某类顶点拟本原和二部拟本原的3度对称图的分类

A Classification on a Class of Vertex Quasiprimitive and Bi-Quasiprimitive Cubic Symmetric Graphs

摘要: 设Γ是一个图，G≤AutΓ，则称Γ是一个G-基图，如果G在顶点集V Γ上是拟本原的或者二部拟本原的。在这篇文章中，我们将分类阶为2p^mqⁿ的3度对称G-基图，其中p<q为素数，m,n≥1。

Abstract: Let Γ be a graph and G≤AutΓ. Then Γ is called a G-basic graph, if G is quasiprimitive or bi-quasiprimitive on vertex set V Γ. In this paper, we classify cubic symmetric G-basic graphs of order 2p^mqⁿ, where p<q are primes, and m,n≥1.

1. 引言

对于一个图 $\Gamma$，我们设 $V\Gamma$， $E\Gamma$ 和 $A\Gamma$ 分别表示 $\Gamma$ 的顶点集，边集和弧集， $\text{Aut}\Gamma$ 表示 $\Gamma$ 的全自同构群； $\left|V\Gamma \right|$ 称为图 $\Gamma$ 的阶。如果群 $G\le \text{Aut}\Gamma$ 作用在 $V\Gamma$， $E\Gamma$ 或 $A\Gamma$ 上传递，则分别称 $\Gamma$ 为G-点传递图，G-边传递图或G-弧传递图。特别地，弧传递图也称为对称图。对任意的 $u\in V\Gamma$，定义 $\Gamma \left(u\right)=\left\{u\in V\Gamma |\left\{u,v\right\}\in E\Gamma \right\}$ 为点u的邻域，称 $\left|\Gamma \left(u\right)\right|$ 为点u的度数，记为 $\left|\Gamma \left(u\right)\right|$。如果对任意的 $u,v\in V\Gamma$，u和v的度数相等，则称 为正则图， $\left|\Gamma \left(u\right)\right|$ 为图 $\Gamma$ 的度数，记作 $\text{val}\left(\Gamma \right)=\text{val}\left(u\right)$。给定一个正整数s和 $V\Gamma$ 上的 $s+1$ 个点 $u_0,u_1,\cdots ,u_s$，称 $\left(u_0,u_1,\cdots ,u_s\right)$ 是一条s-弧，如果 $u_{i-1}\ne u_{i+1}\left(i=1,2,\cdots ,s-1\right)$，且 $u_{j-1}$ 和 $u_j\left(j=1,2,\cdots ,s\right)$ 是邻接的。若 $G\le \text{Aut}\Gamma$ 在 $\Gamma$ 的s-弧集上传递，则称 $\Gamma$ 为 $\left(G,s\right)$ -弧传递图；如果 $\Gamma$ 是 $\left(G,s\right)$ -弧传递图但不是 $\left(G,s+1\right)$ -弧传递图，则称 $\Gamma$ 为 $\left(G,s\right)$ -传递图。特别地，一个 $\left(\text{Aut}\Gamma ,s\right)$ -传递图可简单的称为s-传递图。

在代数图论中，阶数特定的对称图受到了国内外学者的广泛关注。例如：文献( [1] )给出了不大于768个点的三度图的分类。设 $p,q$ 为素数，在文献( [2] [3] [4] )中，作者分别分类了p，2p，3p阶的对称图；之后，Praeger等在( [5] )和( [6] )中分别将其推广到pq阶的对称图。1947年，Tutte在文献( [7] )中确定了3度图的点稳定子群的结构，在此之后的几十年里，3度对称图引起了大量学者的研究，他们给出了3度对称图的各种构造方法及其分类。例如，Du和Wang在文献( [8] )中考虑了单群 $\text{PSL}\left(2,r\right)$ 上的3度Cayley图，其中r为一个素数的方幂；Feng等在( [9] )中分类了阶为8p和8p²的3度对称图；Zhou和Feng在( [10] )中对2pq阶的3度对称图进行了分类。

设 $X\le \text{Sym}\left(\Omega \right)$ 是一个传递置换群，则称X是拟本原的，如果X的每个极小正规子群都在 $\Omega$ 上传递；称X是二部拟本原的，如果X的每个极小正规子群在 $\Omega$ 上至多有两个轨道并且存在一个极小正规子群作用在 $\Omega$ 上恰有两个轨道。给定一个图 $\Gamma$， $G\le \text{Aut}\Gamma$，称 $\Gamma$ 是一个G-基图，如果G在顶点集 $V\Gamma$ 上是拟本原的或者二部拟本原的。研究对称图的一般分为以下两步：

