理论数学  >> Vol. 9 No. 10 (December 2019)

含Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程的无穷多解
Infinitely Many Solutions for Quasilinear Elliptic Equations with Φ-Laplacian Operator

DOI: 10.12677/PM.2019.910138, PDF, HTML, XML, 下载: 275  浏览: 363 

作者: 王明旻*, 贾 高:上海理工大学理学院,上海

关键词: 拟线性椭圆型方程凹凸非线性项喷泉定理Quasilinear Elliptic Equation Concave-Convex Nonlinearity Fountain Theorem

摘要: 本文利用喷泉定理讨论了一类具有Φ-Laplacian算子的拟线性椭圆型方程Dirichlet问题,在非线性项不满足(AR)条件的情况下,得到无穷多解的存在性。
Abstract: By using fountain theorem, we studied a class of the Dirichlet boundary value problems of quasilinear elliptic equation with Φ-Laplacian operator. Without the Ambrosetti-Rabinowitz con-dition, we obtained infinitely many weak solutions.

文章引用: 王明旻, 贾高. 含Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程的无穷多解[J]. 理论数学, 2019, 9(10): 1123-1131. https://doi.org/10.12677/PM.2019.910138

1. 引言

本文考虑如下带有Dirichlet边界的拟线性椭圆型方程存在无穷多解:

{ Δ Φ u = λ u τ 1 + f ( x , u ) , x Ω , u = 0 , x Ω , (1)

其中 Ω N 是一个具有光滑边界的有界区域, Δ Φ u = div ( ϕ ( | u | ) u ) 是Φ-Laplace算子, s s ϕ ( s ) 是奇函数, Φ ( t ) = 0 t ϕ ( s ) s d s f : Ω ¯ × 是连续函数, λ > 0

在过去几十年里,对具有Φ-Laplace算子的拟线性椭圆型方程解的存在性等相关问题得到了广泛研究,如文献 [1] [2]。并且这类方程有很好的物理背景,在偏微分方程、非牛顿流体、图像处理、等离子物理等领域有着广泛的应用。近年来,讨论无穷多解存在性的文章有很多,如文献 [3] [4],分别研究了方程和方程组解的存在性和多重性问题,其中具有代表性的结果是

{ div ( a ( | u | ) u ) = f ( x , u ) , x Ω , u = 0 , x Ω , (2)

作者Chung [5] 等利用山路定理和喷泉引理研究了问题(2)非平凡弱解和无穷解序列的存在性问题。

本文的目的是在没有(AR)条件的情况下得到问题(1)的无穷多解的存在性。

首先,给出函数 ϕ : ( 0 , + ) 满足下列假设:

( ϕ 1 ) t 0 时, t ϕ ( t ) 0 ,当 t 时, t ϕ ( t )

( ϕ 2 ) t ϕ ( t ) ( 0 , + ) 上严格增的;

( ϕ 3 ) 0 < l 1 ( t ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) m 1 < l 1 < ,其中 l = N l N l 0 < τ < l

( ϕ 4 ) 存在常数 μ 1 > 0 ,使得对任意的 a [ 0 , 1 ] t > 0 ,有

Φ ¯ ( a t ) Φ ¯ ( t ) + μ 1

其中 Φ ¯ ( t ) = m Φ ( t ) ϕ ( t ) t 2

进一步,假设 f : Ω ¯ × 是连续函数且满足下面条件:

( f 1 ) f满足次临界增长条件,即对任意的 ( x , t ) Ω × ,有

| f ( x , t ) | c 0 ( 1 + | t | q 1 )

其中 m < q < l c 0 > 0

( f 2 ) lim | t | F ( x , t ) | t | m = + 对几乎所有 x Ω 一致成立;

