基于Sierpinski分形上的多分辨分析

A Multiresolution Analysis Based on Sierpinski Fractal

摘要: 根据经典的由迭代仿射函数系统产生的分形的扩张和平移所生成的σ有限测度空间上的多分辨分析的概念，本文讨论了基于Sierpinski垫上的多分辨分析，通过定义酉扩张算子D和酉算子T，并结合分形几何中的测度知识证明了基于Sierpinski垫的膨胀分形集上的多分辨分析。

Abstract: According to the classic theory, the notion of multiresolution analysis based on σ-finite measure spaces built from dilations and translations on a fractal arising from an iterated affine function system. A multiresolution analysis based on Sierpinski gasket is discussed in this paper. By defining unitary dilation operator D and unitary operator T, and combining the measure knowledge in fractal geometry, the multiresolution analysis on the inflated fractal set based on Sierpinski gasket is proved.

1. 引言

随着科学研究的推进，小波理论体系不仅可以定义在实数域上，还可以定义在其他域上，比如阿贝尔群、分层树、一些分形集等 [1] [2] [3] [4]。

近年来，小波与分形的结合已经成为科学研究的热点问题。小波分析技术可以有效地揭示分形局域标度性质，小波分析还具有放大和移位的功能，它是从远处到近处观察形体，这与分形的本质是尺度变化相类似。Mallat和Meyer建立的多分辨分析(Multi-Resolution Analysis, MRA)为小波分析奠定了基础，多分辨分析与分形之间也有一定的联系。多分辨分析是从远到近观察形体，先观察其轮廓，再观察其线条，进一步观察物体的细节纹理，这体现了从低分辨到高分辨的思想，对具有自相似性质的分形的观察也是这样，通过从大到小的不同尺度变换，在越来越小的尺度上观察越来越丰富的细节，这也是从低分辨到高分辨的观察过程。

多分辨分析是由S. Mallat引入的。他在空间概念上形象的说明了小波的多分辨特性。1989年，Mallat在探究小波变换多分辨分析理论与图像处理的应用时，受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨分析分解与重构的快速算法，即著名的Mallat算法。MRA形成了构造正交小波基的一个框架，比如常用的Daubechies紧支撑正交小波基可以看作是该框架下的产物 [5]。

D. Dutkay和P. Jorgensen介绍了由迭代仿射函数系统产生的分形的扩张和平移所生成的 $\sigma$ 有限测度空间上的多分辨分析的概念 [6]，但主要是基于一维分形集的情形，比如一维康托尔集上的多分辨分析。本文讨论了基于Sierpinski垫上的多分辨分析，证明了基于Sierpinski垫的膨胀分形集上的多分辨分析，丰富了多分辨分析的内涵。

2. 预备知识

在本文中，用R表示实数集合，Z表示所有整数集合， $ℂ$ 表示复数空间。下面先讨论多分辨分析的定义。

定义1 [6] 空间 $L^2\left(R\right)$ 中一列闭子空间 ${\left\{V_j\right\}}_{j\in Z}$ 称为 $L^2\left(R\right)$ 的一个依尺度函数 $\phi$ 的多分辨分析，如果该序列满足下列条件：

(1) 嵌套性： $V_j\subseteq V_{j+1},\forall j\in Z$

(2) 逼近性： ${\displaystyle {\cap }_{j\in Z}{V}_j}=\left\{0\right\}$， $\overline{{\displaystyle {\cup }_{j\in Z}{V}_j}}=L^2(R)$

(3) 伸缩性： $f\left(x\right)\in V_j\iff f\left(2x\right)\in V_{j+1},\forall j\in Z$

(4) 平移不变性： $f\left(x\right)\in V_0\iff f\left(x-k\right)\in V_0,\forall k\in Z$

(5) Riesz基存在性：

存在函数 $\phi \in V_0$，使得 ${\left\{\phi \left(x-k\right)\right\}}_{k\in Z}$ 构成 $V_0$ 的一个Riesz基，即函数序列 ${\left\{\phi \left(x-k\right)\right\}}_{k\in Z}$ 线性无关，且存在常数A和B，满足 $0<A\le B<+\infty$，使得对任意的 $f\left(x\right)\in V_0$，总存在序列 ${\left\{c_k\right\}}_{k\in Z}\in l^2$ 使得

