短区间上权为dk (n)的ErdO¨ s-Kac型定理
An ErdO¨ s-Kac Type Theorem in Short Intervals Weighted by dk (n)
DOI: 10.12677/PM.2019.99133, PDF, HTML, XML, 下载: 581  浏览: 2,431 
作者: 仝晓菲:青岛大学数学与统计学院,山东 青岛
关键词: 中心极限定理短区间算术函数Dirichlet级数Central Limit Theorem Short Intervals Arithmetic Function Dirichlet Series
摘要: 设dk (n)为k重除数函数。本文证明了一个短区间上权为dk (n)的Erdös-Kac型定理,并证明了其中的余项估计是最优的。这推广了K. Liu和J. Wu最近的一个结果。
Abstract: Let dk (n) be the k-fold divisor function. In this paper, we prove a weighted Erdös-Kac type theo-rem with weight dk (n) in short intervals. This generalizes a recent result of K. Liu and J. Wu.
文章引用:仝晓菲. 短区间上权为dk (n)的ErdO¨ s-Kac型定理[J]. 理论数学, 2019, 9(9): 1082-1093. https://doi.org/10.12677/PM.2019.99133

1. 介绍

对于固定的整数 k 2 ,k重除数函数 d k ( n ) 是指 n = n 1 n 2 n k 的解的个数,其中 n 1 , n 2 , , n k 为正整数。如果n的标准分解形式 n = p 1 α 1 p s α s α i 1 ( i = 1 , 2 , , s ), p i ( i = 1 , 2 , , s )是不同的素数,则有(可参见 [1] )

d k ( n ) = ( α 1 + k 1 ) ! α 1 ! ( k 1 ) ! ( α s + k 1 ) ! α s ! ( k 1 ) ! . (1)

k = 2 时, d k ( n ) 即为经典除数函数 d ( n )

x 2 时,定义 d k ( n ) 的和函数

D k ( x ) : = n x d k ( n ) .

Landau [2] 和Voronoi [3] 证明了

D k ( x ) = x P k 1 ( x ) + Δ k (x)

Δ k ( x ) ε x k 1 k + 1 + ε ,

其中 P k 1 k 1 次的多项式。对于 k 4 ,Hardy和Littlewood改进了以上余项的上界估计,证明了

Δ k ( x ) x k 1 k 2 + ε .

相关文献还可参见 [4], [5], [6] 和 [7]。

同时,人们还研究函数 d k ( n ) 在短区间上的均值问题。例如,Garaev,Luca和Nowak [8] 证明了当 x 1 / 2 log x < y < x 1 / 2 ( log x ) 5 / 2 时,有

x < n x + y d 4 ( n ) = 1 6 y log 3 x ( 1 + O ( x 1 / 3 ( log x ) 2 / 3 y 2 / 3 ) ) .

k 4 时,目前短区间上相应问题的最佳结果可由 D k ( x ) 的渐进公式(“长区间”)推得。

本文中,我们考虑了 d k ( n ) 在短区间上另一种形式的均值问题。令 ω ( n ) 表示正整数n的不同素因子个数,定义

π l , k ( x , y ) : = x < n x + y ω ( n ) = l d k ( n ) .

我们证明了下面的结果。

定理1.1对于固定的 k 2 B > 0 及任意的 ε > 0 ,有

π l , k ( x , y ) = y log x ( k log log x ) l 1 ( l 1 ) ! { λ ( l 1 k log log x ) + O B , ε ( log log x l log x + l 1 ( log log x ) 2 ) } ,

x 2 x 7 / 12 + ε y x 1 l B k log log x 一致成立,这里

λ ( z ) = k Γ ( k z + 1 ) p ( 1 + v 1 ( v + k 1 ) ! v ! ( k 1 ) ! p v z ) ( 1 1 p ) k z ,

并且O-符号中的隐含常数只依赖于B和 ε

1939年,Erdös和Kac [9] 证明了 ω ( n ) 的概率分布,对于每一个 λ R ,他们证明了如下的中心极限定理:

1 x n x ω ( n ) log log x λ log log x 1 Φ ( λ ) , x

其中

Φ ( λ ) : = 1 2 π λ e τ 2 / 2 d τ .

2015年,Elliott [10] [11] 证明了如下权为 d ( n ) α ( α R )的中心极限定理,即对每一个 λ R ,有

1 D α ( x ) n x ω ( n ) 2 α log log x λ 2 α log log x d ( n ) α Φ ( λ ) , x

其中

D α ( x ) : = n x d ( n ) α

最近,K. Liu和J. Wu [12] 把此结果推广到了短区间。

本文中,我们推广了Elliott以及Liu和Wu的结果,证明了权为 d k ( n ) 的中心极限定理。

定理1.2对于每个实数 λ 和任意的 ε > 0 ,当 x x 7 / 12 + ε < y x 时,有

1 D ( x , y ) x < n x + y ω ( n ) k log log x λ k log log x d k ( n ) = Φ ( λ ) + O ε ( 1 log log x ) ,

其中

D ( x , y ) : = x < n y d k ( n ) ,

O-符号中的隐含常数只依赖于 ε ,并且误差项的上界估计是最优的。

记号:

