1. 引言
四维空间 [1] 的四维垂直,一直被认为生活在3D空间是无法可视的超平面 [2]。是否能通过对4球正交的空间 [3] 的旋转,证明其即为4维相互垂直的四维空间的呢?
2. 证明正交4球空间即为4维相互垂直的四维空间
2.1. 点标符号及其坐标、平面符号约定
2.1.1. 正交4球心间1至4维15个垂心点 [4] 、8球面交点 [4] 点符号及坐标均与文 [4] 相同,即
· 设4个1维垂心(4正交球球心)为
半径依次为
(坐标同文 [4]);
· 设6个2维垂心为:
(坐标同文 [4]);
· 设4个3维垂心为:
(坐标同文 [4]);
· 设1个4维垂心为:H (坐标同文 [4]);
· 设4个内凹3球面交点为:
(坐标同文 [4]);
· 设4个外凸3球面交点为:
(坐标同文 [4])。
2.1.2. 设垂直6棱,且与对棱共面的6个平面符号
· 设与AB棱垂直,且与对棱CD棱共面的平面符号为:
;
· 设与AC棱垂直,且与对棱BD棱共面的平面符号为:
;
· 设与AD棱垂直,且与对棱BC棱共面的平面符号为:
;
· 设与BC棱垂直,且与对棱AD棱共面的平面符号为:;
· 设与BD棱垂直,且与对棱AC棱共面的平面符号为:
;
· 设与CD棱垂直,且与对棱AB棱共面的平面符号为:
。
2.2. 证明正交4球心间15个垂心点 [4] 、8球面交点 [4] 及其46线为与棱垂直的6平面及其方程
文 [5] 得知,正交4球心间构成了4态垂心四面体,依据其对棱垂直的性质 [6] :
2.2.1. 证明与AB棱垂直的ΠCD平面及其平面方程
根据垂心四面体(4态)以及对边⊥的性质,
证明:
平面与AB棱垂直,10点11线共面的
平面。易得:
前6线右侧共点于C,后5线与首线右侧共点于D;因此该平面
右侧11线10点,该平面与左侧AB棱⊥,垂足落在左侧AB棱的
上。因此10点
共面,任取3点坐标可得与CD棱共面的
平面方程为:(例:取C,D,H 3点坐标)
2.2.2. 同理可证明与其它5棱垂直的5个平面及其平面方程为
·
平面与AC棱垂直,且 11线均与AC棱垂直。与BD棱共面平面方程为:任取3点坐标可得
平面方程为:(例:取B,D,H 3点坐标)
·
平面与BC棱垂直,且 11线均与BC棱垂直。与AD棱共面平面方程为:任取3点坐标可得
平面方程为:(例:取A,D,H 3点坐标)
·
平面与AD棱垂直,且
11线均与AD棱垂直。与BC棱共面平面方程为:任取3点坐标可得
平面方程为:(例:取B,C,H 3点坐标)
这里:
。
·
平面与BD棱垂直,且
11线均与BD棱垂直。与AC共面平面方程为:任取3点坐标可得
平面方程为:(例:取A,C,H 3点坐标)
这里:
。
·
平面与CD棱垂直,且
11线均与CD棱垂直。与AB共面平面方程为:任取3点坐标可得
平面方程为:(例:取A,B,H 3点坐标)
这里:
。
2.3. 证明6平面,任意3平面分别交于4垂线,6平面交于H垂心点,且任意3平面夹角之和等于180度
2.3.1. 上述6平面方程中垂心H为6平面的共点
分析上述一至四维垂心15点;以及8点球面交点,可归纳为:
· 一维垂心4点A,B,C,D,交叉存在6平面其中的3个平面;
· 二维垂心6点
为6平面中,每平面各占其中一点;
· 三维垂心4点
交叉存在6平面其中的3个平面;
· 四维垂心H为6平面共点;
· 球面内凹与外凸8交点,交叉存在6平面其中的3个平面;
· 任意3平面均分别交于4垂线。
2.3.2. 上述6平面方程间任意3平面夹角与棱角相等,其与各面3棱垂直的3平面夹角之和等于180度
因为上述6平面均与6棱垂直,垂心四面体任意一面3棱组成三角形垂直的3平面的夹角之和等于棱角和为180度。因此6平面可以任意组合,其平面夹角和均等于180度。
例:
3平面交D轴,3平面夹角之和均为180度
间夹角为
间夹角为
间夹角为
见 (图1)
这里的:
见文 [5]。
Figure 1.
the sum of 3 plane intersection D axis and 3 plane angle is 180 degree sketch
图1.