第一步，研究对称图的基图；

第二步，刻画对称图的基图的正规覆盖。

基图的分类是研究对称图的基础，它不仅可以为学习对称图提供一些图例，而且对于后续研究基图的覆盖有着重要的参考作用。设 $\Gamma$ 是一个阶为 $2p^m{q}^n$ 的3度对称图，本文将分类 $\Gamma$ 的G-基图，其中 $p<q$ 为素数， $G\le \text{Aut}\Gamma$， $m,n\ge 1$，所得主要结论如下：

定理1.1：设 $p<q$ 为素数， $\Gamma$ 是一个阶为 $2p^m{q}^n$ 的3度G-基对称图，其中 $G\le \text{Aut}\Gamma$， $m,n\ge 1$，则 $\Gamma$ 满足表1。

2. 预备知识

本文所考虑的所有图均为有限的、非空的、无向的、连通的、以及没有圈和重边的正则图。关于本文所使用的群论和图论的符号和基本概念都是标准的，可以参看学者们的著作( [11] [12] [13] [14] )等。例如：

Table 1. 3 degree G-based symmetry diagram of order 2 p m q n

表1. 阶为 $2p^m{q}^n$ 的3度G-基对称图

我们用 ${\mathbb{Z}}_n$ 表示n阶循环群， $A_n$ 和 $S_n$ 分别表示交错群和对称群。

本节的主要内容是给出一些重要的结论和例子。首先我们给出由Tutte于1947年确定的3度对称图的点稳定子群的结构，它为我们研究3度对称图奠定了基础。

引理2.1 ( [7] )：设 $\Gamma$ 是一个连通的3度 $\left(G,s\right)$ -弧传递图。则 $s\le 5$，并且 $\left(G_{\alpha },\left|G_{\alpha }\right|,s\right)$ 满足表2，其中α∈VΓ。

Table 2. Point-stabilized subgroups of 3-degree symmetry maps

表2. 3度对称图的点稳定子群

设G是一个有限群，H是G的子群。令D为H在G中的若干个形如 $HxH\left(x\notin H\right)$ 的双陪集之并。定义群G上关于H和D的陪集(有向)图 $\Gamma =\text{Cos}\left(G,H,D\right)$ 如下：顶点集 $V\Gamma =\left[G:H\right]$，即H在G中的所有右陪集之并，边集 $E\Gamma =\left\{\left\{Ha,Hda\right\}\text{|}a\in G,d\in D\right\}$。陪集图有如下的性质。

引理2.2 ( [14] )：设 $\Gamma =\text{Cos}\left(G,H,D\right)$ 是群G关于H和D的陪集有向图，则

1) $\Gamma$ 是点传递图，并且 $\text{val}\left(\Gamma \right)=\left|D\right|/\left|H\right|$ ；

2) $\Gamma$ 是连通图当且仅当 $G=\langle D\rangle$ ；

3) $\Gamma$ 是无向图当且仅当 $D=D^{-1}$ ；

4) $\Gamma$ 是G-弧传递的当且仅当 $D=H{x}_{i}H\left(x_i\notin H\right)$ 是一个单个的双陪集。

陪集图通常用于构造一些图例，下面的4个例子是根据3度图的点稳定子群的结构以及陪集图的性质构造而成，可参看文献( [1] )和( [10] )。

例2.3：1) 设 $G=\text{PSL}\left(2,13\right)$，则G有一个子群 $H\cong S_3$，且存在一个对合x使得 $\left|HxH\right|/\left|H\right|=3$， $\langle H,x\rangle =G$。于是由引理2.2知陪集图 $\text{Cos}\left(G,H,HxH\right)$ 是一个阶为182的3度对称图，记为 $N{C}_{182}^1$，且 $\text{Aut}\left(N{C}_{182}^1\right)\cong \text{PSL}\left(2,13\right)$。

2) 设 $G=\text{PGL}\left(2,13\right)$，则G有一个子群 $H\cong S_3\times S_2$，且存在一个对合x使得 $\left|HxH\right|/\left|H\right|=3$， $\langle H,x\rangle =G$。于是由引理2.2知陪集图 $\text{Cos}\left(G,H,HxH\right)$ 是一个阶为182的3度对称图，记为 $N{C}_{182}^2$，且。

例2.4：1) 设 $G=\text{PSL}\left(2,23\right)$，则G有一个子群 $H\cong S_3\times S_2$，且存在和一个对合x使得 $\left|HxH\right|/\left|H\right|=3$， $\langle H,x\rangle =G$。于是由引理2.2知陪集图 $\text{Cos}\left(G,H,HxH\right)$ 是一个阶为506的3度对称图，记为 $N{C}_{506}$，且 $\text{Aut}\left(N{C}_{506}\right)\cong \text{PSL}\left(2,23\right)$。