$f\left(x\right)={\displaystyle {\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\phi \left(x-k\right)}$ 且 $A{\Vert f\Vert }_2^2\le {\displaystyle {\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{\left|c_k\right|}^2}\le B{\Vert f\Vert }_2^2$，则称 $\phi$ 为尺度函数，并称 $\phi$ 生成 $L^2\left(R\right)$ 的一个多

分辨分析 ${\left\{V_j\right\}}_{j\in Z}$。

特别地，若 ${\left\{\phi \left(x-k\right)\right\}}_{k\in Z}$ 构成 $V_0$ 的一个标准正交基，则称 $\phi$ 为正交尺度函数；相应地，称 $\phi$ 生成 $L^2\left(R\right)$ 的一个正交多分辨分析 ${\left\{V_j\right\}}_{j\in Z}$。

由一维多分辨分析的张量积空间构造二维多分辨分析，我们给出如下定义：

定义2 [7] [8]

1. 用 $L^2\left(R^2\right)$ 表示平面上的平方可积函数空间，即

$f\left(x,y\right)\in L^2\left(R^2\right)\iff \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{{\displaystyle \int }}}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{{\displaystyle \int }}}{\left|f\left(x,y\right)\right|}^2\text{d}x\text{d}y<\infty$

设 $\left\{V_j^1\right\}$ 和 $\left\{V_j^2\right\}$ 是由尺度函数 ${\phi }^1\left(x\right)$ 和 ${\phi }^2\left(y\right)$ 生成的两个多分辨分析，则可以得到 $V_j^1$ 和 $V_j^2$ 的张量积

空间 $V_j=V_j^1\otimes V_j^2$。由于 $V_j^1$ 的基底为 $\left\{2^{j/2}{\phi }^1\left(2^{j}x-k\right)\right\}$， $V_j^2$ 的基底为 $\left\{2^{j/2}{\phi }^2\left(2^{j}y-l\right)\right\}$，所以 $V_j$ 的基底为

$\left\{2^j{\phi }^1\left(2^{j}x-k\right){\phi }^2\left(2^{j}y-l\right)\right\}$。对于二元函数 ，引入记号 $f_{j;k,l}\left(x,y\right)=2^{j}f\left(2^{j}x-k,2^{j}y-l\right)$，记 $\phi \left(x,y\right)={\phi }^1\left(x\right){\phi }^2\left(y\right)$，则 $\left\{{\phi }_{j;k,l}\left(x,y\right):k,l\in Z\right\}$ 是 $V_j$ 的基底。

这样， $\left\{V_j\right\}$ 就形成 $L^2\left(R^2\right)$ 中的一个多分辨分析， 就是相应的尺度函数。

2. 在 $L^2\left(R^2\right)$ 函数空间的一串子空间序列集合 ${\left\{V_j\right\}}_{j\in Z}$ 称为依尺度函数 $\phi \left(x,y\right)$ 的多分辨分析：

(1) 嵌套性： $V_j\left(x,y\right)\subseteq V_{j+1}\left(x,y\right),\forall j\in Z$

(2) 逼近性： ${\displaystyle {\cap }_{j\in Z}{V}_j\left(x,y\right)}=\left\{0\right\}$， ${\displaystyle {\cup }_{j\in Z}{V}_j\left(x,y\right)}=L^2(R2)$

(3) 伸缩性： $f\left(x,y\right)\in V_j\left(x,y\right)\iff f\left(2x,2y\right)\in V_{j+1}\left(x,y\right),\forall j\in Z$

