基于质量守恒的高压油管压力控制问题研究

Research on Pressure Control of High Pressure Oil Pipe Based on Mass Conservation

摘要: 为了研究高压油管内压力的稳定问题，基于质量守恒原理，本文运用燃油量周期不变、周期分割、压力按周期等量划分的思想，建立了质量守恒模型。首先通过拟合弹性模量和压力的关系，建立密度与压力的微分方程。再计算进油量，根据质量守恒方程求得单向阀每次开启时长。根据不同调整时间算出喷油器工作周期数，得出2 s、5 s、10 s下每次单向阀开启时长。根据考虑柱塞腔与针阀控制的高压燃油系统工作原理，考虑在1 s的总时长下，高压油管的压力保持稳定，求出单周期下的喷油量。对于供油柱塞，计算得到下止点时充满柱塞腔的燃油质量。最后根据质量守恒求得周期数，得到凸轮角速度。

Abstract: In order to study the stability of high pressure oil pipe pressure, based on the principle of mass conservation, a mass conservation model is established by using the idea of fuel quantity period constant, period segmentation and pressure division by period. Firstly, the differential equation of density and pressure is established by fitting the curve of elastic modulus and pressure. After that we calculate the oil inflow together with the length of each check valve by using the mass conservation equation. According to the different adjustment time, the number of working cycles of the injector is also calculated, hence the length of each check valve opening is obtained for 2 s, 5 s and 10 s, respectively. In the light of the working principle of the high-pressure fuel system, the plunger chamber and the needle valve control, it is considered that the pressure of the high-pressure fuel pipe is kept stable under the total length of 1 s, while the fuel injection amount in a single cycle is obtained. For the oil supply plunger, the fuel mass filled in the plunger chamber at the bottom dead center is also obtained. Finally, the number of cycles is computed following the conservation of mass, and further the cam angular velocity is obtained.

1. 引言

高压油管的用途十分广泛，在发动机输送高压燃油的过程中起着不可忽视的作用，对于许多燃油发动机来说，其工作基础是燃油的进入和喷出高压油管两个过程；而本文就高压油管的工作原理对高压油管内压力问题进行一系列研究，为今后燃油发动机的运用提供了一定的参考价值。已知简化的某高压燃油系统的工作原理为燃油经过高压油泵从供油入口小孔A进入高压油管，再从喷油嘴B喷出。而在燃油进入和喷出的过程中可导致高压油管压力变化，使得喷口B喷出的燃油量出现偏差。

不考虑柱塞腔与针阀控制的高压燃油系统(如图1所示)。

Figure 1. High pressure oil pipe schematic

图1. 高压油管示意图

已知某高压油管规格参数：内腔长度为500 mm，内直径为10 mm，小孔A直径为1.4 mm；现有一个单向阀开关用于控制供油时间的长短，单向阀每打开一次后关闭10 ms；喷油器1 s工作10次，1次工作2.4 ms，且给出喷油器工作的喷油速率示意图；已知供油入口A的压力恒为160 MPa，高压油管的初始压力为100 MPa。此时需要设置单向阀每次开启的时长，使得高压油管内的压力尽量稳定在100 MPa左右；调整单向阀开始时长，使得高压油管在分别经过2 s、5 s、10 s的调整后从100 MPa增加并稳定在150MPa。

考虑柱塞腔与针阀控制的高压燃油系统，增加柱塞腔和针阀的高压油管更为贴切实际生活。已知柱塞腔直径为5 mm，在柱塞腔内，柱塞会上下运动，当其运动到上止点时，柱塞腔残余容积为20 mm³，运动到下止点时，低压燃油会注满柱塞腔，且压力为0.5 MPa。喷嘴结构：针阀直径为2.5 mm、密封座是半角为9˚的圆锥，喷孔直径为1.4 mm。当针阀升程h = 0时，针阀关闭；当针阀升程h > 0时，针阀开启，燃油即可喷出。在高压油管规格参数给定的条件下，确定凸轮的角速度，使得高压油管的压力稳定在100 MPa左右。