2) 设 $G=\text{PGL}\left(2,23\right)$，则G有一个子群 $H\cong S_4$，且存在和一个对合x使得 $\left|HxH\right|/\left|H\right|=3$ 且 $\langle H,x\rangle =G$。于是由引理2.2知陪集图 $\text{Cos}\left(G,H,HxH\right)$ 是一个阶为506的3度对称图，记为 $C_{506}$，且 $\text{Aut}\left(C_{506}\right)\cong \text{PGL}\left(2,23\right)$。

例2.5：设 $G=\text{PSL}\left(2,47\right)$，则G有一个子群 $H\cong S_4$ 和一个对合x使得 $\left|HxH\right|/\left|H\right|=3$ 且 $\langle H,x\rangle =G$。于是由引理2.2知陪集图 $\text{Cos}\left(G,H,HxH\right)$ 是一个阶为2162的3度对称图，记为 $N{C}_{2162}$，且其全自同构群为 $\text{PSL}\left(2,23\right)$。

例2.6：1) Levi图 $N{C}_{30}$ 是唯一的一个阶为30的3度对称图，它是5-正则的二部图且 $\text{Aut}\left(N{C}_{30}\right)\cong S_6.{\mathbb{Z}}_2$。

2) Smith-Biggs图 $N{C}_{102}$ 是唯一的一个阶为102的3度对称图，且 $\text{Aut}\left(N{C}_{102}\right)\cong \text{PSL}\left(2,17\right)$。

3) Coxter-Frucht图 $C_{110}$ 是唯一的一个阶为110的3度对称图，且 $\text{Aut}\left(C_{110}\right)\cong \text{PGL}\left(2,11\right)$。

对于给定的较小群G，利用Magma ( [15] )软件计算包可以确定所有同构意义下的G-弧传递图。通过Magma ( [15] )直接计算，我们可得以下的5个例子。值得注意的是，在例子中所出现图，它们在同构意义下都是唯一的。

例2.7：1) 设 $G=A_5$，则G有一个子群 $H\cong {\mathbb{Z}}_3$，由Magma ( [15] )可知，存在一个阶为20的3度对称图，记为 ${\mathcal{G}}_{20}^1$，且 $\text{Aut}\left({\mathcal{G}}_{20}^1\right)\cong S_5$。

2) 设 $G=S_5$，则G有一个子群，于是通过Magma ( [15] )计算，存在一个阶为20的3度对称图，记为 ${\mathcal{G}}_{20}^2$，且 $\text{Aut}\left({\mathcal{G}}_{20}^2\right)\cong S_5\times {\mathbb{Z}}_2$。

例2.8：设 $G=\text{PSL}\left(2,7\right)$，则G有一个子群 $H\cong S_3$ 或 ${\mathbb{Z}}_3$，于是存在两个3度对称图，分别记为 ${\mathcal{G}}_{28}^1$ 和 ${\mathcal{G}}_{56}^1$，它们的阶分别为28和56，且 $\text{Aut}\left({\mathcal{G}}_{28}^1\right)\cong \text{PGL}\left(2,7\right)$， $\text{Aut}\left({\mathcal{G}}_{56}^1\right)\cong \text{PGL}\left(2,7\right)$。

例2.9：设 $G=\text{PGL}\left(2,7\right)$，则G有一个子群 $H\cong S_3\times S_2$ 或 $S_3$。通过Magma ( [15] )计算可得：

1) 如果 $H\cong S_3\times S_2$，则存在一个阶为28的3度对称图，记为 ${\mathcal{G}}_{28}^2$，且 $\text{Aut}\left({\mathcal{G}}_{28}^2\right)\cong \text{PGL}\left(2,7\right)$。

2) 如果 $H\cong S_3$，则存在两个阶为56的3度对称图，分别记为 ${\mathcal{G}}_{56}^2$ 和 ${\mathcal{G}}_{56}^3$，且 $\text{Aut}\left({\mathcal{G}}_{56}^2\right)\cong \text{PGL}\left(2,7\right)$， $\text{Aut}\left({\mathcal{G}}_{56}^3\right)\cong \text{PGL}\left(2,7\right)\times {\mathbb{Z}}_2$。

例2.10：1) 设 $G=\text{PGL}\left(2,25\right)$，则G有一个子群 $H\cong S_4$，通过Magma ( [15] )计算，存在一个阶为650的3度对称图，记为 ${\mathcal{G}}_{650}^1$，且 $\text{Aut}\left({\mathcal{G}}_{650}^1\right)\cong \text{Aut}\left(\text{PSL}\left(2,25\right)\right)$。

2) 设 $G=\text{Aut}\left(\text{PSL}\left(2,25\right)\right)$，则G有一个子群 $H\cong S_4\times S_2$，由Magma ( [15] )可知，存在一个阶为650的3度对称图，记为 ${\mathcal{G}}_{650}^2$，且 $\text{Aut}\left({\mathcal{G}}_{650}^2\right)\cong \text{Aut}\left(\text{PSL}\left(2,25\right)\right)$。

