1. 定义与性质
1) 欧拉φ(m)函数
在数论中,对正整数m,欧拉(Euler)函数φ(m)是小于m的正整数中与m互质的数的数目。
(
为连乘积符号,p为m的素因子)。
Φ(m)函数 [1] [2] :
在数论中,对偶数m (m ≥ 6),函数Φ(m)是小于m的正奇数中q与m互质且q − 2k或q + 2k (k ≥ 1)与m互质的正奇数q的数目。
显然,q < m,q − 2k不一定为正整数或q + 2k不一定小于m。
若
,
(
为连乘积符号,p为m的奇素因子)。
若k与m的奇素因子不同,
(
为连乘积符号,p为m的奇素因子)。
若k与m存在共有的奇素因子,
(
为连乘积符号,
,p为m的奇素因子,
,p为k与m的共有奇素因子)。
若k与m的奇素因子相同,
。
对于不同的2k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。
若
,
。
2) 若m为奇数(m ≥ 3),函数Φ(m)是小于m的正整数中q与m互质且q − k或q + k (k ≥ 1)与m互质的正整数q的数目。
显然,q < m,q − k不一定为正整数或q + k不一定小于m。
若
,
(
为连乘积符号,p为m的奇素因子)。
若k与m的奇素因子不同,
(
为连乘积符号,p为m的奇素因子)。
若k与m存在共有的奇素因子,
(
为连乘积符号,
,p为m的奇素因子,
,p为k与m的共有奇素因子)。
若k与m的奇素因子相同,
。
对于不同的k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。
3) 在数论中,对偶数
,函数Φ(m)也可表示小于m的正奇数中q与m互质且
与m互质的正奇数q的数目。
显然,
,
不一定小于m。
若
,
(
为连乘积符号,p为m的奇素因子)。
若k与m的奇素因子不同,
(
为连乘积符号,p为m的奇素因子)。
若k与m存在共有的奇素因子,
(
为连乘积符号,
,p为m的奇素因子,
,p为k与m的共有奇素因子)。
若k与m的奇素因子相同,
。
对于不同的2k,如果二者之差为m的倍数,Φ(m)相等,q相同。
2. 证明
Φ(m)函数性质的证明与欧拉φ(m)函数类似,略。
3. 举例
1:m = 30,2k = 2或2k = 4或2k = 8或2k = 16或2k = 32或
,
。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 2, q)个数为3,分别为:(−1, 1), (11, 13), (17, 19)。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 4, q)个数为3,分别为:(7, 11), (13, 17), (19, 23)。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 8, q)个数为3,分别为:(−7, 1), (−1, 7), (11, 19)。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 16, q)个数为3,分别为:(1, 17), (7, 23), (13, 29)。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 32, q)个数为3,分别为:(−31, 1), (−19, 13), (−13 ,19)。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 64, q)个数为3,分别为:(−53, 11), (−47, 17), (−41 ,23)。
2k = 2与2k = 32,2k之差为30,q相同,分别为:1, 13, 19。
2k = 4与2k = 64,2k之差为60,q相同,分别为:11, 17, 23。
m = 210,2k = 2或2k = 4或2k = 8或2k = 16或2k = 32或
,
。
q不超过210与210互质的奇数对(q − 2, q)个数为15,分别为:
(−1, 1), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109),
(137, 139), (149, 151), (167, 169), (179, 181), (191, 193), (197, 199)。
2:m = 30,2k = 6或2k = 12或2k = 24或2k = 48或
,
。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 6, q)个数为6,分别为:(1, 7), (7, 13),(13, 19), (11, 17), (17, 23), (23, 29)。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 12, q)个数为6,分别为:(−11, 1), (1, 13), (7, 19), (17, 29), (−1, 11), (11, 23)。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 24, q)个数为6,分别为:(−23, 1), ( −17, 7), ( −13, 11),( −11, 13), ( −7, 17), (1, 23)。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 48, q)个数为6,分别为:(−47, 1), (−41, 7), (−37, 11), (−31, 17), (−29, 19), (−19, 29)。
3:m = 30,2k = 30或2k = 60或2k为30的倍数,
。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 30, q)个数为8,分别为:(−29, 1), (−23, 7), (−19, 11), (−17, 13), (−13, 17), (−11, 19), (−7, 23), (−1, 29)。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 60, q)个数为8,分别为:(−59, 1), (−53, 7), (−49, 11), (−47, 13), (−43, 17), (−41, 19), (−37, 23), (−31, 29)。
4:m = 30,2k = 14或2k = 28或2k = 56或
,
。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 14, q)个数为3,分别为:(−13, 1), (-7, 7), (−1, 13)。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 28, q)个数为3,分别为:(1, 29), (−11, 17), (−17, 11)。
q不超过30与30互质的奇数对(q − 56, q)个数为3,分别为:(−49, 7), (−43, 13), (−37, 19)。
5:m = 30,2k = 2或2k = 4或2k = 8或2k = 16或2k = 32或
,
。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为3,分别为:1, 13, 19。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为3,分别为:11, 17, 23。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为3,分别为:1, 7, 19。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为3,分别为:17, 19, 23。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为3,分别为:1, 13, 19。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为3,分别为:11, 17, 23。
2k = 2与2k = 32,2k之差为30,q相同,分别为:1, 13, 19。
2k = 4与2k = 64,2k之差为60,q相同,分别为:11, 17, 23。
6:m = 30,2k = 6或2k = 12或2k = 24或2k = 48或
,
。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为6,分别为:7, 13, 17, 19, 23, 29。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为6,分别为:1, 11, 13, 19, 23, 29。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为6,分别为:1, 7, 11, 13, 17, 23。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为6,分别为:1, 7, 11, 17, 19, 29。
7:m = 30,2k = 30或2k = 60或2k为30的倍数。
。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为8,分别为:1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为8,分别为:1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29。
8:m = 30,2k = 14或2k = 28或2k = 56或
,
。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为3,分别为:1, 7, 13。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为3,分别为:11, 17, 29。
q不超过30与30互质,
与30互质的奇数q个数为3,分别为:7, 13, 19。
4. Φ(m)函数的应用:广义哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想:对于任意大于2的正整数n,偶数2n都可表示为二个素数之和。
即:
,
(P为素数),
。
广义哥德巴赫猜想 [3] [4] :
对于任一充分大的偶数2n,若n对于模m的余数为a (a,m互素),则偶数2n可表示为二个对于模m的余数为a的素数之和。
即:若
(n为充分大的正整数),
,
(P为素数),
,
。
设G (x)为偶数x可表示为二个素数之和的表示数即偶数x的(1 + 1)表示数。
为偶数x可表示为二个对于模m的余数为a的素数之和的表示数。
Φ(m)为偶数x的(1 + 1)表示数对于模m的分类数,则:
1) 若
,
(~为等价符号)。
2) 若m为偶数,
,
(p为m的奇素因子)。
3) 若m为奇数,
,
(p为m的奇素因子)。
其中,
(p为x的奇素因子。
,p遍历所有奇素数)。
显然,当m=2,m=3或m=6时,
与G (x)等价。
例如:
形如2 + 30k的大偶数2n都可表示为形如1 + 30k的两个素数之和,且其表示数约为偶数2n的(1 + 1)表示数的
。
参考文献