(4) 平移不变性： $f\left(x,y\right)\in V_0\left(x,y\right)\iff f\left(x-k,y-l\right)\in V_0\left(x,y\right),\forall k,l\in Z$

(5) 规范正交基： $\phi \left(x,y\right)={\phi }^1\left(x\right){\phi }^2\left(y\right)\in V_0\left(x,y\right)$，是 $V_0\left(x,y\right)$ 的一组标准正交基。

令 $W_j$ 是 $V_j$ 在 $V_{j+1}$ 中的正交补空间， $\left\{{\psi }_{j;k,l}\left(x,y\right)=2^j\psi \left(2^{j}x-k,2^{j}y-l\right)\right\}$ 构成 $W_j$ 的基底，则由多分辨分析可以得到两个结果：

$V_{j+1}=V_j\oplus W_j$

$L^2\left(R^2\right)=V_0\oplus W_0\oplus W_1\oplus W_2\oplus \cdots$

3. Sierpinski垫上的多分辨分析

给定平面 $R^2$ 上的一个单位正三角形 $S_0$，在每边上取中点，然后两两连结，构成四个边长为1/2的正三角形，把中间的三角形去掉(但是保留其三条边)，得到集合 $S_1$ (见图1)，然后在 $S_1$ 的三个三角形的每边取中点，分别连结成边长为1/2²的小正三角形，又分别去掉中间一个(同样保留每个三角形的三边)，剩下一共有3²个三角形。如此不断继续下去，得到一个平面集列：可见 $S_k$ 是由 $3^k$ 个边长为1/2^k的正三角形组成。 $\left\{S_k\right\}$ 的极限集 $S={\displaystyle {\cap }_{k=0}^{\infty }{S}_k}$ 称为Sierpinski (谢尔宾斯基)垫片，它是一个著名的分形集 [9] [10]。

$S_k$ 的总面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{3}{4}\right)}^k$，所以当 $k\to \infty$ 时，S的面积等于如下极限： ${\lim }_{k\to \infty }\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{3}{4}\right)}^k=0$。

我们将原三角形 $S_0$ 视为 $L^2\left(R^2\right)$ 空间中的子空间 $V_0$，把每次去掉的部分子空间记为 $W_k$，将余下的部分记为 $V_k$ (如图2)。

容易看出任意两个不同区域的交集是空集，表示它们的特征函数(该区域的元素集合) $C_V\left(x\right)$ 与 $C_W\left(x\right)$ 彼此正交，简记为 $C_V\left(x\right):=V,C_W\left(x\right):=W$，则有 $V_1\cap W_1=\left\{0\right\}$， $V_2\cap W_2\cap W_1=\left\{0\right\}$， $V_N\cap W_N\cap W_{N-1}\cap \cdots \cap W_1=0$。

S₀ S₁S₂S₃S

Figure 1. Establishment of Sierpinski gasket

图1. Sierpinski垫的形成过程

Figure 2. MRA of Sierpinski gasket

图2. Sierpinski垫上的多分辨分析

我们发现 $V_k$ 与 $W_k$ 互不相交，说明分别定义在 $V_k$ 与 $W_k$ 上面的特征函数彼此正交，对于不同的子空间 $W_k$ 与，它们之间彼此正交，即定义在它们上面的特征函数彼此正交。然而对于不同的子空间 $V_k$ 与 $V_l$，并不是正交的，我们有 $V_0=V_1\oplus W_1$， $W_1$ 是 $V_1$ 在 $V_0$ 中的正交补空间，依此类推， $V_1=V_2\oplus W_2$， $V_2=V_3\oplus W_3$，因此，