例2.11：1) 设 $G=\text{PSL}\left(3,3\right)$，则G有一个子群 $H\cong S_4$，存在一个阶为234的3度对称图，记为 ${\mathcal{G}}_{234}^1$，且 $\text{Aut}\left({\mathcal{G}}_{234}^1\right)\cong \text{Aut}\left(\text{PSL}\left(3,3\right)\right)$。

2) 设 $G=\text{Aut}\left(\text{PSL}\left(3,3\right)\right)$，则G有一个子群 $H\cong S_4\times S_2$，故由Magma ( [15] )计算，存在一个阶为234的3度对称图，记为 ${\mathcal{G}}_{234}^2$，且 $\text{Aut}\left({\mathcal{G}}_{234}^2\right)\cong \text{Aut}\left(\text{PSL}\left(3,3\right)\right)$。

下面的引理是( [16]，引理2.5])的一个特例，它略微改进了Praeger的结论( [17]，定理4.1])。

引理2.12 ( [16] )：设 $\Gamma$ 是一个连通的奇素数度的G-弧传递图， $G\le \text{Aut}\Gamma$ 有一个非传递的正规子群N在上至少有两个轨道。则下面的陈述成立：

1) N在 $V\Gamma$ 上半正则， $G/N\le \text{Aut}\left({\Gamma }_N\right)$， ${\Gamma }_N$ 是G/N-弧传递的，并且 $\Gamma$ 是 ${\Gamma }_N$ 的正规N-覆盖。

2) $\Gamma$ 是 $\left(G,s\right)$ -弧传递的当且仅当 ${\Gamma }_N$ 是 $\left(G/N,s\right)$ -弧传递的，其中 $1\le s\le 5$ 或 $s=7$。

3) $G_{\alpha }\cong {\left(G/N\right)}_{\delta }$，其中 $\alpha \in V\Gamma$， $\delta \in V{\Gamma }_N$。

3. 定理1.1的证明

为了完整的证明定理1.1，我们先证明以下两个引理，第一个引理分类了一类单群。

引理3.1：设T是一个非交换单群且满足 $\left|T\right||2^5\cdot 3\cdot r^m\cdot s^n$，且 $3r^m{s}^n|\left|T\right|$，其中 $r<s$ 为素数， $m,n\ge 1$。则下列之一成立，其中 $\left|\pi \left(T\right)\right|$ 表示 $\left|T\right|$ 的所有素因子的个数。

1) 如果 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$，则 $\left(T,\left|T\right|\right)$ 满足表3。

Table 3. Single group T with 3 prime factors

表3. 含有3个素因子的单群T

2) 如果 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$，则 $\left(T,\left|T\right|\right)$ 满足表4。

Table 4. Single group T with 4 prime factors

表4. 含有4个素因子的单群T

证明：因为 $3r^m{s}^n|\left|T\right|$，所以 $3\le \left|\pi \left(T\right)\right|\le 4$，因此T满足( [18]，定理I)。

如果 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$，则 $r=2$ 或3， $s\ge 5$，因此T是一个 $\left\{2,3,s\right\}$ -群。如果 $r=2$，则 $\left|T\right||2^{5+m}\cdot 3\cdot s^n$，于是 $3^2\nmid \left|T\right|$，故由( [18]，表1)可知： $T\cong A_5$ 或 $\text{PSL}\left(2,7\right)$，此时， $\left|T\right|=2^2\times 3\times 5$ 或 $2^3\times 3\times 7$。如果 $r=3$，则 $\left|T\right||2^5\cdot 3^{m+1}\cdot s^n$，故 $2^6\nmid \left|T\right|$。再由( [18]，表1)可得： $T\cong A_5$， $A_6$， $\text{PSL}\left(2,7\right)$， $\text{PSL}\left(2,8\right)$， $\text{PSU}\left(3,3\right)$， $\text{PSL}\left(3,3\right)$ 或 $\text{PSL}\left(2,17\right)$。

如果 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$，由 $\left|T\right||2^5\cdot 3\cdot r^m\cdot s^n$ 可知 $3<r<s$，因此T是一个 $\left\{2,3,r,s\right\}$ -群，于是由( [18]，定理I)可知：T满足( [18]，表2)或者T同构于单群 $\text{PSL}\left(2,q\right)$，其中 $q>3$ 为一个素数的方幂。如果T满足( [18]，表2)，则通过检查它们的阶可得： $T\cong \text{PSL}\left(3,5\right)$，此时 $\left|T\right|=2^5\cdot 3\cdot 5^3\cdot 31$。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,q\right)$，则由( [18]，定理3.2和引理3.4(2)，3.5(2))可知：要么 $q\in \left\{5^2,7^2,2^4,2^5\right\}$，要么 $q\ge 11$ 是一个素数。

