MP  >> Vol. 9 No. 6 (November 2019)

    试析网上常见的一个E = Mc2推导过程中的错误
    An Analysis for the Error of a Common Derivation Process of E = Mc2 on the Internet

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作者:  

王忆锋:昆明物理研究所,云南 昆明

关键词:
量纲分析质量–能量关系式狭义相对论光速原理Dimensional Analysis Mass-Energy Relationship Special Relativity Principle of Light Speed

摘要:

用工程计算软件MATLAB详细分析验算了网上流传较广的一个E = Mc2的推导过程,结果表明在正确使用现有数学工具的前提下,该过程不可能推导出E = Mc2。介绍了基于量纲分析,从物理和数学角度推导E = Mc2的方法,该方法与相对论无关。

A derivation process of E = Mc2, which is widely spread on the internet, is checked in detail by the engineering calculation software MATLAB. The results show that it is impossible to deduce E = Mc2 by using existing mathematical tools correctly. This paper introduces the method of deducing E = Mc2 from physical and mathematical point of view based on dimensional analysis, which is independent of relativity.

1. 引言

E = Mc2是一个著名的公式(其中,E为能量,M为质量,c为光速),在(狭义)相对论中称为质量–能量关系式,或者称为质能方程,它是相对论的基础之一。一个源自国外出版物的基于微积分推导E = Mc2的计算过程在网上流传较广。作者用MATLAB对该计算过程逐步进行了详细分析和验算,结果表明在正确使用现有数学工具的前提下,该过程不可能推导出E = Mc2。可以基于量纲分析方法,从物理和数学角度推导E = Mc2,该方法与相对论无关。

2. 用MATLAB验算网上常见的一个推导E = Mc2过程

网上常见的一个推导E = Mc2的过程如图1所示 [1]。限于条件,作者未能查到其原始出处,这里只是转引。

Figure 1. A common derivation process of E = Mc2 on the internet

图1. 网上常见的一个推导E = Mc2过程

在函数记号 y = f ( x ) 中,x称为自变量,y称为因变量。定积分的一般形式为 a b f ( x ) d x ,式中积分下限a和积分上限b均为常数,即 a b f ( x ) d x 为固定积分限的积分。积分号里面dx之外的部分称为被积函数。如果积分限是变化的,则称为变限积分;变限可以是只变一个积分限,例如 0 sin t sin x x d x 等;也可以是两个积分限同时变化,例如 等。变限积分还有一种比较特殊的形式,即以被积函数f(x)的自变量x作为积分的上限或者下限,例如 等。

MATLAB是一款功能强大的工程计算软件,是科学技术领域应用和影响最广泛的三个计算机数学语言之一。利用MATLAB的符号运算工具箱,可以直接求解一般的微积分计算问题。当然MATLAB不是万能的,对于某些特殊的微积分问题,MATLAB同样无能为力。

y = f ( x ) 的微分定义为 [2]

d y = f ( x ) d x (1)

式中 f ( x ) 为一阶导数。进一步取 f ( x ) 的导数可以得到二阶、三阶及高阶导数。在MATLAB中,如果函数及自变量已知且均为符号变量,可以用diff( )命令求解给定函数的各阶导数。

具体到图1中的(F)环节,这里用圆括号( )代替图1中的○,记

y = y ( v ) = m 0 v 1 ( v / c ) 2 (2)

这里为了便于比较,式(2)与图1中的记号对应一致,有关符号均未使用斜体。

在MATLAB中输入下列语句

>> syms m0 c v;

>> simple(diff((m0*v)/sqrt(1-(v/c)^2),v))

simple( )为MATLAB的化简命令。化简后的最终结果为

ans =m0/(-(-c^2+v^2)/c^2)^(3/2)

将上述结果写成解析形式,即有

y ( v ) = m 0 [ 1 ( v / c ) 2 ] 3 / 2 (3)

于是图1中的(F)环节为

d y = d ( m 0 v 1 ( v / c ) 2 ) = y ( v ) d v = m 0 [ 1 ( v / c ) 2 ] 3 / 2 d v (4)

由此得到图1中的(H)环节

0 v v d ( m 0 v 1 ( v / c ) 2 ) = m 0 0 v v d v [ 1 ( v / c ) 2 ] 3 / 2 (5)

注意到这是一个以被积函数的自变量v为上限的变限积分。输入下列命令,

>> syms v c m0

>> m0*int(v/(1-(v/c)^2)^(3/2),v,0,v)

显示的信息为

??? Error using ==> sym/maple

Error, (in limit) invalid limiting point

表明MATLAB无法直接计算式(5)所示的自变量v为上限的变限积分。需要指出的一点是,由于MATLAB不是一个开源软件,在满足MATLAB使用规则的前提下,对于MATLAB不能计算的情况,无法追溯到MATLAB源码处理层次找到运算过程,看一看它为什么不能计算,具体到这里的情况,无法解释到底为什么出错或者为什么不能计算,也无法补充支持不规范的源码级运算过程内容,只能选择接受或者不接受。