( f 3 ) 存在常数 μ 2 > 0 ,使得对任意的 a [ 0 , 1 ] ,有

F ¯ ( x , a t ) F ¯ ( x , t ) + μ 2 ( x , t ) Ω ×

其中 F ¯ ( x , t ) = t f ( x , t ) m F ( x , t ) F ( x , t ) = 0 t f ( x , s ) d s

( f 4 ) f ( x , t ) = f ( x , t ) ( x , t ) Ω ×

假设f在无穷远处m次超线性增长,即 ( f 2 ) ,但不满足(AR)条件(见文献 [6] ),这对我们解决问题造成了困难。为了克服这一困难,我们需要证明 ( C ) c 条件,从而利用喷泉定理,得到问题(1)的无穷多解的存在性。

本文的主要结果如下:

定理1.1:在满足 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 4 ) ( f 1 ) - ( f 4 ) 假设下,问题(1)对任意的 λ > 0 ,有无穷解序列 { u k } 满足

Ω Φ ( | u k | ) d x λ τ Ω | u k | τ d x Ω F ( x , u k ) d x k

2. 预备知识和基本引理

L Φ ( Ω ) = { u | u : Ω , Ω Φ ( | u ( x ) | ) d x < } ,在 L Φ ( Ω ) 上定义Luxemburg范数:

u Φ = inf k { k > 0 | Ω Φ ( | u ( x ) | k ) d x 1 }

W 1 , Φ ( Ω ) = { u | u L Φ ( Ω ) , D i u L Φ ( Ω ) , i = 1 , , n } ,在 W 1 , Φ ( Ω ) 上定义范数:

u 1 , Φ = u Φ + u Φ

W 0 1 , Φ ( Ω ) C 0 ( Ω ) W 1 , Φ ( Ω ) 中的闭包。设 Φ 满足 Δ 2 -条件,即 Φ ( 2 t ) K Φ ( t ) t 0 ,则 L Φ ( Ω ) W 1 , Φ ( Ω ) 是可分、自反的Banach空间(见文献 [7] )。

d Ω = d i a m ( Ω ) ,则对任意 u W 0 1 , Φ ( Ω ) ,有 Ω Φ ( u ) d x Ω Φ ( 2 d Ω | u | ) d x ,那么 u Φ 2 d Ω u Φ 。因此,定义在 W 0 1 , Φ ( Ω ) 上的范数 u : = u Φ 1 , Φ 等价。

Φ * 1 = 0 t Φ 1 ( s ) s N + 1 N d s ,且当 t < 0 时, Φ ( t ) = Φ ( t ) 。如果对于所有的 ν > 0 ,都有 lim t ϒ ( ν t ) Φ ( t ) = 0 ,则称函数 ϒ 在无穷远处比 Φ 增长得更慢,记 ϒ Φ 。如果 ϒ Φ ,则 。进一步,有 。在条件 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 下,有连续嵌入:

注记2.1:在条件 ( ϕ 3 ) 下,可推得下式成立:

l 2 ϕ ( t ) t ϕ ( t ) m 2 l ϕ ( t ) t 2 Φ ( t ) m t > 0

下面给出本文需要的几个基本引理。

引理2.2 [1]:设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 成立,对所有的 t 0 ,令

η 1 ( t ) = min { t l , t m } η 2 ( t ) = max { t l , t m }

则对于任意 ρ , t > 0 u L Φ ( Ω ) ,成立

η 1 ( t ) ϕ ( ρ ) ϕ ( ρ t ) η 2 ( t ) ϕ ( ρ ) η 1 ( u Φ ) Ω Φ ( u ) d x η 2 ( u Φ )

定义2.3: 设 ( X , ) 是实Banach空间, I C 1 ( X , ) ,我们说泛函在水平 c 处满足Cerami条件(简称 ( C ) c 条件)是指:如果对任意序列 { u n } X ,当 n 时,有 I ( u n ) c ,且 I ( u n ) ( 1 + u n ) 0 ,那么 { u n } 在X中存在收敛的子序列。

引理2.4 [8]:设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 成立,则 Δ Φ ( S + ) 型算子,即对任意给定序列 { u n } W 0 1 , Φ ( Ω ) ,若 u n u ,且 lim sup n Δ Φ u n , u n u 0 ,则在 W 0 1 , Φ ( Ω ) 中有 u n u

为了证明主要结果需要使用下列的喷泉定理(见文献 [9] )。

设X为可分自反的Banach空间,存在 { e j } X { e j } X ,使得

X = span { e j : j = 1 , 2 , } ¯ X = span { e j : j = 1 , 2 , } ¯

e j , e j = { 1 , i = j , 0 , i j .