假设 $T\cong \text{PSL}\left(2,q\right)$，其中 $q\ge 11$ 是一个素数，则 $\left|T\right|=\frac{1}{2}q\left(q+1\right)\left(q-1\right)$。注意到，，因此，

$\frac{1}{2}\left(q+1\right)\left(q-1\right)|2^5\cdot 3\cdot r^m,$

即

$\frac{q+1}{2}\cdot \frac{q-1}{2}|2^4\cdot 3\cdot r^m.$

因为 $\left(\frac{q+1}{2},\frac{q-1}{2}\right)=1$，所以 $\frac{q+1}{2}|r^m$ 或 $\frac{q-1}{2}|r^m$，即 $\frac{q-1}{2}|2^4\cdot 3$ 或 $\frac{q+1}{2}|2^4\cdot 3$。由此可得： $q=11$，13，17，23，31，47或97。通过检查它们对应单群 $\text{PSL}\left(2,q\right)$ 的阶可知：满足条件的q为11，13，23，31，47，97。□

假设 $p<q$ 为素数， $\Gamma$ 是一个连通的阶为 $2p^m{q}^n$ 的3度G-弧传递图，其中 $G\le \text{Aut}\Gamma$， $m,n\ge 1$。设N是 的一个极小正规子群，则 $N=T^d$，其中T是一个单群且。令 $\alpha \in V\Gamma$。

引理3.2：应用上面的符号说明。如果N是非交换的，则 $d=1$。

证明：反证法。假设 $d\ge 2$，则由 $N=T^d$ 可知： $\left|N\right|\nmid 2p^m{q}^n$。如果N在 $V\Gamma$ 上至少有3个轨道，则由引理2.12可知，N在 $V\Gamma$ 上半正则，于是 $\left|N\right||\left|V\Gamma \right|$，注意到 $\left|V\Gamma \right|=2p^m{q}^n$，矛盾。故N在 $V\Gamma$ 上至多有2个轨道。令 $N=T_1\times T_2\times \cdots \times T_d$，其中 $T_i\cong T\left(i=1,2,\cdots ,d\right)$。

假设N在 $V\Gamma$ 上传递。由 $1\ne N_{\alpha }⊲G_{\alpha }$ 且 $\Gamma$ 是连通图可得： $1\ne N_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}⊲G_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}$。因此， $N_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}$ 是传递的且 $\Gamma$ 是N-弧传递的。如果 $T_1$ 在 $V\Gamma$ 上传递，则由( [12]，定理4.2A)可知：中心化子 $C_N\left(T_1\right)$ 在 $V\Gamma$ 上半正则，从而 $T_2$ 在 $V\Gamma$ 上半正则，这与 $\left|T_2\right|$ 不能整除 $\left|V\Gamma \right|=2p^m{q}^n$ 相矛盾。如果 $T_1$ 在 $V\Gamma$ 上至少有3个轨道，则由引理2.12可知： $T_1$ 在 $V\Gamma$ 上半正则，矛盾。因此， $T_1$ 在 $V\Gamma$ 上恰好有2个轨道，记为U和W。因为 $T_1⊲N$，故U和W构成 $V\Gamma$ 上的一个N-不变块系，于是 $N_U$ 在N中的指数为2。但是， $N=T^d$ 没有指数为2的子群，矛盾。

假设N在 $V\Gamma$ 上恰有两个轨道，记为 ${\Delta }_1,{\Delta }_2$。此时， $\Gamma$ 是一个二部图，其二部分别为 ${\Delta }_1$ 和 ${\Delta }_2$。令 $G^{+}=G_{{\Delta }_1}=G_{{\Delta }_2}$。如果 $G^{+}$ 作用在 ${\Delta }_1$ 上是非忠实的，则由( [19]，引理5.2)可知：是一个完全二部图，于是 $\Gamma =K_{3,3}$，因此， $\left|V\Gamma \right|=6$，矛盾。如果 $G^{+}$ 作用在 ${\Delta }_1$ 上是忠实的，则 $N\le G^{+}$ 可以看作 ${\Delta }_1$ 上的一个传递置换群。如果 $T_1$ 在 ${\Delta }_1$ 上传递，则由( [12]，定理4.2A)可知： $T_2$ 在 ${\Delta }_1$ 上半正则，故 $\left|T_2\right||p^m{q}^n$，矛盾。因此， $T_1$ 在 ${\Delta }_1$ 上至少有2个轨道，故由( [20]，引理3.2)可知： $T_1$ 在 ${\Delta }_1$ 上半正则，矛盾。□

