θ 0 h ( z ) cos θ 0 1 | z | 1 + | z | + | g ( z ) | ,

| | h ( z ) | | g ( z ) | | | h ( z ) | + | g ( z ) | cos θ 0 [ | z | 2 log ( 1 | z | ) ] + | sin θ 0 | | z | ,

| | h ( z ) | | g ( z ) | | cos θ 0 [ | z | + 2 log ( 1 | z | ) ] .

通过考虑函数 f 0 ( z ) = z 2 log ( 1 z ) = z + n = 2 ( 2 n ) z n H ,可知定理中的所有估计都是强的。

下面的结果利用估计(1)得到。

推论2.1 调和映射 f = h + g ¯ H 将单位圆盘D映到包含圆盘的区域上,其中 θ 0 [ 0 , 2 π ] 是f对应的旋转角。

3. 凸半径

本节首先介绍一个引理,这个引理为( [1] , p. 38)中的定理。

引理3.1 设 f = h + g ¯ 在D中调和并且局部单叶。那么f是单叶的并且它的象域是凸的当且仅当对每一个 α ( 0 α < 2 π ) ,解析函数是单叶的,并且它的象域在水平方向是凸的。

定理3.1 调和映射 f = h + g ¯ H ,将 | z | < 2 1 映到一个凸区域上。

证明:假设 f = h + g ¯ H ,且对应的旋转角 θ 0 [ 0 , 2 π ] 。设 f θ ( z ) = h ( z ) + e i θ g ( z ) ,这里 θ [ 0 , 2 π ] 。 显然有 f θ 。由( [7] 定理2.1), f θ ( z ) | z | < 2 1 映射到一个凸区域上。 f θ ( ( 2 1 ) z ) 是D上的凸函数,由引理3.1, f ( ( 2 1 ) z ) 是D上的凸调和映射,即调和映射f将 | z | < 2 1 映到一个凸区域上。

对于函数 f 0 ( z ) = z 2 log ( 1 z ) H ,有

z f 0 ( z ) / f 0 ( z ) + 1 = ( 1 + 2 z z 2 ) / ( 1 z 2 )

式子右端当 z = 1 2 是为0。因此,这个函数不会把比 | z | < 2 1 大的一个圆盘 | z | < r 映到一个凸区域上。

4. 部分和的接近凸性

定理4.1 设调和映射 f ( z ) = h ( z ) + g ( z ) ¯ = z + n = 2 a n z n + n = 2 b n ¯ z ¯ n H

f n ( z ) = h n ( z ) + g n ( z ) ¯ = z + k = 2 n a k z k + k = 2 n b k ¯ z ¯ k ,那么 f n ( z ) | z | < 1 2 中是接近凸的,其中 n = 2 , 3 , 。这个结果是强的。

证明:假设 f = h + g ¯ H ,且对应的旋转角 θ 0 [ 0 , 2 π ] ,那么对每一个 θ

f θ ( z ) = h ( z ) + e i ( θ θ 0 ) g ( z )

由( [7] 定理3.1),可得在 | z | < 1 2 中有 Re ( e i θ 0 h n ( z ) + e i θ g n ( z ) ) > 0 ,这就蕴含了

Re e i θ 0 h n ( z ) > | g n ( z ) | ,

所以 f n | z | < 1 2 中就是接近凸的。

5. 极值性质

θ 0 = [ 0 , 2 π ] H θ 0 = { f H : Re e i θ 0 h ( z ) > | g ( z ) | }

定理5.1 设 0 < r < 1 θ 0 [ 0 , 2 π ] | z | < r H θ 0 中函数的象域面积的最大值由解析函数 f 0 ( z ) = z 2 log ( 1 z ) 取得。

证明:假设 f = h + g ¯ H 0 < r < 1 ,那么 h 。设 A r ( f ) ( A r ( f ) , A r ( f 0 ) )分别是 | z | < r 在f (或h,或 f 0 )下的象。由( [7] 定理5.1)的证明,我们有

A r ( f ) = D J f ( z ) d x d y = D ( | h ( z ) | 2 | g ( z ) | 2 ) d x d y D | h ( z ) | 2 d x d y = A r ( h ) A r ( f θ 0 ) A r ( f 0 ) .