X j = span { e j } ,对任意的 k ,定义 Y k = j = 1 k X j Z k = j = k X j ¯

引理2.5: (喷泉定理)设X是可分的自反实Banach空间, I C 1 ( X , ) 是偶泛函,如果对任意的 k ,存在 ρ k > r k > 0 ,使得

i) a k : = inf u Z k , u = r k I ( u ) + k

ii) b k : = max u Y k , u = ρ k I ( u ) 0

iii) 对任意 c > 0 ,I满足 ( C ) c 条件;

则I有一列趋于无穷的临界点,即存在序列 { u k } X ,使得 I ( u k ) = 0 ,且 I ( u k ) k

问题(1)对应的能量泛函为 I λ : W 0 1 , Φ ( Ω )

I λ ( u ) = Ω Φ ( | u | ) d x λ τ Ω | u | τ d x Ω F ( x , u ) d x (3)

在基本假设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 4 ) ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立前提下,容易验证(3)是有意义的,且

I λ ( u ) v = Ω ϕ ( | u | ) u v d x λ Ω | u | τ 2 u v d x Ω f ( x , u ) v d x v W 0 1 , Φ ( Ω )

因此,寻找问题(1)的弱解等价于求 I λ 的临界点。

3. 主要结果的证明

引理3.1:设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 4 ) ( f 1 ) - ( f 3 ) 成立,则对任意的 c > 0 ,泛函 I λ 满足 ( C ) c 条件。

证明:设 ( C ) c 序列 { u n } W 0 1 , Φ ( Ω ) ,满足

I λ ( u n ) c n (4)

I λ ( u n ) ( 1 + u n ) 0 n (5)

由(4)、(5)可得

I λ ( u n ) + o ( 1 ) = c (6)

I λ ( u n ) , v = o ( 1 ) (7)

首先,证明序列 { u n } W 0 1 , Φ ( Ω ) 有界。事实上,如果 { u n } W 0 1 , Φ ( Ω ) 无界,则存在子序列(仍记为其本身),使得

lim n u n = ,且 u n > 1 n

w n : = u n u n n = 1 , 2 , ,则 { w n } W 0 1 , Φ ( Ω ) w n = 1 n ,因此,存在子列(仍记为其本身),

w n w (在 W 0 1 , Φ ( Ω ) 中), (8)

w n w (在 L q ( Ω ) 中), (9)

w n w a . e . x Ω (10)

我们断言 w n 0 a.e. x Ω 。事实上,令 Ω 0 = { x Ω | w ( x ) 0 } ,假设 m e a s ( Ω 0 ) > 0 ,那么,对给定的 x Ω 0 ,由(6)推得 | u n ( x ) | = | w n ( x ) | u n ( x ) n 。由 ( f 2 ) 可得

F ( x , u n ) u n m = F ( x , u n ) | u n | m | w n | m n

且存在 t 0 > 0 ,使得对任意的 x Ω ,当 | t | > t 0 > 0 时,有

F ( x , t ) | t | m > 1 (11)

因为 F ( x , t ) Ω ¯ × [ t 0 , t 0 ] 上连续,所以存在 c 1 > 0 ,使得对任意的 ( x , t ) Ω ¯ × [ t 0 , t 0 ] ,有

| F ( x , t ) | c 1 (12)

因此,由(11)、(12)式知,存在 c 2 > 0 ,使得 F ( x , t ) c 2 F ( x , u n ) c 2 u n m = F ( x , u n ) c 2 | u n | m | w n | m 0

根据(6)式,有

c + o ( 1 ) = I λ ( u n ) = Ω Φ ( | u n | ) d x λ τ Ω | u n | τ d x Ω F ( x , u n ) d x

