理论数学  >> Vol. 9 No. 8 (October 2019)

关于∞ / ∞未定式L’Hospital法则的一个注记
A Note on L’Hospital Rule of Indeterminate Form ∞ / ∞

DOI: 10.12677/PM.2019.98119, PDF, HTML, XML, 下载: 334  浏览: 1,726 

作者: 刘 丹, 王丽英, 毛 凯:海军航空大学,山东 烟台

关键词: ∞ / ∞未定式L’Hospital法则∗ / ∞未定式广义L’Hospital法则Indeterminate Form ∞ / ∞ L’Hospital Rule Indeterminate Form ∗ / ∞ Generalized L’Hospital Rule

摘要: L’Hospital法则是求解极限问题中未定式的一种经典而有效的方法。本文从未定式常见类型∞ / ∞出发,研究了一类拓展型未定式∗ / ∞,在一定条件下将L’Hospital法则进行了推广,给出了广义L’Hospital法则。
Abstract: L’Hospital rule is a classical and effective method to solve indeterminate form in limit problem. This paper studies a class of extended indeterminate form ∗ / ∞ based on common indeterminate form ∞ / ∞, generalizes L’Hospital rule under certain conditions and obtains generalized L’Hospital rule.

文章引用: 刘丹, 王丽英, 毛凯. 关于∞ / ∞未定式L’Hospital法则的一个注记[J]. 理论数学, 2019, 9(8): 922-927. https://doi.org/10.12677/PM.2019.98119

1. 引言

函数之比求极限是一类典型且常见的极限问题,通常利用商的极限运算法则可以计算一般情形下的

极限。而对于分子、分母不趋于有限值的情形,该法则不适用。如对于 未定式,便不能直接用“商的

极限等于极限的商”这一简单法则来计算。此类未定式的一种简便有效的计算方法是L’Hospital法则。

例如,极限过程 x a 下的 未定式的L’Hospital法则为

引理(L’Hospital法则) 设

(1) 当 x a 时,函数 f ( x ) g ( x ) 均趋于无穷大;

(2) 在点a的某去心邻域内, f ( x ) g ( x ) 都存在且 g ( x ) 0

(3) lim x a f ( x ) g ( x ) 存在(或为无穷大),

lim x a f ( x ) g ( x ) = lim x a f ( x ) g ( x )

该法则对其它极限过程 x a , x a + , x , x , x + 均适用。

这种在一定条件下通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法,称为L’Hospital法则。引理的一个关键性条件是要求分子、分母均趋于无穷大,这使得L’Hospital法则在使用时具有一定的局限性。考察以下引例:

引例已知函数 f ( x ) [ 0 , + ) 内连续且 lim x + f ( x ) = 1 ,求 lim x + 0 x e t f ( t ) d t e x

这是一个典型的 未定式求极限的问题,求解的主要思路是利用L’Hospital法则。

解法一 由 lim x + f ( x ) = 1 知,存在 X 0 > 0 ,当 x > X 0 时,有 f ( x ) > 1 2 ,故

0 x e t f ( t ) d t = 0 X 0 e t f ( t ) d t + X 0 x e t f ( t ) d t 0 X 0 e t f ( t ) d t + X 0 x 1 2 e X 0 d t = 0 X 0 e t f ( t ) d t + 1 2 e X 0 ( x X 0 )

从而 lim x + 0 x e t f ( t ) d t = + 。由L’Hospital法则得

lim x + 0 x e t f ( t ) d t e x = lim x + e x f ( x ) e x = lim x + f ( x ) = 1

上述求解过程较为繁琐,原因在于为使用L’Hospital法则,应先明确所求极限为 未定式,即证明

分子趋于无穷大。该事实看似显然,但其论证方法并不直接,往往不容易想到。

事实上,若仅分母趋于无穷大,不考虑分子的变化趋势(此时将 lim f ( x ) g ( x ) 记作 未定式),在一定条件下仍可通过分子、分母分别求导以求极限,即L’Hospital法则可进一步推广,得到 未定式的广义

L’Hospital法则 [1] 。

2. 未定式的广义L’Hospital法则

以下定理仅以极限过程 x a + 为例,其它过程结论类似。

定理1 (广义L’Hospital法则) 设 f ( x ) g ( x ) ( a , b ) 上均可导(其中 a < b + )且满足:(1)

g ( x ) 0 , x ( a , b ) ;(2) lim x a + g ( x ) = + ;(3) lim x a + f ( x ) g ( x ) = A (A为有限数或 , + ),则

lim x a + f ( x ) g ( x ) = lim x a + f ( x ) g ( x )

证明 (i) 当A为有限数时。

(证法一) 由 lim x a + f ( x ) g ( x ) = A ,则对 ε > 0 , δ > 0 ,使得当 x ( a , a + δ ) 时,有

| f ( x ) g ( x ) A | < ε

A ε < f ( x ) g ( x ) < A + ε

现任取 x 0 , x ( a , a + δ ) x 0 < x ,由Cauchy中值定理, ξ ( x 0 , x ) ( a , a + δ ) 使得

f ( x ) f ( x 0 ) g ( x ) g ( x 0 ) = f ( ξ ) g ( ξ ) (1)

进一步地,由条件(1)、(2),不妨设 g ( x ) > 0 , x ( a , b ) ,则必有 g ( x ) ( a , b ) 内恒大于零,此时由(1)式得 [2]