下面给出定理1.1的完整证明。

定理1.1的证明：设 $\Gamma$ 是一个连通的阶为 $2p^m{q}^n$ 的3度对称G-基图，则G在 $V\Gamma$ 上是拟本原的或者二部拟本原的，其中 $p<q$ 为素数， $G\le \text{Aut}\Gamma$， $m,n\ge 1$。设N是G的一个极小正规子群，则 $N=T^d$，其中T是一个单群且 $d\ge 1$。令 $\alpha \in V\Gamma$，下面我们分两种情形来完成定理1.1的证明。

情形1：假设G在 $V\Gamma$ 上是拟本原的。

此时N在 $V\Gamma$ 上是传递的。如果N是一个交换群，则N在 $V\Gamma$ 上正则，从而 ${\left|T\right|}^d=\left|N\right|=2p^m{q}^n$，矛盾。因此N是非交换的，于是由引理3.2可知： $d=1$，从而 $N=T$。进一步，由于 $T_{\alpha }\ne 1$，则 $\Gamma$ 是T-弧传递的，因此 $T_{\alpha }$ 满足引理2.1，于是 $\left|T_{\alpha }\right||48$。由T的传递性可得： $\left|T\right|=\left|V\Gamma \right|\cdot \left|T_{\alpha }\right|$ 整除 $2^5\cdot 3\cdot p^m\cdot q^n$ 。另一方面，由于 $\Gamma$ 是T-弧传递的，则 $3|\left|T_{\alpha }\right|$，于是 $3p^m{q}^n|\left|T\right|$。故T满足引理3.1。

假设 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$，则T和 $\left(p^m,q^n\right)$ 满足下表5。

Table 5. Single group T with three prime factors and its corresponding ( p m , q n )

表5. 含有3个素因子的单群T及其对应的 $\left(p^m,q^n\right)$

如果 $T\cong A_5$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\Gamma \right|=3$，从而 $T_{\alpha }\cong {\mathbb{Z}}_3$，故由例2.7可知 $\Gamma \cong {\mathcal{G}}_{20}^1$。如果 $T\cong A_6$， $\text{PSL}\left(2,8\right)$ 或 $\text{PSL}\left(2,17\right)$，则 $\left|V\Gamma \right|=2pq$，从而由( [10] )可知：只有当 $T\cong \text{PSL}\left(2,17\right)$ 时才存在满足条件的图 $\Gamma$，此时T有一个子群 $T_{\alpha }\cong S_4$。由例2.6可知 $\Gamma \cong N{C}_{102}$。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,7\right)$，且 $\left(p^m,q^n\right)=\left(2,7\right)$ 或 $\left(2^2,7\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=6$ 或3，从而由引理2.1可得， $T_{\alpha }\cong S_3$ 或 ${\mathbb{Z}}_3$。由例2.8可知 $\Gamma \cong {\mathcal{G}}_{28}^1$ 或 ${\mathcal{G}}_{56}^1$。如果 $T\cong \text{PSU}\left(3,3\right)$ ，则 $\left|T_{\alpha }\right|=2^4\cdot 3$，但是， $\text{PSU}\left(3,3\right)$ 没有子群同构于 $S_4\times S_2$，这与引理2.1相矛盾。如果 $T\cong \text{PSL}\left(3,3\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=2^3\cdot 3$ 且 $T_{\alpha }\cong S_4$。由例2.11可知： $\Gamma \cong {\mathcal{G}}_{234}^1$。

假设 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$，则T和 $\left(p^m,q^n\right)$ 满足下表6。

Table 6. Single group T with four prime factors and their corresponding ( p m , q n )

表6. 含有4个素因子的单群T及其对应的 $\left(p^m,q^n\right)$

如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,q\right)$，其中，则 $\left|V\Gamma \right|=2pq$，由( [10] )可知，只有当 $q=13$，23或47时才存在满足条件的图 $\Gamma$，进一步，由例2.3，2.4和2.5可得， $\Gamma \cong N{C}_{182}^1$， $N{C}_{506}$ 或 $N{C}_{2162}$。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,97\right)$ 或 $\text{PSL}\left(3,5\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=2^4\cdot 3$。但是， $\text{PSL}\left(2,97\right)$ 和 $\text{PSL}\left(3,5\right)$ 都没有子群同构于 $S_4\times S_2$，这与引理2.1相矛盾。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,25\right)$ 或 $\text{PSL}\left(2,49\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=2^2\cdot 3$ 或 $2^3\cdot 3$，此时 $T_{\alpha }\cong S_3\times S_2$ 或 $S_4$，由Magma ( [15] )计算可知，此时不存在满足条件的图 $\Gamma$。