在V上定义尺度函数 $\phi \left(x,y\right)$，W上定义小波函数 $\psi \left(x,y\right)$。将 $V_k$ 上的基函数 ${\phi }_{m,n}\left(x,y\right)$ 和 $W_k$ 上的基函数 ${\psi }_{m,n}\left(x,y\right)$ 结合起来展开空间中的信号 $f\left(x,y\right)$， $L^2\left(R^2\right)$ 空间的正交分解为 $V_0=V_1\oplus W_1=V_2\oplus W_2\oplus W_1=\cdots =V_N\oplus \left({\oplus }_{k=1}^N{W}_k\right)$。相应的信号 $f\left(x,y\right)$ 的分解过程为

$\begin{array}{c}{f}^0\left(x,y\right)=f^1\left(x,y\right)+d^1\left(x,y\right)=f^2\left(x,y\right)+d^2\left(x,y\right)+d^1\left(x,y\right)\\ =f^3\left(x,y\right)+d^3\left(x,y\right)+d^2\left(x,y\right)+d^1\left(x,y\right)=\cdots \\ =f^N\left(x,y\right)+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{N}{\sum }}{d}^k\left(x,y\right)}\end{array}$

我们对 空间赋予多分辨分析的几何特征，将多分辨分析这一抽象的数学定义与实用信号结合起来。

4. 基于Sierpinski垫的膨胀分形集上的多分辨分析

4.1. 定义直角三角形Sierpinski垫

特别地，我们旨在于研究直角三角形Sierpinski垫。

在 $R^2$ 上构建一个直角三角形 $S_0$，顶点分别是 $\left(0,0\right),\left(0,1\right),\left(1,0\right)$ .设对角扩张矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$，令

$S_1=\left[A^{-1}\left(S_0+{\tau }_0\right)\right]\cup \left[A^{-1}\left(S_0+{\tau }_1\right)\right]\cup \left[A^{-1}\left(S_0+{\tau }_2\right)\right]$

其中， ${\tau }_0=\left(0,0\right),{\tau }_1=\left(1,0\right),{\tau }_2=\left(0,1\right)$，则

$S_2=\left[A^{-1}\left(S_1+{\tau }_0\right)\right]\cup \left[A^{-1}\left(S_1+{\tau }_1\right)\right]\cup \left[A^{-1}\left(S_1+{\tau }_2\right)\right]$

继续归纳下去，有

$S_{n+1}=\left[A^{-1}\left(S_n+{\tau }_0\right)\right]\cup \left[A^{-1}\left(S_n+{\tau }_1\right)\right]\cup \left[A^{-1}\left(S_n+{\tau }_2\right)\right]$

因此，我们可以得到 $R^2$ 上的紧子集的一个嵌套序列 ${\left\{S_n\right\}}_{n=0}^{\infty }$。

然后，定义Sierpinski垫分形 $S={\displaystyle {\cap }_{n=0}^{\infty }{S}_n}$ (见图3)，这个Sierpinski垫S满足自相似关系

$A\left(S\right)=S\cup \left[S+\left(1,0\right)\right]\cup \left[S+\left(0,1\right)\right]$

Figure 3. S

图3. S

我们知道S的Hausdorff维数是 $s=\frac{\log 3}{\log 2}$，记 ${\mathcal{H}}^s\left(S\right)$ 表示在S上的s维Hausdorff测度，简记为 $\mathcal{H}$，则 。更一般地，如果E是S的一个Borel子集，则 $\mathcal{H}\left(A^{-1}\left(E\right)\right)=\frac{1}{3}\mathcal{H}\left(E\right)$。

4.2. 基于Sierpinski垫的膨胀分形集上的多分辨分析

定义一个与Sierpinski垫S有关的一个膨胀分形集

${\mathcal{R}}_s={\displaystyle \underset{j=-\infty }{\overset{\infty }{\cup }}{\displaystyle \underset{\left(m,n\right)\in Z^2}{\cup }\left[A^j\left(S+\left(m,n\right)\right)\right]}}$

对于 ${\mathcal{R}}_s$ 的每一个Borel子集E，测度满足

$\mathcal{H}\left(A^{-1}\left(E\right)\right)=\frac{1}{3}\mathcal{H}(E)$

.

