1. 引言和主要结果
早在19世纪末20世纪初,Brunn-Minkowski理论开始逐渐进入人们的视野。从1962年开始,Brunn-Minkowski理论逐渐进入
Brunn-Minkowski理论阶段(见 [1] ),在经过Lutwak (见 [2] [3] )等的基础性工作之后,
Brunn-Minkowski理论得到迅速的发展(见 [4] - [10] )。最近,在Lutwak Yang和Zhang等人的开创性研究(见 [11] [12] )和近期的一系列探究性工作(见 [13] [14] [15] )的推动下,凸体的经典Brunn-Minkowski理论(见 [16] [17] [18] [19] ) (包括
Brunn-Minkowski理论(见 [20] ))已被推广到Orlicz-Brunn-Minkowski理论之中。
设
和B分别表示n维欧式空间
中的单位球面和标准单位球,用
表示
中所有凸体(非空内点的紧凸集)构成的集合,
,
分别表示
中以原点为内点和关于原点对称的所有凸体构成的集合。
表示k维体积,且记
。在
中,一个紧的星形(关于原点) K的径向函数
被定义为:对
,
。当
是一个正的连续函数时,称K是一个星体(关于原点)。设
为
中所有星体(支撑上有连续径向函数的关于原点的星形集)构成的集合,用
表示
中以原点为内点的所有星体构成的集合。如果
且
与
无关,则称K和L互为膨胀。显然,当
时,
当且仅当
(1.1)
若
,就有
(1.2)
一般地,根据径向函数的定义可得:若
,则K的象
的径向函数为(见 [16] [21] )
(1.3)
其中
表示一般的非奇异线性变换群,
为T的逆变换。
关于凸体仿射均质积分的概念,Lutwak (见 [22] )已给出了明确的定义:如果
,
,
,那么当
时,凸体K的仿射均质积分被定义为
其中
和
分别表示
中i维线性子空间的Grassman流形(且
),
上规范Haar测度和K在i维子空间
上正交投影的i维体积。
在文献 [23] 中,Lutwak进一步给出对偶仿射均质积分的定义:如果
,
,
,那么对于
,星体K的对偶仿射均质积分被定义为
(1.4)
其中
表示K与i维子空间
交的i维体积。
随后,袁俊(见 [9] )给出混合p次对偶仿射均质积分的概念:如果
,
,那么对于
,混合p次对偶仿射均质积分被定义为
(1.5)
其中
。当
时,
可记为对偶混合仿射均质积分
。当
时,就有
,
。
在此基础上,袁俊(见 [9] )给出了如下两个重要的不等式:
定理A:如果
,且
,那么当
时,
(1.6)
等号成立当且仅当K是L的膨胀。
定理B:如果
,且
,那么
(1.7)
等号成立当且仅当K是L的膨胀。
设
是所有严格增的凹函数
所构成的集合,且使得
和
。
文献 [14] 和 [15] 各自独立地给出了如下的对偶Orlicz混合体积
的公式:对于
,
,对偶Orlicz混合体积
为
(1.8)
其中S是
上的Lebesgue测度。当
时,对于
,对偶Orlic混合体积
变为p次对偶混合体积,即
本文提出了如下对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义,从而推广了混合p次对偶仿射均质积分的概念。在此基础上,讨论了对偶Orlicz混合仿射均质积分的一些性质,建立了对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Minkowski不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式。
首先,提出对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义。
定义1.1:设
,
。如果
,那么对每一个
,对偶Orlicz混合仿射均质积分被定义为
(1.9)
其中
表示
和
的i维对偶Orlicz混合体积。
当
时,对偶Orlicz混合仿射均质积分(1.9)变为袁俊(见 [9] )的混合p次偶仿射均质积分(1.5)。
其次,获得了对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Minkowski不等式。
定理1.2:如果
,
,那么对每一个
,
(1.10)
等号成立当且仅当K和L互为膨胀。
最后,利用定理1.2,建立了可推出对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Brunn-Minkowski不等式。
定理1.3:如果
,
且
。那么对每一个
,
(1.11)
等号成立当且仅当K和L互为膨胀(径向Orlicz线性组合
的定义请见第二节(2.2))。
2. 预备知识及引理
如果
,
,那么径向Minkowski线性组合,
,被定义为
当
,
时,
由此,易得
对于
,在
上定义径向Hausdorff度量为
