1. 引言
分数阶微分方程在科学和工程领域的应用,特别是在流变学、电子网络、流体力学、粘弹性以及化学物理学等方面的应用,使得对分数阶微分方程的研究已经变得越来越重要,已成为人们研究的热点 [1] - [9],本文研究分数阶微分方程积分边值问题(BVP):
(1.1)
其中
中,
是Riemann-Liouville微分。
是参数,
是连续的并且
,
表示具有广义测度的Riemann-Stieltjes积分,
是有界变差函数,
。
是连续函数。
2. 预备知识
定义2.1: [10] [11] (Riemann-Liouville)
阶积分定义为
其中
,n为整数。
定义2.2: [10] [11] (Riemann-Liouville)
阶导数定义为
其中
,n为整数。
引理2.1: [10] [11] 若
,
,
,则
其中
,
,
。
引理2.2:假设
,则分数阶微分方程
(2.1)
有解
其中
(2.2)
证明:由引理2.1,(2.1)中的方程可转化为等价于的积分方程
即
由于
,得
,因此有
又有
及
可得
所以
(2.3)
对(2.3)式两端乘以
并且求关于
的积分,有
所以
引理2.3:由(2.2)定义的
有下列性质:
1)
,
。
2)
在
上连续。
3)
,
。
证明:根据
的定义,只需证明(3)成立。由于
所以
。
3. 主要结果
设
,定义范数
。则X是Banach空间,记
因此K是X的一个锥。本文,我们假设下面的条件(H1)成立。
(H1)
是连续函数。
由(H1),定义积分算子
:
(3.1)
显然BVP(1.1)有解x当且仅当
是由(3.1)定义的算子T的不动点。
引理3.1:假设条件(H1)成立,则
是全连续算子。
定理3.1:假设条件(H1)成立,并且存在函数
满足下列条件。
(H2)
。
若
则BVP(1.1)有唯一正解。
证明:对任意的
,由于
,
,可得
,因而
。
由引理3.1,
是全连续算子,根据Banach不动点理论,算子T在K中有唯一不动点,即为BVP(1.1)的唯一正解。
基金项目
本文受到临沂大学大学生创新创业训练计划项目(X201910452076)部分资助。