在Hilbert空间 $L^2\left({\mathcal{R}}_s,\mathcal{H}\right)$ 上，构建酉扩张算子D和酉算子T，定义如下：

(1)

$T_{\left(m,n\right)}f\left(s,t\right)=f\left(s-m,t-n\right)$ . (2)

这些算子满足一个标准的交换关系：

定理1

设D和 $\left\{T_{\left(m,n\right)}:\left(m,n\right)\in Z^2\right\}$ 是上述定义的酉算子，则

证明：由(1)式和(2)式可得：

$\begin{array}{c}{T}_{\left(m,n\right)}D\left(f\right)\left(s,t\right)=\sqrt{3}{T}_{\left(m,n\right)}f\left(2s,2t\right)=\sqrt{3}f\left(2s-2m,2t-2n\right)\\ =\sqrt{3}{T}_{\left(2m,2n\right)}f\left(2s,2t\right)=D{T}_{\left(2m,2n\right)}f\left(s,t\right)\end{array}$

所以 $T_{\left(m,n\right)}D=D{T}_{\left(2m,2n\right)},\forall \left(m,n\right)\in Z^2$

现在构建一个 $L^2\left({\mathcal{R}}_s,\mathcal{H}\right)$ 上的多分辨分析。定义一个闭子空间 $V_0\subset L^2\left({\mathcal{R}}_s,\mathcal{H}\right)$，

$V_0=\overline{span}\left\{T_{\left(m,n\right)}\left({\mathcal{X}}_S\right):\left(m,n\right)\in Z^2\right\}$ ,

其中 ${\mathcal{X}}_S$ 是Sierpinski垫三角形上的特征函数(对应标准多分辨分析中的尺度函数)。Sierpinski垫S满足自相似关系

$A\left(S\right)=S\cup \left[S+\left(1,0\right)\right]\cup \left[S+\left(0,1\right)\right]$

在测度为0的集合上，上述的并集是互相非交的并集，且它的特征函数 ${\mathcal{X}}_S$ 满足扩张方程

${\mathcal{X}}_S\left(A^{-1}\left(s,t\right)\right)={\mathcal{X}}_S\left(s,t\right)+{\mathcal{X}}_S\left(s-1,t\right)+{\mathcal{X}}_S\left(s,t-1\right)$

通过构造， $V_0$ 在算子 $\left\{T_{\left(m,n\right)}:\left(m,n\right)\in Z^2\right\}$ 下是不变量。对于每个 $j\in Z$，定义

$V_j=D^j(V0)$

可以看出

$\begin{array}{l}{V}_1=D{V}_0=D\left(\overline{span}\left\{T_{\left(m,n\right)}\left({\mathcal{X}}_S\right):\left(m,n\right)\in Z^2\right\}\right)\\ =\overline{span}\left\{D{T}_{\left(m,n\right)}\left({\mathcal{X}}_S\right):\left(m,n\right)\in Z^2\right\}\\ =\overline{span}\left\{T_{\left(m/2,n/2\right)}D\left({\mathcal{X}}_S\right):\left(m,n\right)\in Z^2\right\}\end{array}$

因此， $V_0\subseteq D\left(V_0\right)=V_1$。由此看出，闭子空间 ${\left\{V_j\right\}}_{j=-\infty }^{\infty }$ 形成了 $L^2\left({\mathcal{R}}_s,\mathcal{H}\right)$ 的闭空间的一个递增的嵌套序列。

下面证明子空间 ${\left\{V_j\right\}}_{j=-\infty }^{\infty }$ 形成一个多分辨分析

定理2

设 ${\left\{V_j\right\}}_{j=-\infty }^{\infty }$ 是上述构造的 $L^2\left({\mathcal{R}}_s,\mathcal{H}\right)$ 的子空间，设D， 是定理1中的酉算子，则有

(1)