针对上述两种情况，根据高压油管内燃油压力状态问题 [1] [2] [3]，本文以建立质量守恒模型为中心，分别通过设置单向阀开启时长、确定柱塞腔内凸轮角速度来控制高压油管压力稳定问题。

2. 数据来源与模型假设

本文使用数据为：凸轮边缘曲线、针阀运动曲线、弹性模量与压力的关系；数据来源于2019高教社杯全国大学生数学建模竞赛[http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/b0ae8510b9ec0cc0deb2266d2de19ecb.html]。且已知：

1) 燃油的压力变化量与密度变化量成正比，比例系数为 $E/\rho$，其中ρ为燃油密度，当压力为100 MPa时，燃油的密度(记为 ${\rho }_{100}$ )为0.850 mg/mm³，E为弹性模量；

2) 进出高压油管的流量为 $Q=C{S}_{small}\sqrt{2\Delta \rho /\rho }$，其中Q为单位时间流过小孔的燃油量(mm³/ms)，C = 0.85为流量系数， $S_{small}$ 为小孔的面积(mm²)， $\Delta P$ 为小孔两边的压力差(MPa)，ρ为高压侧燃油的密度(mg/mm³)。

为了简化模型，本文做以下假设：

a) 喷油器在每个周期内的工作时长相等；

b) 初始压力下，高压油管内充满燃油；

c) 当高压燃油进入高压油管内时，高低压燃油充分混合，其密度瞬间分布均匀；

e) 喷油口喷出的燃油压力始终为100 MPa；

f) 凸轮转速均匀；

g) 不考虑油温对压力的影响。

3. 不考虑柱塞腔与针阀控制的高压燃油系统处理模型

3.1. 高压油管压力稳定在100 MPa

第1步：二次多项式拟合

根据已知条件(1)，利用弹性模量E与压力P的关系数据，对其进行二次多项式拟合(如图2所示)，得到弹性模量E与压力P之间的关系式如下：

$E=f\left(P\right)=a{P}^2+bP+c$ (1)

求得a = 0.029，b = 3.077，c = 1572。

Figure 2. E-P fitting curve

图2. E-P拟合曲线图

由图2可知，原始点的数据和拟合后的表达式的曲线拟合效果很好，拟合的二次多项式残差较小，且二次多项式便于后续计算。

第2步：建立一阶线性微分方程

由已知条件(1)可知，燃油压力变化量和密度变化量成正比，且给出两者的比例系数为 $E/\rho$，得到下式：

$\frac{\text{d}P}{\text{d}\rho }=\frac{E}{\rho }$ (2)

已知 ${\rho }_{100}=0.85\text{mg}/{\text{mm}}^{\text{3}}$。通过求解微分方程得出燃油密度ρ与压力P之间的关系：

$\rho =g\left(P\right)=0.7765{\text{e}}^{0.1523\arctan \left(0.0044P+0.2343\right)}$ (3)

如图3所示：

Figure 3. The plot of fuel density versus pressure

图3. 燃油密度ρ随压力P变化图

第3步：确定燃油流量Q与压力P的关系

根据已知条件(2)可知，燃油在高压油管的流量如(4)式所示，因为要保持高压油管内的压力稳定在100 MPa左右，且高压油泵A处的压力恒为160 MPa，故小孔A处两边的压力差 $\Delta P=60\text{MPa}$ 应保持不变。

$Q=C{S}_{small}\sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho }}$ (4)

式中，C = 0.85为流量系数， $S_{small}=0.49\pi {\text{mm}}^{\text{2}}$ 为小孔面积， $\Delta P=60\text{MPa}$ 为小孔A两边的压力差。由此可得到流量Q随压力P变化图，如图4所示。