情形2：假设G在 $V\Gamma$ 上是二部拟本原的。

此时，G有一个极小正规子群 $N=T^d$ 在 $V\Gamma$ 上恰有两个轨道，分别记为 ${\Delta }_1$ 和 ${\Delta }_2$。于是， $\Gamma$ 是一个二部图，并且其二部分别为 ${\Delta }_1$ 和 ${\Delta }_2$。令 $G^{+}=G_{{\Delta }_1}=G_{{\Delta }_2}$，则 $N\le G^{+}$， $\left|G:G^{+}\right|=2$， $G_{\alpha }=G_{\alpha }^{+}$。如果N是交换的，则N在 ${\Delta }_1$ 上正则，从而 ${\left|T\right|}^d=\left|N\right|=p^m{q}^n$，矛盾。因此N是非交换的。由引理3.2可知： $N=T$ 是一个非交换单群。如果 $G^{+}$ 作用在 ${\Delta }_1$ 或 ${\Delta }_2$ 上是非忠实的，则由( [19]，引理5.2)可知： $\Gamma$ 是一个完全二部图，于是 $\Gamma =K_{3,3}$。故， $\left|V\Gamma \right|=6$，矛盾。假设 $G^{+}$ 作用在 ${\Delta }_1$ 和 ${\Delta }_2$ 上是忠实的，则由( [21]，定理1.5)可知下列之一成立：

(a) $G^{+}$ 在 ${\Delta }_i\left(i=1,2\right)$ 上是拟本原的；

(b) $G^{+}$ 有两个正规子群 $M_1$， $M_2$ 满足 $M_1\cong M_2$ 且它们在 $V\Gamma$ 半正则。进一步，群 $M_1\times M_2$ 在 ${\Delta }_i$ 上正则。

对于情形(b)，有： ${\left|M_1\right|}^2=\left|{\Delta }_i\right|=p^m{q}^n$，矛盾。下面考虑情形(a)。假设 $G^{+}$ 在 ${\Delta }_i$ 上是拟本原的，则 $G^{+}$ 有一个极小正规子群T且T是一个单群，于是由O’Nan-Scott-Praeger定理( [17] )可知： $\text{soc}\left(G^{+}\right)=T$ 或 $T^2$。如果 $\text{soc}\left(G^{+}\right)=T^2$，则 $G^{+}$ 是全形单型，且T在 ${\Delta }_i$ 上正则。因此，矛盾。故 $\text{soc}\left(G^{+}\right)=T$。进一步，如果T不是G的唯一极小正规子群，则由 $G=G^{+}.{\mathbb{Z}}_2$ 可知 $G=G^{+}\times {\mathbb{Z}}_2$，于是G的正规子群在 $V\Gamma$ 上有 $p^m{q}^n$ 个轨道，这与G在 $V\Gamma$ 上是二部拟本原的相矛盾。故，T是G的唯一极小正规子群，即G是几乎单的且其基柱 $\text{soc}\left(G\right)=T$。令 $G=T.o$，，其中 ${\mathbb{Z}}_2\le o\le \text{Out}\left(T\right)$ 且 $\left|o:o^{\prime }\right|=2$。由于 $T_{\alpha }\le G_{\alpha }$，于是由引理2.1可知，因此 $\left|T\right|=\left|{\Delta }_1\right|\cdot \left|T_{\alpha }\right|$ 整除 $2^5\cdot 3\cdot p^m\cdot q^n$。另一方面，由于 $T_{\alpha }\ne 1$，则 $3|\left|T_{\alpha }\right|$， $3p^m{q}^n|\left|T\right|$。故T满足引理3.1。