N为全体自然数集,R为全体实数集,C为全体复数集; Γ ( z ) 伽马函数;Landau符号, f ( x ) = O ( g ( x ) ) f ( x ) g ( x ) 是指存在常数 c > 0 ,使得 | f ( x ) | c g ( x ) p 表示p遍历所有素数并求乘积; f ( x ) g ( x ) 是指 lim x f ( x ) g ( x ) = 1

2. 预备知识

为了完成引理2.2的证明,我们需要下面的定义(参见 [12] )。令 f ( n ) 表示算术函数, F ( s ) f ( n ) 的Dirichlet级数,

F ( s ) : = n = 1 f ( n ) n s .

z C ω C α > 0 δ 0 A 0 B > 0 C > 0 M > 0 为常数, s = σ + i τ 。如果 F ( s ) 满足下列条件,则称其是 P ( z , ω , α , δ , A , B , C , M ) 型的:

(a) 对于任意的 ε > 0 ,有

| f ( n ) | ε M n ε ( n 1 )

-中的隐含常数只与 ε 有关。

(b) 当 σ > 1 时有

(c) Dirichlet级数

可以解析延拓成上的全纯函数,并且满足

此结果对一致成立。

我们需要如下引理来证明引理2.2,此引理为 [1] 的推论1.2。

引理2.1假设对任意的,Dirichlet级数型的,则有

此结果对,及一致成立,其中

O-符号中的隐含常数只依赖于A,B,

令引理2.1中的,我们得到如下结果。

引理2.2令是一个常数,对于任意的,有

,及一致成立,其中

证明:因为函数是可乘函数,当时,我们有

(2)

把公式(1)带入公式(2)中,可得

其中欧拉乘积

的Dirichlet级数是

,当时,函数是可乘函数,其在(p为素数,)的值可由下列公式给出

特别地,当时,对于所有的素数p有

因为当时函数收敛,所以该函数在时有最大值:

由Cauchy公式,当时有

所以的上界为

(3)

时,计算可得

再由公式(3)可得

这表明时收敛,且有上界:

其中

综合上述计算结果,我们可以得到Dirichlet级数

型的。

这样应用引理2.1我们可以得到引理2.2. □

注记:如果,则由引理2.2可以推出

一致成立,其中

在证明定理1.2时,我们还需要下面的Berry-Esseen不等式(可参见 [13] )。

引理2.3令F、G为两个分布函数,f、g分别为F、G的特征函数。假设G可导,且在R上有界。则有

对所有的都成立。其中

3. 定理1.1的证明

由Cauchy公式,可得

其中

由引理2.2,可得

(4)

其中

首先计算的主项M,令

其中

接下来计算,考虑两种情况。当时,因为时解,所以

将此结果代入公式(4),得到

时,因为时解析,所以,其中在点处的Taylor展开为

(5)

这样,我们只需分别估计上述公式(5)右侧的三项对的贡献即可。

第一项对的贡献为:

(6)

第二项对的贡献为:

(7)

时,有

因为当解析,所以上有上界,即存在一个常数,使得,容易计算出

由Stirling公式,第三项对的贡献为:

(8)

现在来估计的余项。我们有

,可得

将公式(6) (7)、(8)代入公式(4),即得定理1.1。

4. 定理1.2的证明

,记的特征函数,我们有

(9)

其中

,由引理2.3,计算得到下面结果:

所以我们只需要证明

(10)

时一致成立。

由引理2.2,设,则有

一致成立,其中是关于z的整数函数,且。令,则有

一致成立。

时,因为,所以有

由此可以推出一致成立。下面我们将分三种情况来证明公式(10)成立。

首先,当时,有

其次,当时,因为

则有

将上式代入公式(9),得到

由此可得,

最后,当时,由的Taylor展开:

可得

一致成立。计算可得

现在我们来证明定理1.2中的余项估计是最优的。定义

以及

,我们得到

(11)

由Stirling公式及定理1.1,可得

(12)

根据公式(11)及公式(12),可以求得

一致成立。由此可见,定理1.2中的余项估计是最优的。

参考文献

[1] Titchmarsh, E.C. (1951) The Theory of the Riemann Zeta-Function. Oxford University Press, Oxford.
[2] Landau, E. (1912) Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen. Göttinger Nachrichten, 687C771.
[3] Voronoi, G. (1903) Sur un probleme du calcul des fonctions asymptotiques. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1903, 241-282.
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[4] Karatsuba, A.A. and Voronin, S.M. (1992) The Riemann Zeta-Function. Springer, Berlin, New York.
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[6] Ivić, A. (1985) The Riemann Zeta-Function. John Wiley and Sons, New York.
[7] Ivić, A., Krätzel, E., Kühleitner, M. and Nowak, W.G. (2004) Lattice Points in Large Regions and Related Arithmetic Functions: Recent Developments in a Very Classic Topic. Elementary and Analytic Number Theory, Mainz, 25 October 2004, 1-39.
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https://doi.org/10.1007/s11139-013-9516-9
[11] Elliott, P.D.T.A. (2015) Corrigendum: Central Limit Theorem for Classical Cusp Forms. The Ramanujan Journal, 36, 99-102.
https://doi.org/10.1007/s11139-014-9629-9
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[13] Tenenbaum, G. (1995) Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Translated from the Second French Edition by C. B. Thomas. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46, Cambridge University Press, Cambridge, xvi + 448.