第4步：构建燃油质量守恒模型

通过(3)式可得到的燃油密度ρ与压力P的关系式，可以求得 ${\rho }_{160}=0.8710$ (即160 MPa时的燃油密度，下同)；由假设可知，喷油器1秒工作10次，考虑以100 ms为一个周期，于是只需计算一个周期内单向阀开启的时长 $t_{100}$ (表示100 MPa时的时长，下同)。燃油从高压油泵进入和从喷油嘴流出的质量守恒，即：

${\rho }_{160}{Q}_{100}{t}_{100}={\rho }_{100}{V}_s$ (5)

通过题中给出的喷油速率示意图，可知梯形分布的面积即为喷油量 $V_s$，得 $V_s=44{\text{mm}}^{\text{3}}$，根据(4)式可求得高压油管内压力为100 MPa时进入的燃油流量 $Q_{100}=15.3584$。然后，将 ${\rho }_{160}=0.8710$ 、 $Q_{100}=15.3584$ 、 ${\rho }_{100}=0.850$ 、 $v_s=44$ 代入(5)式中，得到 $t_{100}=2.7958\text{ms}$。

Figure 4. The plot of fuel flow rate versus pressure

图4. 流量Q随压力P变化图

第5步：稳定性分析

已计算出每个周期内的供油时长为2.7958 ms，根据高压油管内的压力随时间变化稳定在100 MPa左右，可知

$\rho \left(t\right)-{\rho }^0=\frac{{\rho }_t{Q}_{in}t-{\rho }^0{\displaystyle {\int }_0^{2.7958}{V}_{out}\left(t\right)\text{d}t}}{V}$ (6)

式中t从0到2.7958 ms以步长0.01 ms递增，ρ⁰表示高压油管内初始密度 ${\rho }^0=0.850\text{mg}/{\text{mm}}^{\text{3}}$，由(3)式和(6)式可算出P(t)，其随t变化图如图5所示。

(a) (b)

Figure 5. (a) Oil supply and injection rate and (b) Pressure in the high pressure fuel pipe with the changing time

图5. (a) 供油和喷油速率及(b) 高压油管内的压力P随时间t的变化图

由图5(a)可知，当t < 0.16 ms时，喷油速率小于供油速率，高压油管内的压力大于100 MPa并持续增大，在t = 0.16 ms达到最大值；当0.16 ms < t < 2.25 ms时，喷油速率大于供油速率，高压油管内的压力开始下降，并在t = 2.25 ms达到最小值；当t > 2.25 ms时，喷油速率再次小于供油速率，高压油管内的压力再次增大。图5(b)所示与之吻合。此外，由图5(b)可知，高压油管内压力最大值与最小值的差不到0.6 MPa，压力基本稳定在100 MPa，符合题中要求，表明该模型稳定性较好。

3.2. 高压油管压力从100 MPa增加并稳定在150 MPa

要求分别经过2 s、5 s、10 s的调整时间使压力稳定在150 MPa，而调整时间恰好是周期100 ms的整数倍，根据上述稳定性分析的思路，把压力总增量 $\Delta P=50\text{MPa}$ 等分成若干周期增量 $\Delta P_k$，利用已知条件(1)中 $\Delta P$ 和 $\Delta \rho$ 的关系式及不同周期内燃油的质量变化关系可建立若干方程。

在一个周期内t = 100 ms内，下面计算调整时间分别为2 s、5 s和10 s下的第k个周期时单向阀开启时长 $t_k$。

1) 调整时间为2 s时(20个周期)：

假设在2 s内高压油管内的压力刚好从100 MPa增加到150 MPa。即在每100 ms内应调整的压力差为2.5 MPa，即 $\Delta P_k=\frac{\Delta P}{T_1/t^{\prime }}=2.5\text{MPa}$ $\left(k=1,2,\cdots ,20\right)$ (由于高压油管内压力初始值为100 MPa，当k = 1时，代表此时高压油管内的压强为102.5 MPa，k每增加1，高压油管内的压强每增加2.5 MPa，以此类推)。根据已知条件(1)提供的 $\Delta P$ 和 $\Delta \rho$ 的关系式和不同周期燃油质量变化，得：

