应用数学进展  >> Vol. 9 No. 1 (January 2020)

α-Lu¨ roth展式若干度量性质
Some Metric Properties in α-Lu¨ roth Expansions

DOI: 10.12677/AAM.2020.91002, PDF, HTML, XML, 下载: 245  浏览: 1,945  科研立项经费支持

作者: 李碧璇, 兰 莎, 沈陆明:湖南农业大学信息科学技术学院,湖南 长沙

关键词: α-Lu¨ roth展式“0-1”律重对数律α-Lu¨ roth Expansion “0-1” Law Iterated Logarithm Law

摘要: 对于α-Lüroth展式,在此篇文章我们研究了α-Lüroth展式的一些度量性质,获得了该展式数字“0-1”律,基于该结果,得到了相应的重对数律,进一步完善了该展式的度量性质。作为交错Lüroth展式的推广,该论文的结论包括了交错Lüroth的相应的结果。
Abstract: For the α-Lüroth expansion, some metric properties, such as “0-1” law, iterated logarithm law of the digits are studied in this paper. As the extension of alternating-Lüroth expansion, the conclusions in this paper include those of alternating-Lüroth case.

文章引用: 李碧璇, 兰莎, 沈陆明. α-Lu¨ roth展式若干度量性质[J]. 应用数学进展, 2020, 9(1): 12-17. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.91002

1. 引言

对单位区间上的划分 α = { A n : n N } ,定义α-Lüroth映射 L α ( x ) : [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] 为:

L α ( x ) : = { t n x a n , x A n , n N 0 , x = 0

这里 a n = λ ( A n ) 的Lebesgue测度, t n : = k = n a k ,并且规定 { A n } n 1 依次从左至右顺序排列的为左开右闭区间。按照该算法,任意的 x ( 0 , 1 ] ,均可以展成如下形式的α-Lüroth展式:

x = t l 1 ( x ) + j = 2 ( 1 ) j 1 ( 1 i j a l 1 ( x ) ) t l j ( x )

这里,如果 L α n 1 ( x ) A l n ,则 l n ( x ) = l n N ,并且,如果对某个x满足 L α k ( x ) = 0 ,则 { l n ( x ) } n 1 为有限序列,除 x = 1 外,有限序列的最后一项大于或等于2的整数。为了简便,我们通常用 [ l 1 , l 2 , , l k ] α 表示有限α-Lüroth,用 [ l 1 , l 2 , , l k , ] α 表示无穷展式。

对于该展式,一些基本的度量性质,如增长速度,逼近速度和数字频率可以通过Birkhoff’s定理 [1] 得到。Lüroth和交替Lüroth的情形就像连分式一样 [2] - [7]。在本文中,我们考虑α-Lüroth展式“0-1”率和重对数率。

定理1.1 令 α 是指数 0 < θ 1 的展式, ϕ ( n ) 是定义于 N 上的正值函数,则:

1) 如果 n = 1 1 ϕ ( n ) 发散,则 λ ( A ) = 0 ,即

2) 如果 n = 1 1 ϕ ( n ) 收敛,则 λ { x ( 0 , 1 ] : l n ( x ) > ϕ ( n ) i . o . n } = 0

对任意的 x ( 0 , 1 ] ,令

L n ( x ) = max { l 1 ( x ) , , l n ( x ) }

定理1.2 令 α 是指数 0 < θ 1 的展式,对几乎处处的 x [ 0 , 1 ) ,有:

lim sup n log l n ( x ) log n log log n = 1

lim sup n log L n ( x ) log n log log n = 1

定理1.3 令 α 是指数 0 < θ 1 的展式,对几乎处处的 x [ 0 , 1 ) ,有:

lim inf n log l n ( x ) log n log log n =

lim inf n log L n ( x ) log n log log n = 0

在整篇文章中,我们用 λ ( ) 表示Lebesgue测度, [ ] 表示取整数部分, | | 表示一个集合的直径。

2. 准备工作

本节主要讨论α-Lüroth展式的一些基本性质。如需了解更多关于α-Lüroth展式的结果,可见参考文献 [1] [8]。

定义2.1 对每一个k阶正整数数组 l 1 , l 2 , , l k ,定义α-Lüroth展式第n个柱集为:

I ( l 1 , l 2 , , l k ) : = { x [ 0 , 1 ) : l i ( x ) = l i for 1 i k }

定义2.2 令 α : = { A n : n N } 是一个可数的单位分割,则:

1) 若对于 ρ > 1 ,有 lim n t n t n + 1 = ρ ;则 α 是扩张的;

2) 如果分割 α 的尾部满足幂律,,其中 ψ : N R + 是一个缓变函数,则 α 是指数 θ > 0 的指数扩张的;

3) 如果n充分大,我们有,则分割 α 最终是递减的。

引理2.1 对任意的 x ( 0 , 1 ] ,有:

λ ( I ( l 1 , l 2 , , l k ) ) = i = 1 k λ ( I ( l i ) )

这里 λ ( ) 表示Lebesgue测度。

引理2.2 令 α 是指数 θ > 0 且递减的扩张分割。对任意的 0 < η < θ ,存在 N > 0 ,使得当满足对于任意的整数 n > N ,有:

n ( 1 + θ + η ) a n n ( 1 + θ η ) (2.1)

n ( θ + η ) t n n ( θ η ) (2.2)

引理2.3 令 α 是满足 lim n t n t n + 1 = ρ > 1 的分割,则

lim n log a n n = lim n t n t n + 1 = log ρ

为了简单起见,我们可以假设(2.1)和(2.2)对于所有 n 1 有分割 α 从跳跃开始减小,即对于所有 n 1 a n + 1 a n 。这并不影响本文的研究。

3. 主要结果的证明

3.1. 定理1.2的证明

我们令 ϕ ( n ) = n log n ,对于任意的k满足 n k = n ,这里我们有 n k = k [ 2 θ ] + 1 ϕ ( n ) = 0 ,反之我们有 ϕ ( n ) = ( [ 2 θ ] + 1 ) n [ 2 θ ] + 1 log n 。我们令

a n = { n k log n k k N , n = n k 0 n n k

注意到 n = 1 1 ϕ ( n ) θ = k = 1 1 ϕ ( n k ) θ ,我们研究右上级数的收敛性。

根据Rabbe判别法,我们可以有 n = 2 1 2 θ n 2 ( log n ) θ < +

通过定理1.1,我们可以推断出如下的结论,

λ { x ( 0 , 1 ] : l n ( x ) a n i . o . n } = 1

则,我们可以有

log l n log n log log n log a n log n log log n

考虑到右端序列满足以 n = n k 为子序列。

可以推断 lim sup n log a n log n log log n = 1 ,因此,我们推断出以下结果:

lim sup n log l n log n log log n 1

然后,我们令 ϕ ( n ) = n ( log n ) 1 + ε ,和前面的一样我对门得到关于 θ ( 0 , 1 ] 的结论。

lim sup n log l n log n log log n = 1

因此,我们有

lim sup n log L n log n log log n = 1

3.2. 定理1.3的证明

为了证明序列 l n 的下限,我们首先得到同样的结论,

lim inf n log l n log n log log n

θ ( 1 , + ) 时,证明过程是相同的。然后,我们给出 L n 的“0-1”比率。

我们回想起在条件下定义的集合 A γ ,我们定义序列

b n = { n k ( log n k ) γ k N , n = n k 0 n n k

对于任意的 γ > 0 ,取 n k = k [ 2 θ ] ,我们定义 p ( n ) = n # { k : k [ 2 θ ] n } ,回忆等式,我们有

( 1 1 ( n ( log n ) γ ) ( θ ε ) ) n λ ( A γ ) ( 1 1 ( n ( log n ) γ ) ( θ + ε ) ) n

因此,根Fatou引理,我们推断,

λ { m 1 n m x [ 0 , 1 ) : L n ( x ) n ( log n ) γ } lim sup n λ { x [ 0 , 1 ) : L n ( x ) n ( log n ) γ } lim sup n ( 1 1 ( n ( log n ) γ ) ( θ ε ) ) n