(2) $\langle T_{\left(m,n\right)}\left({\mathcal{X}}_S\right),{\mathcal{X}}_S\rangle ={\delta }_{\left(m,n\right),\left(0,0\right)},\left(m,n\right)\in Z^2$

(3) $\overline{{\displaystyle {\cup }_{j=-\infty }^{\infty }{V}_j}}=L^2\left({\mathcal{R}}_s,\mathcal{H}\right)$

(4) ${\displaystyle {\cap }_{j=-\infty }^{\infty }{V}_j}=\left\{0\right\}$

证明：

(1) 由Sierpinski垫S的自相似关系和对应的扩张方程可知，因为

$\begin{array}{c}{\mathcal{X}}_S\left(A^{-1}\left(s,t\right)\right)={\mathcal{X}}_S\left(s,t\right)+{\mathcal{X}}_S\left(s-1,t\right)+{\mathcal{X}}_S\left(s,t-1\right)\\ ={\mathcal{X}}_S\left(s,t\right)+T_{\left(1,0\right)}\left({\mathcal{X}}_S\left(s,t\right)\right)+T_{\left(0,1\right)}\left({\mathcal{X}}_S\left(s,t\right)\right)\end{array}$

又因为

$D\left(f\right)\left(s,t\right)=\sqrt{3}f\left(2s,2t\right)$

$D^{-1}\left(\sqrt{3}f\left(2s,2t\right)\right)=f\left(s,t\right)$

则

$D^{-1}\left(\sqrt{3}{\mathcal{X}}_S\left(2s,2t\right)\right)={\mathcal{X}}_S\left(s,t\right)$

$D^{-1}\left(\sqrt{3}{\mathcal{X}}_S\left(s,t\right)\right)={\mathcal{X}}_S\left(2^{-1}s,2^{-1}t\right)$

所以

即

$D^{-1}\left({\mathcal{X}}_S\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[{\mathcal{X}}_S+T_{\left(1,0\right)}\left({\mathcal{X}}_S\right)+T_{\left(0,1\right)}\left({\mathcal{X}}_S\right)\right]$

(2) 因为

$T_{\left(m,n\right)}\left({\mathcal{X}}_S\left(s,t\right)\right)={\mathcal{X}}_S\left(s-m,t-n\right)$

所以

$\langle T_{\left(m,n\right)}\left({\mathcal{X}}_S\right),{\mathcal{X}}_S\rangle =\langle {\mathcal{X}}_S\left(s-m,t-n\right),{\mathcal{X}}_S\rangle ={\delta }_{\left(m,n\right),\left(0,0\right)}$

(3) 我们将证明对于任意Hausdorff可测子集 $E\subset {\mathcal{R}}_s$，其中 $\mathcal{H}\left(E\right)<\infty$，则 ${\mathcal{X}}_E$ 含于的闭包中。

因为 ${\mathcal{R}}_s={\displaystyle {\cup }_{j=-\infty }^{\infty }{\displaystyle {\cup }_{\left(m,n\right)\in Z^2}\left[A^j\left(S+\left(m,n\right)\right)\right]}}$，我们可以写一个集合 $E={\displaystyle \cup E_{\left(j,m,n\right)}}$，其中

$E_{\left(j,m,n\right)}=E\cap \left[A^j\left(S+\left(m,n\right)\right)\right]$。

容易证明，每个集合 $E_{\left(j,m,n\right)}$ 的特征函数含于 $\text{span}\left\{D^j{T}_{\left(m,n\right)}\left({\mathcal{X}}_S\right)|j,m,n\in Z\right\}$ 的闭包。因此，通过扩张和平移，不失一般性，我们可以假定任意可测集 $E\subset S$。

设 $\mathcal{V}$ 是S中所有子三角形的左下顶点的集合，对于每一个 $\left\{\stackrel{\to }{v}\right\}\in \mathcal{V}$，有一个递减的交集： $\left\{\stackrel{\to }{v}\right\}={\displaystyle {\cap }_{n=1}^{\infty }{T}_n}$，