$\Delta P_k=\frac{E_k}{{\rho }_k}\times \Delta \rho =\frac{E_k}{{\rho }_k}\times \frac{{\rho }_{160}{Q}_k{t}_k-V_s{\rho }_k}{v},k=1,2,\cdots ,20$ (7)

将已知量代入(7)式，可算出 $t_k$。

2) 调整时间为5s时(50个周期)：

此时 $\Delta P_k=1\text{MPa}$ $\left(k=1,2,\cdots ,50\right)$， 同理，利用(7)式可计算出 $t_k$；

3) 调整时间为10s时(100个周期)：

此时 $\Delta P_k=0.5\text{MPa}$ $\left(k=1,2,\cdots ,100\right)$，再次利用(7)式可计算出 $t_k$，如图6所示。

Figure 6. The high pressure oil pipe is adjusted for 2 s, 5 s and 10 s respectively, to stabilize the opening time of 150 MPa

图6. 分别经过2 s、5 s、10 s的调整使高压油管稳定在150 MPa的时长

4. 考虑柱塞腔与针阀控制的高压燃油系统处理模型

在实际工作过程中，高压油管A处的燃油来自高压油泵的柱塞腔出口，喷油由喷油嘴的针阀控制。要求喷油器的喷油量 $m_{out}$，则需求出流量Q，由已知条件(2)可知 $Q=C{S}^{\prime }\sqrt{2\Delta P/\rho }$，即需要得到喷孔有效通流截面积 $S^{\prime }$ [4] (即针阀底部与喷孔形成的环形面积S(t)或喷孔面积S_hole)。随着时间增加，针阀向上运动，此时环形面积S(t)逐渐增大；当环形面积S(t)小于喷孔面积S_hole时，此时的喷孔有效通流截面积 $S^{\prime }$ 等于环形面积S(t)；当环形面积S(t)大于喷孔面积S_hole时，有效通流截面积 $S^{\prime }$ 等于喷孔面积S_hole。依据附件2针阀升程与时间的关系，得出可将时间分为三段(t < 0.33 ms，0.33 ms < t < 2.12 ms，2.12 ms < t < 2.45 ms)，t = 0.33 ms和t = 2.12 ms时环形面积S(t)等于喷孔面积S_hole，以此两点作为临界点，得到一个周期内(100 ms)内喷孔有效通流截面积 $S^{\prime }$，即

$S^{\prime }=\{\begin{array}{l}\begin{array}{cc}S\left(t\right)& t<0.33\end{array}\\ \begin{array}{cc}{S}_{hole}& 0.33\le t<2.12\end{array}\\ \begin{array}{cc}S\left(t\right)& 2.12\le t<2.45\end{array}\end{array}$ (8)

如图7所示。

Figure 7. Ring area S(t)and small hole area S_holewith the changing time

图7. 环形面积S(t)与小孔面积S_hole随时间变化图

将针阀运动曲线数据中针阀升程h(t) [5] 与时间的数据进行高斯拟合，高斯拟合得到下列分段函数：

$h\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}{a}_1{\text{e}}^{-{\left(\frac{t-b_1}{c_1}\right)}^2}\hfill & t<0.45\hfill \\ 2\hfill & 0.45\le t\le 2\hfill \\ a_2{\text{e}}^{-{\left(\frac{t-b_2}{c_2}\right)}^2}\hfill & t>2\hfill \end{array}$ (9)

拟合得到参数值为： $a_1=2.016$， $b_1=-0.4551$， $c_1=0.1661$； $a_2=2.017$， $b_2=-1.994$， $c_2=0.1661$。高斯拟合曲线如图8所示。