3平面交D轴,3平面夹角之和均为180度示意图
2.4. 证明正交4球空间即4维垂直的四维空间
根据上述6个平面方程,每个平面围绕其垂直的棱旋转,即各平面绕其垂直的棱的二维垂心点旋转,即固定该平面垂直棱2球心在欧氏3D坐标系的2轴线上,而旋转与棱垂直的平面,使得该平面另2球心点旋转至另一正负轴线上时,与其对应的3球面交点同时旋转至原点
位置。证明正交4球空间即4维垂直超对称空间 [7]。
2.4.1. 固定A, B棱,A, B 2球心位于x轴和y轴线上,绕AB棱旋转平面ΠCD,使得C, D 2球心分别落在正负z轴线上时,球面交点D+, C−, C+分别旋转至D−位置上
根据上述
平面10点共面,其中包括:
这7点共面;7点坐标见文 [4]
· 证明
这里坐标:
左侧点间距:
,
左侧代入余弦公式:
(这里
)
右侧点间距:
,
右侧代入余弦公式:
(这里
)
通过旋转
平面,将C点从正z轴旋转至负轴的同时,
也同时旋转至
位置。
证明了3球:
。
· 证明
这里坐标:
左侧点间距:
,
(这里
,
,
,
)
左侧代入余弦公式:
(这里
,
)
右侧点间距:
,
右侧代入余弦公式:
通过旋转
平面,将D点旋转至正z轴D'的同时,
也同时旋转至
位置。
证明了4球:
。
· 证明
这里坐标:
左侧点间距:
,
(这里
,
,
,
)
左侧代入余弦公式:
(这里
,
,
,
)
右侧点间距:
,
右侧代入余弦公式:
。
通过旋转
平面,将D点旋转至正z轴D'的同时,
也同时旋转至
位置。
证明了4球:
。
同理:可得如下2组旋转等式:
2.4.2. 固定A, C棱,A, C 2球心位于x轴和z轴线上,绕AC棱旋转平面ΠBD,使得B, D 2球心分别落在正负y轴线上时,球面交点D+, B+, B−分别旋转至D−位置上
根据上述
平面10点共面,其中包括:
这7点共面;7点坐标见文 [4]
· 可得:
这里坐标:
;
· 可得:
这里坐标:
;
· 可得:
这里坐标:
。
证明了4球:
。
2.4.3. 固定B, C棱,B, C 2球心位于y轴和z轴线上,绕BC棱旋转平面ΠAD,使得A, D 2球心分别落在正负x轴线上时,球面交点D+, A+, A−分别旋转至D−位置上
根据上述
平面10点共面,其中包括:
这7点共面;7点坐标见文 [4]
· 可得:
这里坐标:
;
· 可得:
这里坐标:
;
· 可得:
这里坐标:
。
证明了4球:
。
3. 总结
通过上述固定2球心位于2轴的棱,旋转与其垂直的平面,使得另2球心可达另一正负轴线上的同时,其3球面交点同时到达欧氏3D坐标的原点,证明了正交4球的4维a,b,c,d相互垂直;证明了正交4球即为超对称的4维空间。
而更简洁的是不用旋转,从8点球面交点为8原点,8原点均是3球面交点与3球心连线构成截角(直角四面体),分别组成4组不同的三维正交的垂直关系,从哲学关系上:
∵
,
,
,
∴
直接证明了4球正交空间即四维相互垂直的空间。
以此也可以推广证明任意有限正交球为有限高维的正交垂直关系。