AAM  >> Vol. 9 No. 1 (January 2020)

作者:  

张 伟:成都大学经济管理学院,四川 成都

关键词:
Φ(m)函数欧拉φ(m)函数互质广义哥德巴赫猜想Φ(m) Function Euler Function φ(m) Co-Prime Generalized Goldbach Conjecture

摘要:

数论中,连乘积公式的含义并不明确。本文给出了Φ(m)函数的定义与性质,以及Φ(m)函数与欧拉φ(m)函数之间的关系。众所周知,欧拉φ(m)函数应用十分广泛,Φ(m)函数是否有其他应用,本文作了一点探索。

In number theory, for the continuous product formula , the meaning is unclear. This paper gives the definition and nature of Φ(m) function, as well as the relationship between Φ(m) and Euler’s totient function φ(m). As is known to all, Euler function φ(m) is widely used, Φ(m) function if there are other applications, some attempts are made in this paper.

1. 定义与性质

1) 欧拉φ(m)函数

在数论中,对正整数m,欧拉(Euler)函数φ(m)是小于m的正整数中与m互质的数的数目。

φ ( m ) = m ( 1 1 p ) ( 为连乘积符号,p为m的素因子)。

Φ(m)函数 [1] [2] :

在数论中,对偶数m (m ≥ 6),函数Φ(m)是小于m的正奇数中q与m互质且q − 2k或q + 2k (k ≥ 1)与m互质的正奇数q的数目。

显然,q < m,q − 2k不一定为正整数或q + 2k不一定小于m。

k = 2 n Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) ( 为连乘积符号,p为m的奇素因子)。

若k与m的奇素因子不同, Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) ( 为连乘积符号,p为m的奇素因子)。

若k与m存在共有的奇素因子, Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) ( p 1 ) ( p 2 ) ( 为连乘积符号, ( 1 2 p ) ,p为m的奇素因子, ( p 1 ) ( p 2 ) ,p为k与m的共有奇素因子)。

若k与m的奇素因子相同, Φ ( m ) = φ ( m )

对于不同的2k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。

m = 2 n Φ ( m ) = φ ( m ) = m 2

2) 若m为奇数(m ≥ 3),函数Φ(m)是小于m的正整数中q与m互质且q − k或q + k (k ≥ 1)与m互质的正整数q的数目。

显然,q < m,q − k不一定为正整数或q + k不一定小于m。

k = 2 n Φ ( m ) = m ( 1 2 p ) ( 为连乘积符号,p为m的奇素因子)。

若k与m的奇素因子不同, Φ ( m ) = m ( 1 2 p ) ( 为连乘积符号,p为m的奇素因子)。

若k与m存在共有的奇素因子, Φ ( m ) = m ( 1 2 p ) ( p 1 ) ( p 2 ) ( 为连乘积符号, ( 1 2 p ) ,p为m的奇素因子, ( p 1 ) ( p 2 ) ,p为k与m的共有奇素因子)。

若k与m的奇素因子相同, Φ ( m ) = φ ( m )

对于不同的k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。

3) 在数论中,对偶数 m ( m 6 ) ,函数Φ(m)也可表示小于m的正奇数中q与m互质且 m + 2 k q ( k 1 ) 与m互质的正奇数q的数目。

显然, q < m m + 2 k q 不一定小于m。

k = 2 n Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) ( 为连乘积符号,p为m的奇素因子)。

若k与m的奇素因子不同, Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) ( 为连乘积符号,p为m的奇素因子)。

若k与m存在共有的奇素因子, Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) ( p 1 ) ( p 2 ) ( 为连乘积符号, ( 1 2 p ) ,p为m的奇素因子, ( p 1 ) ( p 2 ) ,p为k与m的共有奇素因子)。

若k与m的奇素因子相同, Φ ( m ) = φ ( m )