再结合引理2.2和 u n > 1 推得

lim _ n Ω F ( x , u n ) u n m d x = lim _ n Ω Φ ( | u n | ) d x λ τ Ω | u n | τ d x ( c + o ( 1 ) ) u n m lim _ n Ω Φ ( | u n | ) d x ( c + o ( 1 ) ) u n m lim _ n u n m ( c + o ( 1 ) ) u n m

由Fatou引理,可得

= Ω 0 lim _ n F ( x , u n ) c 2 u n m d x lim _ n Ω 0 F ( x , u n ) c 2 u n m d x = lim _ n Ω 0 F ( x , u n ) u n m d x lim ¯ n c 2 Ω 0 1 u n m d x lim _ n Ω F ( x , u n ) u n m d x 1

上式是一个矛盾的结论。故 w n 0 a.e. x Ω

因为对任意的 n ,当 t [ 0 , 1 ] 时, I λ ( t u n ) 连续,则存在,使得

I λ ( t n u n ) = max t [ 0 , 1 ] I λ ( t u n )

由(7)式知, I λ ( t n u n ) , t n u n 0 n

一方面,取序列 { s k } ,使得对任意的 k ,有 s k > 1 ,且 lim k s k = ,则对任意的 k , n ,有

s k w n = s k > 1

根据 ( f 1 ) 和(9)知, lim n Ω F ( x , s k w n ) d x c 3 lim n Ω ( s k | w n | + s k q | w n | q ) d x = 0 ,那么,

lim n Ω F ( x , s k w n ) d x = 0

由于 lim n u n = ,所以当n足够大时,有 u n > s k ,即 0 < s k u n < 1

于是结合引理2.2,

I λ ( t n u n ) = max t [ 0 , 1 ] I λ ( t u n ) I λ ( s k u n u n ) = I λ ( s k w n ) = Ω Φ ( | s k w n | ) d x λ τ Ω s k | w n | τ d x Ω F ( x , s k w n ) d x min { s k w n l , s k w n m } λ τ Ω s k | w n | τ d x Ω F ( x , s k w n ) d x 1 2 s k w n l = 1 2 s k l (13)

θ ( τ l , + ) ,则 I λ ( t n u n ) 1 2 u k l θ

另一方面,由条件 ( f 3 ) ( ϕ 4 ) 和(4)、(7)式,当n充分大时,有

I λ ( t n u n ) = I λ ( t n u n ) 1 m I ( t n u n ) , t n u n + o ( 1 ) = 1 m Ω Φ ¯ ( | t n u n | ) d x + 1 m Ω F ¯ ( t n u n ) d x + λ ( 1 m 1 τ ) Ω | t n u n | τ d x + o ( 1 ) 1 m Ω ( Φ ¯ ( | u n | ) + μ 1 ) d x + 1 m Ω ( F ¯ ( x , u n ) + μ 2 ) d x + o (1)

= ( Ω Φ ( | u n | ) d x Ω F ( x , u n ) d x ) 1 m ( Ω ϕ ( | u n | ) | u n | 2 d x Ω f ( x , u n ) u n d x ) + μ 1 + μ 2 m | Ω | + o ( 1 ) = I λ ( u n ) 1 m I λ ( u n ) , u n + λ ( 1 τ 1 m ) Ω | u n | τ d x + μ 1 + μ 2 m | Ω | + o ( 1 ) c + c 4 u n τ + μ 1 + μ 2 m | Ω | + o (1)

结合(13)式,有

1 2 u k l θ c 4 u n τ c + μ 1 + μ 2 m + o ( 1 )

因为 l θ > τ ,当 n n k k 时,从上式可得 + c ¯ ,矛盾。故 { u n } W 0 1 , Φ ( Ω ) 中有界,则存在子列(仍记为其本身),有

u n u (在 W 0 1 , Φ ( Ω ) 中), (14)

u n u (在 L q ( Ω ) 中), (15)

u n u a . e . x Ω (16)