Figure 8. Gaussian fitting plot of needle lift h-t

图8. 针阀升程h-t高斯拟合图

喷孔面积 $S_{hole}=0.49\pi {\text{mm}}^2$，下面计算环形面积S(t)：

针阀开启时的横截面图如图9所示。

Figure 9. Cross-sectional view of the needle valve as it is opening

图9. 针阀开启时的横截面图

由图9可知，环形面积 $S\left(t\right)=S_d\left(t\right)-S_0$， $S_d\left(t\right)$ 为最外围大圆的面积。

最后，求喷油质量 $m_{out}$ [6]。画出针阀关闭和开启的纵截面，如图10所示。

Figure 10. Longitudinal section of needle valve operation

图10. 针阀工作的纵截面图

$\frac{r_0}{r}=\frac{\frac{r_0}{\tan \theta }}{h\left(t\right)+\frac{r_0}{\tan \theta }}$ (10)

式中r₀为针阀半径，θ为密封座半角，r为最外围大圆半径。

由(10)式可得到r与升程h(t)的关系式。将上述结果代入式(8)，即可得到燃油喷油器喷出的燃油流量：

$Q_{out}=C{S}^{\prime }\sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho }}$ (11)

式中， $\Delta P=100-\epsilon$， $\epsilon =0.1\text{MPa}$ 为大气压强；根据上述分析，可知流量 $Q_{out}$ 同样随时间分为三段。

又由于升程h是t的函数，得到S关于t的函数，即流量 $Q_{out}$ 随时间变化，如图11所示。

Figure 11. Injector’s fuel injection amount with the changing time

图11. 喷油器喷出的燃油流量Q_out-t变化图

喷油器喷油质量为

$m_{out}={\rho }_{100}V={\displaystyle {\int }_0^{100}{Q}_{out}\left(t\right)\text{d}t}$ (12)

求解(12)式得出一个工作周期内的喷油质量为 $m_{out}=32.9505\text{mg}$。

接下来计算高压油泵处的供油量柱塞腔的低压燃油压力为0.5MPa，当柱塞向上运动时会压缩柱塞腔内的燃油，当其压力比高压油管大时，单向阀会开启，燃油即可进入高压油管，实现供油。而凸轮的作用是驱动柱塞上下运动，给出供油量公式：

$m_{in}={\rho }_{0.5}{V}^{\prime }$ (13)

$V^{\prime }=S_{bottom}\left(l_0-l_{\pi }\right)+{\nu }_c$ (14)

其中， $V^{\prime }$ 为塞柱腔的体积， ${\nu }_c=20{\text{mm}}^{\text{3}}$ 为柱塞运动到上止点时柱塞腔的残余容积， $S_{bottom}$ 为柱塞腔的底面积， $l_0$ 、 $l_{\pi }$ 分别为当凸轮极角为0和 $\pi$ 时对应的极径，即分别为上止点和下止点，则 $l_0-l_{\pi }$ 指一个周期内柱塞的最大压缩距离。通过计算求得 $m_{in}=96.1857\text{mg}$。

最后确定凸轮角速度，以下基于1 s时长考虑：

要使得高压油管内的压力稳定在100 MPa左右，根据质量守恒的思想，认为进口与出口的燃油质量相等；在1 s内，有如下质量守恒模型：

$n_1{m}_{out}=n_2{m}_{in}$ (15)

式中， $n_1=10$ 为喷油器工作次数，由(15)式可求出凸轮转动圈数 $n_2$。

最终解得 $n_2=3.4257$ 圈/s，向上取整 $n_2\approx 4$ 圈/s，对高压油管内的压力稳定在100 MPa无太大影响，我们认为是合理的；化为弧度制即角速度为 $\omega =25.12\text{rad}/\text{s}$，此时高压油管的压力稳定在100 MPa左右。

5. 结束语

本文通过建立质量守恒模型，解决了高压油管内压力保持稳定的问题。用微分思想模拟油管内压强的细微变化过程，用高斯拟合较好拟合针阀升程与时间的变化关系，此模型简化了油泵压油与喷油嘴喷油的过程，只考虑一个周期始末状态下进油与出油的质量守恒，操作简单，易于理解。