定理证毕。

6. 幂级数展开式中除首项外前有限项系数为零的调和映射

定理6.1 设 f ( z ) = h ( z ) + g ( z ) ¯ = z + k = n a k z k + k = n b k ¯ z ¯ k H ,且对应的旋转角 θ 0 [ 0 , 2 π ] ,那么

| h ( z ) | + | g ( z ) | cos θ 0 1 + | z | k 1 1 | z | k 1 + | sin θ 0 | ,

Re e i θ 0 h ( z ) cos θ 0 1 | z | k 1 1 + | z | k 1 + | g ( z ) | ,

| h ( z ) | + | g ( z ) | 0 | z | ( cos θ 0 1 + t k 1 1 t k 1 + | sin θ 0 | ) d t (2)

| | h ( z ) | | g ( z ) | | 0 | z | cos θ 0 1 t k 1 1 + t k 1 d t . (3)

证明:假设 f = h + g ¯ H ,且对应的旋转角 θ 0 [ 0 , 2 π ] ,那么对于任意的 θ Re e i θ 0 ( h ( z ) + e i ( θ θ 0 ) g ( z ) ) > 0 。由( [7] 定理5.1),定理得证。

应用定理6.1,对H中满足 a 2 = b 2 = 0 的调和映射,从(2)和(3)可得

cos θ 0 [ | z | + 2 arctan | z | ] | f ( z ) | cos θ 0 [ | z | + log ( 1 + | z | ) / ( 1 | z | ) ] + | sin θ 0 | | z | .

由上式的下确界可得如下结果。

推论6.1 如果 f = h + g ¯ H ,对应的旋转角 θ 0 [ 0 , 2 π ] ,且满足 h ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 ,那么其象域覆盖圆盘 | ω | < ( π / 2 1 ) cos θ 0

下面这个结果是定理5.1和( [7] 定理5.2)的推广。

定理6.2 设 0 < r < 1 θ 0 [ 0 , 2 π ] | z | < r H θ 0 中函数映射下的象域的面积最大值由 f 0 ( z ) 取到。函数 f k , θ 0 ( z ) = e i θ 0 { 0 z [ ( ( 1 + σ k 1 ) / ( 1 σ k 1 ) ) cos θ 0 + i sin θ 0 ] d σ } 取到 | z | = r H θ 0 中函数的映射下象的长

度的最大值。

基金项目

本论文由河北省自然科学基金(No. A2018201033)支持。

NOTES

*第一作者。

参考文献

[1] Duren, P. (2004) Harmonic Mappings in the Plane. Cambridge University Press, Cambridge, 20.
https://doi.org/10.1017/CBO9780511546600
[2] Lewy, H. (1936) On the Non-Vanishing of the Jacobian in Certain One-to-One Mappings. Bulletin of the American Mathematical Society, 42, 689-692.
https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1936-06397-4
[3] Duren, P. (1982) Univalent Functions. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo, 47.
[4] Alexander, J.W. (1915) Functions Which Map the Interior of the Unit Circle upon Simple Regions. Annals of Mathematics, 17, 12-22.
https://doi.org/10.2307/2007212
[5] Noshiro, K. (1934) On the Theory of Schlicht Functions. Journal of Faculty of Science, Hokkaido Imperial University. Series I. Mathematics, 2, 129-155.
https://doi.org/10.14492/hokmj/1531209828
[6] Warschawski, S. (1935) On the Higher Derivatives at the Boundary in Con-formal Mappings. Transactions of the American Mathematical Society, 38, 310-340.
https://doi.org/10.2307/1989685
[7] 乔金静, 黄苗苗, 郭倩南. 一类接近凸解析函数的性质[J]. 河北大学学报自然科学版, 2018, 38(6): 567-571.