假设 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$。此时T和 $\left(p^m,q^n\right)$ 满足表5。如果 $T\cong A_5$，则由Altas ( [22] )可知 $\text{Out}\left(A_5\right)={\mathbb{Z}}_2$。因此 $G^{+}=A_5$， $G=S_5$，且，于是由引理2.1可知， $G_{\alpha }\cong S_3$。故由例2.7可知 $\Gamma \cong {\mathcal{G}}_{20}^2$。如果 $T\cong A_6$，则 $\text{Out}\left(A_6\right)={\mathbb{Z}}_2^2$，于是 $G=S_6$ 或 $S_6.{\mathbb{Z}}_2$。若 $G=S_6$，则 $\left|G_{\alpha }\right|=24$，于是 $G_{\alpha }\cong S_4$，由Magma ( [15] )计算可知：此时不存在满足条件的图 $\Gamma$。若 $G=S_6.{\mathbb{Z}}_2$，则 $\left|G_{\alpha }\right|=48$，于是 $G_{\alpha }\cong S_4\times S_2$，由例2.6可知 $\Gamma \cong N{C}_{30}$。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,7\right)$，则 $\text{Out}\left(\text{PSL}\left(2,7\right)\right)={\mathbb{Z}}_2$，且 $\left(p^m,q^n\right)=\left(2,7\right)$ 或 $\left(2^2,7\right)$。于是 $G=\text{PGL}\left(2,7\right)$，并且G有两个子群分别同构于 $S_3\times S_2$ 和 $S_3$。故由例2.9可知： $\Gamma \cong {\mathcal{G}}_{28}^2$， ${\mathcal{G}}_{56}^2$，或 ${\mathcal{G}}_{56}^3$。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,8\right)$，则由Altas ( [6] )可知 $\text{Out}\left(T\right)={\mathbb{Z}}_3$，此时与 ${\mathbb{Z}}_2\le o\le \text{Out}\left(T\right)$ 且 $\left|o:o^{\prime }\right|=2$ 相矛盾。如果 $T\cong \text{PSU}\left(3,3\right)$，则 $\text{Out}\left(T\right)={\mathbb{Z}}_2$，于是 $G=\text{Aut}\left(\text{PSU}\left(3,3\right)\right)$，此时 $\left|G_{\alpha }\right|=2^5\cdot 3$，这与引理2.1相矛盾。如果 $T\cong \text{PSL}\left(3,3\right)$，则 $\text{Out}\left(T\right)={\mathbb{Z}}_2$，从而 $G=\text{Aut}\left(\text{PSL}\left(3,3\right)\right)$，此时 $G_{\alpha }\cong S_4\times S_2$，由例2.11可知 $\Gamma \cong {\mathcal{G}}_{234}^2$。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,17\right)$，则 $\text{Out}\left(T\right)={\mathbb{Z}}_2$，故 $G=\text{PGL}\left(2,17\right)$，此时 $\left|G_{\alpha }\right|=48$，但是， $\text{PGL}\left(2,17\right)$ 不存在48阶的子群，矛盾。

假设 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$。此时T和 $\left(p^m,q^n\right)$ 满足表6。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,31\right)$， $\text{PSL}\left(2,97\right)$ 或 $\text{PSL}\left(3,5\right)$，则 $\text{Out}\left(T\right)={\mathbb{Z}}_2$，于是 $G=\text{PGL}\left(2,31\right)$， $\text{PGL}\left(2,97\right)$ 或 $\text{PGL}\left(3,5\right)$。此时， $\left|G_{\alpha }\right|=\left|G\right|/\left|V\Gamma \right|=2^5\cdot 3$，这与引理2.1相矛盾。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,32\right)$，则 $\text{Out}\left(\text{PSL}\left(2,32\right)\right)={\mathbb{Z}}_5$，此时与 ${\mathbb{Z}}_2\le o\le \text{Out}\left(T\right)$ 且 $\left|o:o^{\prime }\right|=2$ 相矛盾。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,16\right)$ 或 $\text{PSL}\left(2,49\right)$，则 $\text{Out}\left(T\right)={\mathbb{Z}}_2^2$，于是 $G=T.{\mathbb{Z}}_2$ 或 $\text{Aut}\left(T\right)$。若 $G=T.{\mathbb{Z}}_2$，则 $\left|G_{\alpha }\right|=2^4\cdot 3$，但是，G没有子群同构于 $S_4\times S_2$，这与引理2.1相矛盾。若 $G=\text{Aut}\left(T\right)$，则 $\left|G_{\alpha }\right|=2^5\cdot 3$ ，这与引理2.1相矛盾。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,47\right)$，则 $\text{Out}\left(T\right)={\mathbb{Z}}_2$，于是 $G=\text{PGL}\left(2,47\right)$， $\left|G_{\alpha }\right|=2^4\cdot 3$，然而，G没有子群同构于 $S_4\times S_2$，矛盾。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,11\right)$， $\text{PSL}\left(2,13\right)$ 或 $\text{PSL}\left(2,23\right)$，则 $\text{Out}\left(T\right)={\mathbb{Z}}_2$，故 $G=\text{PGL}\left(2,11\right)$， $\text{PGL}\left(2,13\right)$ 或 $\text{PGL}\left(2,23\right)$，进一步可得， $G_{\alpha }\cong S_3\times S_2$ 或 $S_4$。故由例2.3，2.4和2.6可知： $\Gamma \cong C_{110}$， $N{C}_{182}^2$ 或 $C_{506}$。如果 $T\cong \text{PSL}\left(2,25\right)$，则 $\text{Out}\left(\text{PSL}\left(2,25\right)\right)={\mathbb{Z}}_2^2$，于是 $G=T.{\mathbb{Z}}_2\cong PGL\left(2,25\right)$ 或 $\text{Aut}\left(T\right)$。因此， $G_{\alpha }=S_4$ 或 $S_4\times S_2$。由例2.10可知 $\Gamma \cong {\mathcal{G}}_{650}^1$ 或 ${\mathcal{G}}_{650}^2$。□

基金项目

国家自然科学基金资助项目(80031010061)资助。