1. 引言
考虑如下具有功能反应的Leslie型捕食者–食饵系统 [1] :
(1)
其中,
,表示捕食者的摄取率作为食饵密度的函数 [2]。
,对所有的
,使得
,因此,对于所有的
,有
。x表示食饵种群的密度;y表示捕食者种群的密度;r和s都是正数,分别表示食饵和捕食者的内在增长率;
,表示食饵的环境承载力;
是支撑一个捕食者所需的食饵数量。根据生态系统的意义,我们在区域
上讨论 [3]。
近几年来,Jicai Huang等人研究了由Holling III型功能反应产生的Leslie型捕食者–食饵系统的分支 [1]。Claudia Valls等人研究了修正的Leslie-Gower模型的非线性震荡 [4]。Yanfei Dai等人研究了由Holling III型功能反应产生的Leslie型捕食者–食饵系统的四个极限环 [2]。本文研究具有功能反应的Leslie型捕食者–食饵系统的弛豫振荡。
对系统(1)作变换:
(2)
将
仍记为
,则系统(1)可以化为:
(3)
2. 研究背景
2.1. 系统(3)的平衡点分析
对于任意的参数,系统(3)有一个双曲鞍点
,它是一个边界平衡点。这个边界平衡点的生态学解释是:当缺乏捕食者时,食饵种群达到它的环境承载能力 [5]。研究系统(3)的正平衡点个数,我们能够得到下面的结论。
引理2.1:令
,和
。
1) 如果
,则系统(3)有一个基本的正平衡点;
2) 如果
,并且
2.1)
,则系统(3)有两个不同的正平衡点:一个是基本的正平衡点,另一个是退化的正平衡点;
2.2)
,则系统(3)有一个正平衡点,并且为退化的正平衡点;
3)如果
,且
,则系统(3)有三个不同的基本的正平衡点。
2.2. 入–出函数
考虑慢–快平面系统:
(4)
其中,
是状态–空间变量,
表示时间尺度的比例,且
。假设函数f和g是足够平滑的,并且满足下列条件:
(5)
当
时,解从点
开始,其中,
,解快速地被吸引到x轴,然后沿着x轴向右漂移,最后被x轴排斥。它在x轴上的一点
重新相交于直线
。当
时,
。其中
由下面的公式决定。
(6)
函数
被式(6)隐式地定义,函数
被称为入–出函数 [6]。
2.3. 极限系统的动力学
考虑慢–快系统,根据几何奇异摄动理论 [7] 知,系统(3)是慢–快系统的快时间尺度公式。令
,得到慢–快系统的慢时间尺度公式为:
(7)
令,当
时,有
。从而得到:
(8)
系统(8)有一个平凡平衡点
,和一个边界平衡点
。令
,得到相关联的快系统为:
(9)
系统(9)具有快零点曲线
,和慢零点曲线
。零点曲线不依赖于
。在式(8)和式(9)中,令
,分别得到慢–快系统的慢子系统和快子系统:
(10)
和
(11)
慢子系统(10)的动力学受限于y轴和临界曲线:
(12)
对于快子系统(11),y轴和临界曲线
由平衡点组成。
3. 弛豫振荡
令
和
,则(9)变为:
(13)
注意:(a)对于任意的
,
。即对于
,在y轴正轴上有
。其中在
处,
从负数变为正数。即对于快子系统(11),当通过曲线
时,y轴正轴从排斥变为吸引。
(b)当
时,有
。其中,
为一般的折点,
,
。
基于上述分析,我们得到下面的结果。
引理3.1:对于系统(13),存在唯一的
(
),使得
(14)
引理3.1的证明:在系统(13)中,对于
,有
(15)
和
(16)
并且有
(17)
和
(18)
综上可得,存在唯一的
(
),使得
引理得证。
对于
附近的
,我们定义
(
),由公式
,得到
。
命题3.2:如果
,且
是充分小的参数,
是
的一个充分小的邻域,则系统(9)通过
的解首先与直线
相交于点
。在
拓扑中,当时,
。
定理3.3:对于一个固定的参数
,使得
和
,在S中,存在一个邻域U,使得对于小参数
,系统(13)在U中有唯一的闭轨
,
是双曲吸引的,并且在Hausdorff拓扑 [8] 中,当
时,
接近于S。
定理3.3的证明:利用Fenechel理论 [9] 描述抛物线吸引部分附近的流动,文献 [10] 中分析了抛物线折点附近的流动。对于小参数
,我们利用式(9)定义映射
。其中,
是
的一个充分小的邻域。由文献 [11] 得知,存在常数
,使得
的 C1 范数是
的阶。则对于小参数
,我们利用
定义
。利用
定义庞加莱映射
。由命题3.3和上述分析得,
是一个收缩映射。
致谢
感谢审稿老师及编辑老师提出的宝贵意见。