其中 $T_n$ 是S的一个平移的n次扩张。我们可以得到 $\mathcal{H}\left(\left\{\stackrel{\to }{v}\right\}\right)={\lim }_{n\to \infty }\mathcal{H}\left(T_n\right)={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{3^n}=0$。由测度的次

可数可加性得， $\mathcal{H}\left(\mathcal{V}\right)=0$。

令 $S^{\prime }=S\sim \mathcal{V}$，则 $\mathcal{H}\left(S^{\prime }\right)=\mathcal{H}\left(S\right)=1$。因为S是一个度量空间，所以 $S^{\prime }$ 也是，尽管 $S^{\prime }$ 不再是闭的。

因此，不失一般性，我们假定 $E\subset S^{\prime }$，令

$\mathcal{T}$ 是由 $S^{\prime }$ 的子Sierpinski垫组成的，它是 $S^{\prime }$ 的子集的一个半代数，也就是说， $\mathcal{T}$ 中元素的有限非交的并形成了 $S^{\prime }$ 子集的一个代数。我们用 $\mathcal{A}$ 表示这个代数，在 $\mathcal{A}$ 上作用一个Hausdorff测度，得到一个 $\mathcal{A}$ 上的集值函数，记为 $u^{*}$，它满足Caratheodory扩张定理的条件。因此， $u^{*}$ 可以延伸为 $S^{\prime }$ 的所有子集的一个外测度， $u^{*}$ 与代数 $\mathcal{A}$ 上的Hausdorff测度 $\mathcal{H}$ 一致。因此， $u^{*}$ 决定了可测集上的一个 $\sigma$ 代数 $\mathcal{M}$，这个可测集含有包含 $\mathcal{A}$ 的最小的 $\sigma$ 代数 $\mathcal{B}$。如果将外测度 $u^{*}$ 限制到 $\mathcal{M}$ 上，则变成测度，记为u，显然 $\left(X,\mathcal{M},u\right)$ 是一个完备的测度空间。而且，因为 是有限的，由Caratheodory扩张定理可知，将 $\mathcal{A}$ 上的 $\mathcal{H}$ 延伸成含有 $\mathcal{A}$ 的最小的 $\sigma$ 代数是唯一的。因此，不论在 $\mathcal{B}$ 上还是 $\mathcal{M}$ 上，都有 $u=\mathcal{H}$。剩下的问题是，当构造子集上的外Hausdorff测度时所产生的 $\sigma$ 代数是否大于利用Caradiodory扩张定理产生的Hausdorff测度 $u=\mathcal{H}$ 的 $\sigma$ 代数 $\mathcal{M}$ ？

注意，集合 $\mathcal{T}$ 族除了是 $S^{\prime }$ 子集的半代数外，也是 $S^{\prime }$ 的任意子集的一个Vitali覆盖，也就是说，对于每一个 $x\in E$ 和每个 $\delta >0$，都有一个子集 $T\in \mathcal{T}$，其中 $x\in T,0<\mathcal{H}\left(T\right)\le \delta$。利用Vitali覆盖上的Caratheodory扩张定理构造的外测度是度量外测度，因此,对于任意子集A和B，其中 $d\left(A,B\right)>0$，满足 $u^{*}\left(A\cup B\right)=u^{*}\left(A\right)+u^{*}\left(B\right)$。此外，如果 $v^{*}$ 是度量空间X上的度量外测度，则该外测度下的可测集的 $\sigma$ 代数包含X的Borel集的 $\sigma$ 代数。我们将这个结果应用于 $\left(S^{\prime },\mathcal{M},u\right)$ 可以推导出 $u^{*}$ 是度量外测度，且 $\mathcal{M}$ 包含 $S^{\prime }$ 的Borel集。因此，由 $u^{*}$ 构造的 $S^{\prime }$ 可测集的 $\sigma$ 代数包含 $S^{\prime }$ 的Borel集以及 $S^{\prime }$ 的开集和闭集。因此，在S的Borel子集上， $\mathcal{H}$ 与u是一致的 [11]。