若当
,
。则星体列
收敛于K。这意味着当且仅当
一致收敛于
时,序列
收敛于K。
一个紧的星形K的n维体积的极坐标公式是
(2.1)
最近,Gardner(见 [14] )等人给出了径向Orlicz线性组合
的定义:设
,如果
,
,那么对任意
,径向Orlicz线性组合
被定义为
(2.2)
并有
,由(2.2)可以知道,
在
上是Borel可测的。
等价地,设
,如果
,
,那么对于任意
,径向Orlicz线性组合
亦可定义为
(2.3)
那么,当
时,
。
引理2.1:设
,
,如果
,那么对于
,
证明:对于任意
,由等式(1.3)和径向Orlicz线性组合的定义(2.2),得
引理2.2:设
,
,且
,如果
,那么对于
,
证明:设
是任意固定的,记
。对于
和
,有
。由此,利用
的定义,对
,可得
另一个方面,利用
上
的定义,可得
因此,在
中,
和
是同一个星体。
Gardner (见 [14] )等证明了如下对偶Orlicz混合体积的对偶Orlicz-Minkowski不等式。
引理2.3:如果
,
,那么
等号成立当且仅当K和L互为膨胀。
3. 主要结果的证明
首先获得了对偶Orlicz混合仿射均质积分的一些基本性质。
性质3.1:如果
,
,那么
1)
。
2)
。
3) 如果
,那么
。
4) 当
时,
。
我们只给出性质(4)的证明。
证明:设
,记
。如果
,则对于
,
,有。当时,记,利用对偶Orlicz混合体积(1.8)和等式(1.3),使得当,时,可得
由此,当时,根据对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义,可得
设,规范化的仿射均质积分的对偶conical测度可被定义为
(3.1)
其中,是上的Haar测度。显然,规范化的仿射均质积分的对偶conical测度是上的一个概率测度。
定理1.2的证明:利用对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义(1.9),对偶仿射均质积分的定义(1.4),引理2.3,Jensen不等式(见 [14] ),Höld不等式以及严格增的凹函数,可得
则所需不等式成立。
若上述不等式的等号成立,由于是严格增的函数,则对偶Minkowski不等式的等号成立。因此存在使得,从而对任意,有。
反之,当时,利用对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义(1.9),可得
当时,对偶Orlicz混合仿射均质积分的对偶Orlicz-Minkowski不等式(1.10)变为袁俊(见 [9] )的混合p次对偶仿射均质积分的Minkowski不等式(1.6)。
推论3.2:设,,且。如果
(3.2)
或者
(3.3)
则。
证明:若(3.2)成立,令,根据,对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义(1.9),以及对偶仿射均质积分的定义(1.4),得到
由此,利用定理1.2,可得
等号成立当且仅当K和L互为膨胀。因为在上是严格增的,则
等号成立当且仅当K和L互为膨胀。如果取,类似地,可得,等号成立当且仅当K和L互为膨胀。因此,。由于K和L具有相同的对偶仿射均质积分,则。
若(3.3)成立,如果令,根据,对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义(1.9),以及对偶仿射均质积分的定义(1.4),得到
根据定理1.2,就有
等号成立当且仅当K和L互为膨胀。因为在上是严格增的,则
等号成立当且仅当K和L互为膨胀。如果取,类似地,可得,等号成立当且仅当K和L互为膨胀。因此,。由于K和L具有相同的对偶仿射均质积分,则。
为了证明定理1.3,我们还需以下引理:
引理3.3:设,。
1) 如果K和L互为膨胀,那么对于,K和互为膨胀。
2) 设,如果K和互为膨胀,则K和L互为膨胀。
证明:为了证明(1),假设存在常数,使得。令。径向Orlicz线性组合的定义表明函数为
的唯一解。
另一方面,存在使得
这意味着
因此,。
为证明(2),假设存在常数使得。于是对任意,有
这表明,对于,
是一个常数。由的性质可知和L互为膨胀。
定理1.3的证明:为方便起见,令
于是,当时,利用引理2.2,可得
对于,的定义表明
(3.4)
因此,利用,对偶仿射均质积分的定义(1.4),(3.4)式,Minkowski不等式以及定理1.2,可得
从而所需不等式得证。根据定理1.2和引理3.3,定理1.3等号成立的条件可立即得出。
当时,对偶Orlicz混合仿射均质积分的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式(1.11)变为袁俊(见 [9] )的对偶仿射均质积分的Brunn-Minkowski不等式(1.7)。