对于不同的2k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。

2. 证明

Φ(m)函数性质的证明与欧拉φ(m)函数类似,略。

3. 举例

1:m = 30,2k = 2或2k = 4或2k = 8或2k = 16或2k = 32或 2 k = 2 n Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) = 3

q不超过30与30互质的奇数对(q − 2, q)个数为3,分别为:(−1, 1), (11, 13), (17, 19)。

q不超过30与30互质的奇数对(q − 4, q)个数为3,分别为:(7, 11), (13, 17), (19, 23)。

q不超过30与30互质的奇数对(q − 8, q)个数为3,分别为:(−7, 1), (−1, 7), (11, 19)。

q不超过30与30互质的奇数对(q − 16, q)个数为3,分别为:(1, 17), (7, 23), (13, 29)。

q不超过30与30互质的奇数对(q − 32, q)个数为3,分别为:(−31, 1), (−19, 13), (−13 ,19)。

q不超过30与30互质的奇数对(q − 64, q)个数为3,分别为:(−53, 11), (−47, 17), (−41 ,23)。

2k = 2与2k = 32,2k之差为30,q相同,分别为:1, 13, 19。

2k = 4与2k = 64,2k之差为60,q相同,分别为:11, 17, 23。

m = 210,2k = 2或2k = 4或2k = 8或2k = 16或2k = 32或 2 k = 2 n Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) = 15

q不超过210与210互质的奇数对(q − 2, q)个数为15,分别为:

(−1, 1), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109),

(137, 139), (149, 151), (167, 169), (179, 181), (191, 193), (197, 199)。

2:m = 30,2k = 6或2k = 12或2k = 24或2k = 48或 2 k = 3 N × 2 n Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) ( p 1 ) ( p 2 ) = 6

q不超过30与30互质的奇数对(q − 6, q)个数为6,分别为:(1, 7), (7, 13),(13, 19), (11, 17), (17, 23), (23, 29)。

q不超过30与30互质的奇数对(q − 12, q)个数为6,分别为:(−11, 1), (1, 13), (7, 19), (17, 29), (−1, 11), (11, 23)。

q不超过30与30互质的奇数对(q − 24, q)个数为6,分别为:(−23, 1), ( −17, 7), ( −13, 11),( −11, 13), ( −7, 17), (1, 23)。

q不超过30与30互质的奇数对(q − 48, q)个数为6,分别为:(−47, 1), (−41, 7), (−37, 11), (−31, 17), (−29, 19), (−19, 29)。

3:m = 30,2k = 30或2k = 60或2k为30的倍数,

Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) ( p 1 ) ( p 2 ) = m 2 ( 1 1 p ) = φ ( m ) = 8

q不超过30与30互质的奇数对(q − 30, q)个数为8,分别为:(−29, 1), (−23, 7), (−19, 11), (−17, 13), (−13, 17), (−11, 19), (−7, 23), (−1, 29)。

q不超过30与30互质的奇数对(q − 60, q)个数为8,分别为:(−59, 1), (−53, 7), (−49, 11), (−47, 13), (−43, 17), (−41, 19), (−37, 23), (−31, 29)。

4:m = 30,2k = 14或2k = 28或2k = 56或 2 k = 7 N × 2 n Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) = 3

q不超过30与30互质的奇数对(q − 14, q)个数为3,分别为:(−13, 1), (-7, 7), (−1, 13)。

q不超过30与30互质的奇数对(q − 28, q)个数为3,分别为:(1, 29), (−11, 17), (−17, 11)。

q不超过30与30互质的奇数对(q − 56, q)个数为3,分别为:(−49, 7), (−43, 13), (−37, 19)。

5:m = 30,2k = 2或2k = 4或2k = 8或2k = 16或2k = 32或 2 k = 2 n Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) = 3

q不超过30与30互质, 30 + 2 q 与30互质的奇数q个数为3,分别为:1, 13, 19。

q不超过30与30互质, 30 + 4 q 与30互质的奇数q个数为3,分别为:11, 17, 23。

q不超过30与30互质, 30 + 8 q 与30互质的奇数q个数为3,分别为:1, 7, 19。

q不超过30与30互质, 30 + 16 q 与30互质的奇数q个数为3,分别为:17, 19, 23。

q不超过30与30互质, 30 + 32 q 与30互质的奇数q个数为3,分别为:1, 13, 19。

q不超过30与30互质, 30 + 64 q 与30互质的奇数q个数为3,分别为:11, 17, 23。

2k = 2与2k = 32,2k之差为30,q相同,分别为:1, 13, 19。

2k = 4与2k = 64,2k之差为60,q相同,分别为:11, 17, 23。

6:m = 30,2k = 6或2k = 12或2k = 24或2k = 48或 2 k = 3 N × 2 n Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) ( p 1 ) ( p 2 ) = 6