A ε < f ( x ) g ( x ) f ( x 0 ) g ( x ) 1 g ( x 0 ) g ( x ) = f ( ξ ) g ( ξ ) < A + ε

从而

( A ε ) ( 1 g ( x 0 ) g ( x ) ) + f ( x 0 ) g ( x ) < f ( x ) g ( x ) < ( A + ε ) ( 1 g ( x 0 ) g ( x ) ) + f ( x 0 ) g ( x ) (2)

又由 lim x a + g ( x ) = + ,(2)式两边同时取上下极限得

A ε lim _ x a + f ( x ) g ( x ) lim ¯ x a + f ( x ) g ( x ) A + ε

再令 ε 0 + ,得

A lim _ x a + f ( x ) g ( x ) lim ¯ x a + f ( x ) g ( x ) A

lim x a + f ( x ) g ( x ) = A ,即

lim x a + f ( x ) g ( x ) = lim x a + f ( x ) g ( x )

(证法二) 由 lim x a + f ( x ) g ( x ) = A ,则对 ε > 0 , δ > 0 ,使得当 x ( a , a + δ ) 时,有

| f ( x ) g ( x ) A | < ε

A ε < f ( x ) g ( x ) < A + ε

现任取 x 0 , x ( a , a + δ ) x 0 < x ,则由Cauchy中值定理, ξ ( x 0 , x ) ( a , a + δ ) 使得

f ( x ) f ( x 0 ) g ( x ) g ( x 0 ) = f ( ξ ) g ( ξ )

从而

A ε < f ( x ) f ( x 0 ) g ( x ) g ( x 0 ) < A + ε

f ( x ) g ( x ) A = ( 1 g ( x 0 ) g ( x ) ) ( f ( x ) f ( x 0 ) g ( x ) g ( x 0 ) A ) + f ( x 0 ) A g ( x 0 ) g ( x )

| f ( x ) g ( x ) A | | 1 g ( x 0 ) g ( x ) | | f ( x ) f ( x 0 ) g ( x ) g ( x 0 ) A | + | f ( x 0 ) A g ( x 0 ) g ( x ) | < ε + ε = 2 ε

lim x a + f ( x ) g ( x ) = A ,从而 lim x a + f ( x ) g ( x ) = lim x a + f ( x ) g ( x )

(ii) 当A为 + 时。

lim x a + f ( x ) g ( x ) = + ,则对 δ > 0 ,使得当 x ( a , a + δ ) 时,有 f ( x ) g ( x ) > 3 M ,进一步地,

x 0 , x ( a , a + δ ) x 0 < x ,由Cauchy中值定理, ξ ( x 0 , x ) ( a , a + δ ) 使得 [3]

f ( x ) f ( x 0 ) g ( x ) g ( x 0 ) = f ( ξ ) g ( ξ ) > 3 M

此外,由 lim x a + g ( x ) = + 易知 lim x a + g ( x 0 ) g ( x ) = 0 lim x a + f ( x 0 ) g ( x ) = 0 。从而由极限定义得

g ( x 0 ) g ( x ) < 1 2 f ( x 0 ) g ( x ) > 1 2 M x ( a , a + δ )

f ( x ) g ( x ) = g ( x ) g ( x 0 ) g ( x ) f ( x ) f ( x 0 ) g ( x ) g ( x 0 ) + f ( x 0 ) g ( x ) > 1 2 3 M 1 2 M = M

lim x a + f ( x ) g ( x ) = + ,从而 lim x a + f ( x ) g ( x ) = lim x a + f ( x ) g ( x )

(iii) 当A为 时。

f 1 ( x ) = f ( x ) 。由 lim x a + f ( x ) g ( x ) = lim x a + f 1 ( x ) g ( x ) = + 。进一步地,由(ii)之结论可得 lim x a + f 1 ( x ) g ( x ) = + ,即 lim x a + f ( x ) g ( x ) = + ,故 lim x a + f ( x ) g ( x ) = 。从而 lim x a + f ( x ) g ( x ) = lim x a + f ( x ) g ( x )

综合(i) (ii) (iii),定理得证。

3. 结论

利用 未定式的广义L’Hospital法则,引例的解法可进行改进:

解法二 由 未定式的广义L’Hospital法则得

lim x + 0 x e t f ( t ) d t e x = lim x + e x f ( x ) e x = 1

显然,解法二比解法一简便得多。因本例满足 未定式广义L’Hospital法则的条件,从而不必论证

分子的变化趋势,只要分母趋于无穷大即可。这就省去了解法一中繁杂且不易实现的分子趋于无穷大的证明环节。

本文给出的广义L’Hospital法则并不要求分子趋于无穷大,而只要分母趋于无穷大即可。这在一定

程度上拓宽了原有 未定式L’Hospital法则的适用范围,使得通过分子、分母求导以求极限这一简便方

法能够应用于更多看似复杂而又难以入手的极限问题。

参考文献

[1] 杜其奎, 陈金如, 谢四清, 徐晓立. 数学分析精读讲义(上册) [M]. 北京: 科学出版社, 2012: 162-163.
[2] 刘三阳, 李广民. 数学分析十讲[M]. 北京: 科学出版社, 2011: 20-23.
[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 228-230.