这里,我们取 b n { n ( log n ) γ } n 1 的子序列。因此,我们用下面的方法计算上限,

lim sup n ( 1 1 ( n ( log n ) γ ) ( θ ε ) ) n lim n ( 1 1 ( n [ 2 θ ] ( [ 2 θ ] log n ) γ ) ( θ ε ) ) n lim n ( 1 1 ( n 2 θ ( 2 θ log n ) γ ) ( θ ε ) ) n p ( n ) = 1

因此,我们有

lim inf n log L n log n log log n γ

对于任意的 γ > 0 ,我们有

lim inf n log L n log n log log n 0

为了计算极限,我们假设 τ > 0 。我们定义

A τ θ ¯ = { x [ 0 , 1 ) : L n ( x ) n 1 θ ( log n ) τ θ , L n + 1 ( x ) ( n + 1 ) 1 θ ( log ( n + 1 ) ) τ θ }

因此,我们有

λ ( A τ θ ¯ ) = λ { x [ 0 , 1 ) : L n ( x ) n 1 θ ( log n ) τ θ , L n + 1 ( x ) ( n + 1 ) 1 θ ( log ( n + 1 ) ) τ θ } ( 1 1 ( n θ + ε θ ( log n ) γ ) τ ( θ + ε ) θ ) n 1 ( n + 1 ) θ ε θ ( log ( n + 1 ) ) τ ( θ + ε ) θ e 1 ( log n ) τ ( log n ) τ n e 1 ( log n ) τ n τ 1 e 1 n τ n τ 1

注意到这一点,

e 1 n τ n τ 1 = k = 1 ( 1 ) k 1 k ! n k τ n τ 1 = k = 1 ( 1 ) k 1 k ! n ( k 1 ) τ + 1

我们取满足 ( k 0 1 ) τ + 1 > 1 e 1 n τ n τ 1 < 1 k 0 ! n k 0 τ k 0 > 1 ,其中 k 0 N

因此,

n = 1 λ ( A τ θ ¯ ) = n = 1 1 k 0 ! n ( k 0 1 ) τ +

根据定理1.1,我们有

λ { L n ( x ) n 1 θ ( log n ) τ θ i . o . n } = 0

我们得到了

lim inf n log L n log n log log n τ θ

对于任意的 τ > 0 θ ( 0,1 ] ,我们有

lim inf n log L n log n log log n 0

当时 θ = 1 ,这就是交替Lüroth展式的情形。

基金项目

这项工作得到了湖南农业大学大学生创新性实验计划项目(编号SCX1802)的支持。

参考文献

[1] Munday, S. (2012) Finite and Infinite Ergodic Theory for Linear and Conformal Dynamical System. University of St. Andrews, UK.
[2] Galambos, J. (1974) An Iterated Logarithm Type Theorem for the Largest Coefficient in Continued Fractions. Acta Arithmetica, 25, 359-364.
https://doi.org/10.4064/aa-25-4-359-364
[3] Khintchine A. Ya (1964) Continued Fractions. Chicago University Press, Chicago.
[4] Kalpazidou, S., Knopfmacher, A. and Knopfmacher, J. (1991) Metric Properties of Alternating Lüroth Series. Portugaliae Mathematica, 48, 319-325.
[5] Schweiger, F. (1995) Ergodic Theory of Fibred Systems and Metirc Number Theory. Clarendon Press, Oxford.
[6] Dajani, K. and Kraaikamp, C. (1996) On Approximation by Lüroth Series. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, 8, 331-346.
https://doi.org/10.5802/jtnb.172
[7] Oppenheim, A. (1972) The Representation of Real Numbers by Infinite Series of Rationals. Acta Arithmetica, 21, 391-398.
https://doi.org/10.4064/aa-21-1-391-398
[8] Kesseböhmer, K., Mundays, S. and Stratmann, B.O. (2012) Strong Renewal Theorems and Lyapunov Spectra for α-Farey and α-Lüroth Systems. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 32, 989-1017.
https://doi.org/10.1017/S0143385711000186