q不超过30与30互质, 30 + 6 q 与30互质的奇数q个数为6,分别为:7, 13, 17, 19, 23, 29。

q不超过30与30互质, 30 + 12 q 与30互质的奇数q个数为6,分别为:1, 11, 13, 19, 23, 29。

q不超过30与30互质, 30 + 24 q 与30互质的奇数q个数为6,分别为:1, 7, 11, 13, 17, 23。

q不超过30与30互质, 30 + 48 q 与30互质的奇数q个数为6,分别为:1, 7, 11, 17, 19, 29。

7:m = 30,2k = 30或2k = 60或2k为30的倍数。

Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) ( p 1 ) ( p 2 ) = m 2 ( 1 1 p ) = φ ( m ) = 8

q不超过30与30互质, 30 + 30 q 与30互质的奇数q个数为8,分别为:1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29。

q不超过30与30互质, 30 + 60 q 与30互质的奇数q个数为8,分别为:1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29。

8:m = 30,2k = 14或2k = 28或2k = 56或 2 k = 7 N × 2 n Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) = 3

q不超过30与30互质, 30 + 14 q 与30互质的奇数q个数为3,分别为:1, 7, 13。

q不超过30与30互质, 30 + 28 q 与30互质的奇数q个数为3,分别为:11, 17, 29。

q不超过30与30互质, 30 + 56 q 与30互质的奇数q个数为3,分别为:7, 13, 19。

4. Φ(m)函数的应用:广义哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想:对于任意大于2的正整数n,偶数2n都可表示为二个素数之和。

即: n N ( N 3 ) p , q P (P为素数), 2 n = p + q

广义哥德巴赫猜想 [3] [4] :

对于任一充分大的偶数2n,若n对于模m的余数为a (a,m互素),则偶数2n可表示为二个对于模m的余数为a的素数之和。

即:若 n a ( mod m ) (n为充分大的正整数), ( a , m ) = 1 p , q P (P为素数), p q a ( mod m ) 2 n = p + q

设G (x)为偶数x可表示为二个素数之和的表示数即偶数x的(1 + 1)表示数。

G ( a , m , x ) 为偶数x可表示为二个对于模m的余数为a的素数之和的表示数。

Φ(m)为偶数x的(1 + 1)表示数对于模m的分类数,则:

1) 若 m = 2 n G ( a , m , x ) ~ 1 Φ ( m ) G ( x ) ~ 1 φ ( m ) G ( x ) (~为等价符号)。

2) 若m为偶数, G ( a , m , x ) ~ 1 Φ ( m ) G ( x ) Φ ( m ) = m 2 ( 1 2 p ) (p为m的奇素因子)。

3) 若m为奇数, G ( a , m , x ) ~ 1 Φ ( m ) G ( x ) Φ ( m ) = m ( 1 2 p ) (p为m的奇素因子)。

其中, G ( x ) ~ 2 C ( p 1 ) ( p 2 ) x ln 2 x (p为x的奇素因子。 C = ( 1 1 ( p 1 ) 2 ) ,p遍历所有奇素数)。

显然,当m=2,m=3或m=6时, G ( a , m , x ) 与G (x)等价。

例如:

形如2 + 30k的大偶数2n都可表示为形如1 + 30k的两个素数之和,且其表示数约为偶数2n的(1 + 1)表示数的 1 3

参考文献

文章引用:
张伟. Φ(m)函数的性质[J]. 应用数学进展, 2020, 9(1): 38-42. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.91005

参考文献

[1] 柯召, 孙琦. 数论讲义(上) [M]. 北京: 高等教育出版社, 1986: 49-51.
[2] 闵嗣鹤, 严士健. 初等数论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1992: 46-49.
[3] 哈代, 怀特. 数论导引(第17.1和22.20节) [M]. 第5版. 牛津: 牛津大学出版社, 2008.
[4] 潘承洞, 潘承彪. 哥德巴赫猜想(第6.1和8.1节) [M]. 第2版. 北京: 科学出版社, 2011.