取测试函数 v = u n u 代入(7)式中,再结合(14)、(15)式、Hölder不等式和Sobolev嵌入定理,可得

Ω ϕ ( | u n | ) u n ( u n u ) d x = λ Ω | u n | τ 2 u n ( u n u ) d x + Ω f ( x , u n ) ( u n u ) d x + o ( 1 ) λ u n L τ ( Ω ) τ 1 u n u L τ ( Ω ) + c 5 u n L q ( Ω ) q 1 u n u L q ( Ω ) + c 6 u n u L 1 ( Ω ) + o ( 1 ) 0, n

于是得到

lim sup n Δ Φ u n , u n u 0 (17)

Δ Φ 算子满足 ( S + ) 型条件。因此,由引理2.4、(14)和(17)式,推得在 W 0 1 , Φ ( Ω ) 中,。证毕。

引理3.2 若 m < q < l ,则下式成立 α k : = sup { u L q ( Ω ) : u = 1 , u Z k } 0 , k

证明:显然,对任意的 k ,有 0 < α k + 1 α k ,则当 k 时,。

u k Z k ,使得 u k = 1 ,且 0 α k u k L q ( Ω ) < 1 k 。由此, { u k } 存在子列(仍记为其本身),使得在 W 0 1 , Φ ( Ω ) u n u ,且 e j , u = lim k e j , u k = 0 j = 1 , 2 ,

由于 Z k W 0 1 , Φ ( Ω ) 的闭集,那么对任意的 k u Z k ,可推得在 W 0 1 , Φ ( Ω ) u n 0 。又由 是紧的,则在 L q ( Ω ) u n 0 。故 lim k α k = 0 。证毕。

引理3.3 在 ( f 1 ) ( f 2 ) 假设下,对任意的 k ,存在 ρ k > r k > 0 ,使得

i) a k : = inf u Z k , u = r k I λ ( u ) + k

ii) b k : = max u Y k , u = ρ k I λ ( u ) 0

证明:i) 对任意的 u Z k ,当 u > 1 时,由引理2.2和 ( f 1 ) ,有

I λ ( u ) = Ω Φ ( | u | ) d x λ τ Ω | u | τ d x Ω F ( x , u ) d x min { u l , u m } λ τ Ω | u | τ d x c 6 Ω ( | u | + | u | q ) d x u l λ τ u τ c 7 α k q u q c 8 u

其中 α k : = sup { u L q ( Ω ) : u = 1 , u Z k } 。取 u = r k = ( 2 c 7 α k q ) 1 l q ,则

I λ ( u ) ( 2 c 7 α k q ) l l q λ τ r k τ c 7 α k q ( 2 c 7 α k q ) q l q c 9 r k = 1 2 ( 2 c 7 α k q ) l l q λ τ r k τ c 9 r k = 1 2 r k l λ τ r k τ c 9 r k

由引理3.2知, lim k α k = 0 ,又 q > l > τ > 1 ,因此, lim k r k = + 。故 lim k a k : = inf u Z k , u = r k I λ ( u ) = +

证毕。

ii) 根据 ( f 2 ) ,对任意的 M > 0 ,存在 C M > 0 (依赖于M),使得

F ( x , s ) M | s | m C M ( x , s ) Ω ×

h Y k ,且 h = 1 t > 1 ,则

I λ ( t h ) = Ω Φ ( | t h | ) d x λ τ Ω | t h | τ d x Ω F ( x , t h ) d x max { t l h l , t m h m } λ τ Ω | t h | τ d x M Ω | t h | m d x + C M | Ω | t m ( h m M h L m ( Ω ) m ) + C M | Ω |

当M充分大时, h m < M h L m ( Ω ) m 。因此, lim t I λ ( t h ) = 。于是,存在足够大的 t ¯ > r k > 1 ,使得 I λ ( t ¯ h ) 0

ρ k = t ¯ ,则 b k : = max u Y k , u = ρ k I λ ( u ) 0 。证毕。

定理1.1的证明:首先,由引理3.1和引理3.3知泛函 I λ 满足喷泉定理的(i)-(iii)假设;再由 ( f 4 ) I λ 为偶泛函。因此,应用喷泉定理,推得在 W 0 1 , Φ ( Ω ) 中临界点序列 { u k } 满足 I λ ( u k ) k 。证毕。

NOTES

*通讯作者。

参考文献

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