最后，如果利用Caratheodory扩张定理在集合X上用代数 $\mathcal{A}$ 构造有限测度u，则给定任意可测集 $G\subset X$，存在 $\mathcal{A}$ 的一个元R，使得 $u\left(G\Delta R\right)<\epsilon$。

由上述结果以及 $S^{\prime }$ 的可测子集E可知，存在一个 $F_{\sigma }$ 集 $F\subset E$，其中 $\mathcal{H}\left(E\Delta F\right)=\mathcal{H}\left(E\sim F\right)=0$。因

为在 $S^{\prime }$ 的Borel集的 $\sigma$ 代数上， $u=\mathcal{H}$， $\mathcal{H}\left(F\Delta {\displaystyle {\cup }_{i=1}^n{T}_i}\right)<ϵ$，则可推导出存在一个有限集Sierpinski子三角形 $T_i$，其中 $u\left(F\Delta {\displaystyle {\cup }_{i=1}^n{T}_i}\right)<ϵ$。但是，因为 $\mathcal{H}\left(E\Delta F\right)=0$，所以 $\mathcal{H}\left(E\Delta {\displaystyle {\cup }_{i=1}^n{T}_i}\right)<ϵ$。因此， ${\mathcal{X}}_E$ 含于

$\text{span}\left\{D^j{T}_{\left(m,n\right)}\left({\mathcal{X}}_S\right)|j,m,n\in Z\right\}$ 的闭包 [12] [13] [14]。

(4) 对于 $f\in {\displaystyle {\cap }_{j=-\infty }^{\infty }{V}_j}$，如果 $\left(x,y\right)\in \text{support}\left(f\right)$，则对于每一个 $j\in Z$，存在一些 $\left(u_j,v_j\right)\in Z^2$，使得

$\left(x,y\right)\in A^j\left(S+\left(u_j,v_j\right)\right)$。

对于使 $x^2+y^2<2^{2j-1}$ 成立的足够大的j，有 $\left(u_j,v_j\right)\in \left\{\left(0,0\right),\left(0,-1\right),\left(-1,0\right)\right\}$，且对于这些j， $\left(u_j,v_j\right)$ 是

常量。因此， $\left(x,y\right)$ 一定是 ${\displaystyle {\cup }_{j=-\infty }^{\infty }{A}^{j}S}$， ${\displaystyle {\cup }_{j=-\infty }^{\infty }{A}^j\left(S+\left(0,1\right)\right)}$， ${\displaystyle {\cup }_{j=-\infty }^{\infty }{A}^j\left(S+\left(-1,0\right)\right)}$ 之一。因为 $f\in V_{-j}$ 一

定是 $A^j\left(S+\left(u,v\right)\right)$ 上的常量，所以每个并是嵌套的意味着f在这些并上都是常量.因为每个并的测度是无限的，所以这些常量必须都是0 [15]。

因此， ${\left\{V_j\right\}}_{j=-\infty }^{\infty }$ 构成了 $L^2\left({\mathcal{R}}_s,\mathcal{H}\right)$ 上的一个多分辨分析， $\left\{T_{\left(m,n\right)}\left({\mathcal{X}}_S\right)\right\}$ 构成了 $V_0$ 的标准正交基。

5. 结束语

由于小波分析可以同时在时域和频域内进行局部化信号，并对信号在不同尺度上进行分解和重构，所以研究分形集上的多分辨分析具有重要的现实意义，为分形集上的小波变换奠定基础。本文首先讨论了基于Sierpinski垫上的多分辨分析，然后通过构建酉扩张算子D和酉算子T，结合分形几何中的测度知识证明了基于Sierpinski垫的膨胀分形集上的多分辨分析。