下面换一个角度来看一看图1中的(H)环节即式(5)的计算问题。文献 [3] 第294~295页给出了一道例题33,为了方便对比,现将该例题及有关证明部分摘录如下:

设函数f(x)在闭区间 [ a , b ] 上具有连续的二阶导数,试证:存在 ,使得

a b f ( x ) d x = ( b a ) f ( a + b 2 ) + 1 24 ( b a ) 3 f ( ξ ) (6)

证法一:设 F ( x ) = a x f ( x ) d x ,在的二阶泰勒公式为

F ( x ) = a x f ( x ) d x = a a + b 2 f ( x ) d x + f ( a + b 2 ) ( x a + b 2 ) + 1 2 ! f ( a + b 2 ) ( x a + b 2 ) 2 + 1 3 ! f ( ξ 1 ) ( x a + b 2 ) 3 (7)

式(7)中的 ξ 1 ( a + b ) / 2 和x之间。该题后面的证明过程与本文无关,暂略。

具体到式(5)来说,其中的被积函数可以记为

f ( v ) = v [ 1 ( v / c ) 2 ] 3 / 2 (8)

利用diff( )可以求出其一阶导数

>> diff(v/(1-(v/c)^2)^(3/2),v)

ans =1/(1-v^2/c^2)^(3/2)+3*v^2/(1-v^2/c^2)^(5/2)/c^2

f ( v ) = 1 [ 1 ( v / c ) 2 ] 3 / 2 + 3 [ 1 ( v / c ) 2 ] 5 / 2 ( v c ) 2 (9)

利用diff( )还可以求出其二阶导数

>> diff(v/(1-(v/c)^2)^(3/2),v,2)

ans = 9/(1-v^2/c^2)^(5/2)*v/c^2+15*v^3/(1-v^2/c^2)^(7/2)/c^4

f ( v ) = 9 v c 2 [ 1 ( v / c ) 2 ] 5 / 2 + 15 v 3 c 4 [ 1 ( v / c ) 2 ] 7 / 2 (10)

比较一下式(5)和(7),如果再把一阶导数表达式(9)和二阶导数表达式(10)代入,可以看出在图1所示的计算过程中难以从(H)得到(I)。那么(I)是如何得到的?

在MATLAB中输入下列语句

>> syms v c m0

>> simple(m0*int(v/(1-(v/c)^2)^(3/2),v,0,w))

化简后的最终结果为

ans =m0*c^2/(1-1/c^2*w^2)^(1/2)-m0*c^2

E = = m 0 0 w v d v [ 1 ( v / c ) 2 ] 3 / 2 = m 0 c 2 ( 1 [ 1 ( w / c ) 2 ] 1 / 2 1 ) (11)

得到这个形式的结果仅仅是因为改变了一下积分上限的符号;换言之,在图1所示的计算过程中,从(F)环节到(H)环节,积分上限均为被积函数的自变量v;等到(H)环节要具体计算定积分的时候,先把v换成另外一个非自变量符号例如w,得到积分结果以后再将w换回v,于是得到了(I)环节所示的结果,即

(12)

但是这种处理方式无论是从逻辑还是从数学角度来看都是不正确的,在这种情况下,再讨论后面的处理步骤已经没有任何意义。换言之,在规范使用数学工具和满足逻辑一致性的前提下,按照图1所示的步骤不可能推导出E = Mc2

3. 从物理和数学角度推导E = Mc2的方法

质量、能量和速度三者之间在量纲上存在下列关系

× ( ) 2 (13)

式中的“≡”表示量纲意义上的等价关系。以式(13)为基础,可以分别从物理和数学角度简捷地导出E = Mc2,文献 [4] [5] 详细了有关推导过程,感兴趣的读者可以参阅,本文不再重述。

4. 结束语

本文基于MATLAB的详细分析验算结果表明,在规范使用数学工具和满足逻辑一致性的前提下,按照图1所示的步骤不可能推导出E = Mc2。如果图1所示的推导过程就是相对论体系中导出E = Mc2的方法,并且除此之外没有其他方法,那么将引发对相对论基础的质疑。

另一方面,E = Mc2是有物理意义的,当然这种物理意义与相对论所说的物理意义是不相同的。基于量纲分析方法,可以分别从物理角度和数学角度简单地导出E = Mc2

文章引用:
王忆锋. 试析网上常见的一个E = Mc2推导过程中的错误[J]. 现代物理, 2019, 9(6): 277-281. https://doi.org/10.12677/MP.2019.96027

参考文献

[1] 质能方程E=Mc2的推导过程是怎样的?http://www.360doc.com/content/19/0101/15/45506057_805832643.shtml
[2] M. R. Spiegel著. 高等数学的理论和习题[M]. 谢国瑞, 蒋司勋, 宣月华, 等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 1978.
[3] 朱有清, 贺才兴. 高等数学复习十五讲(上) [M]. 上海: 上海交通大学出版社, 1985.
[4] 王忆锋. 基于量纲分析从物理和数学角度推导光速原理[J]. 现代物理, 2019, 9(4): 183-190.
[5] 王忆锋. 光速原理及其推论[J]. 现代物理, 2019, 9(5): 227-245.