应用数学进展  >> Vol. 9 No. 1 (January 2020)

一组关于非奇异H-矩阵的细分迭代判别新条件
A Set of New Criteria for the Iterative Discrimination of Subdivision of Nonsingular H-Matrices

DOI: 10.12677/AAM.2020.91007, PDF, HTML, XML, 下载: 200  浏览: 268  国家自然科学基金支持

作者: 蒋雯雯, 庹 清*:吉首大学数学与统计学院,湖南 吉首

关键词: 非奇异H-矩阵α-对角占优矩阵不可约非零元素链Non-Singular H-Matrix α-Diagonally Dominant Matrix Irreducible Nonzero Elements Chain

摘要: 本文根据非奇异H-矩阵与α-对角占优矩阵之间的关系,通过细分矩阵的下标区间,以及构造出新的迭代系数,得出了一组关于非奇异H-矩阵的细分迭代判别新条件,该条件改进了近期的某些结果,最后给出的几个数值算例说明了其有效性。
Abstract: In this paper, we produced a set of new conditions for subdivided and iterative criteria of nonsingular H-matrices by the method of subdivided region and selected iterative coefficient, based on the nonsingular H-matrix and α-diagonally dominant matrix the relationship between diagonally dominant matrices. These conditions improved some recent results. Finally, several numerical examples were given to illustrate their validity.

文章引用: 蒋雯雯, 庹清. 一组关于非奇异H-矩阵的细分迭代判别新条件[J]. 应用数学进展, 2020, 9(1): 50-59. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.91007

1. 引言

非奇异H-矩阵是一种很重要的矩阵类。它在数学物理、统计学、神经网络等各个领域中都有着重要的地位。对于判定线性方程组(尤其是超大型方程组)是否具有稳定解时,往往需要先通过判定其系数矩阵是否为非奇异H-矩阵来体现。如:当一个线性方程组的系数矩阵为非奇异H-矩阵,那么该方程组对Jacobi,Gauss-seidel,SOR,SSOR,AOR等经典算法均是收敛的,即该方程组具有稳定解。因此,非奇异H-矩阵判定问题一直是研究的热点,近年来国内外许多学者给出了一些实用的判定条件。

范迎松、徐仲、陆全等人在文献 [1] 中先使用了细分矩阵的下标区间的办法,并由新构造的递进系数提出了关于非奇异H-矩阵新的判别准则;尹军茹等人在文献 [2] 中使用细分矩阵下标区间的方法,构造出新的迭代系数得到了不一样的判别准则。在此基础上,山瑞平等人在文献 [3] 中,根据广义严格对角占优矩阵与非奇异H-矩阵之间蕴含的关系,细分了下标区间,并构造出不同的正对角矩阵,从而得到更好的判定条件。此外,庹清、刘长太等学者近年来在此领域也得出了一些很好的结果(见文献 [4] [5] [6] [7])。

本文中,用 M n ( C ) ( M n ( R ) ) 来表示n阶复(实)矩阵的集合。设 A = ( a i j ) M n ( C ) , 记 R i = R i ( A ) = j i | a i j | , C i = C i ( A ) = j i | a j i | , i , j N , N = 1 , 2 , , n 。为使所讨论的矩阵为非零矩阵且所论内容有意义,以下假设:在全文中, | a i i | 0 , R i 0 , C i 0 ( i N ) ,且规定 t · = 0

定义1:设 A = ( a i j ) M n ( C ) ,若 | a i i | R i ( A ) , i N ,则称A为对角占优矩阵,记为 A D 0 ;若 | a i i | > R i ( A ) , i N ,则称A为严格对角占优矩阵,记为 A D ;若存在正对角阵X,使得X右乘到矩阵A后的乘积矩阵为严格对角占优矩阵,则称A为广义严格对角占优矩阵,记为 A D ˜

定义2:设 A = ( a i j ) M n ( C ) α ( 0 , 1 ] ,若 | a i i | α R i ( A ) + ( 1 α ) C i ( A ) , i N ,则称A为α-对角占优矩阵,记为 A D 0 ( α ) ;若 | a i i | > α R i ( A ) + ( 1 α ) C i ( A ) , i N ,则称A为严格α-对角占优矩阵,记为 A D ( α ) ;若存在正对角阵X,使得X右乘到矩阵A后的乘积矩阵为严格α-对角占优矩阵,则称A为广义严格α-对角占优矩阵,记为 A D ˜ ( α )

定义3:设为不可约矩阵,,若 | a i i | α R i ( A ) + ( 1 α ) C i ( A ) ,则称A为不可约α-对角占优矩阵。

定义4:设 A = ( a i j ) M n ( C ) 为α-对角占优阵, α ( 0 , 1 ] ,若对满足的每个下标i,存在非零元素链 a i i 1 a i 1 i 2 a i r k ,使得 k { i N : | a i j | = R i α ( A ) C i ( 1 α ) ( A ) } ,则称A为具非零元素链α-对角占优矩阵。

引理1 [8] 设 A = ( a i j ) M n ( C ) α ( 0 , 1 ] A D ˜ 当且仅当 A D ˜ ( α )

引理2 [8] 设 A = ( a i j ) M n ( C ) 为不可约α-对角占优矩阵,且至少有一个对角占优行,则 A D ˜

引理3 [9] 设 A = ( a i j ) M n ( C ) 为具有非零元素链α-对角占优矩阵,则 A D ˜

以下是下标集的符号解释:

N 1 = { i N : 0 < | a i i | < α R i + ( 1 α ) C i }

N 3 = { i N : | a i i | > α R i ( A ) + ( 1 α ) C i ( A ) }

N 3 = ,则 A D ˜ ;若 N 1 N 2 = ,显然 A D ˜ 。为使所论内容有意义,以下假设: N 1 N 2 N 3

文献 [3] 给出的主要结果如下:

首先,划分下标区间:令 N 1 = N 1 ( 1 ) N 1 ( 2 ) N 1 ( m ) N 1 ( 1 ) = { i N : 0 < | a i i | < 1 m [ α R i + ( 1 α ) C i ] } N 1 ( k ) = { i N : k 1 m [ α R i + ( 1 α ) C i ] | a i i | k m [ α R i + ( 1 α ) C i ] } , k = 2 , 3 , , m

记,

i N 1 ( k ) , k = 1 , 2 , , m 时, x 1 i ( k ) = k | a i i | m [ α R i + ( 1 α ) C i ]

i N 2 , p 1 时, x 2 i = 1 p m

i N 3 时, r 0 = 1

r 1 = max i N 3 { α R i + ( 1 α ) C i | a i i | }

r l + 1 = max i N 3 { α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 i ( k ) ) + α t N 2 | a i t | x 2 i + r l t N 3 , t i | a i t | ] + ( 1 α ) C i | a i i | } , l Z +

δ l + 1 , i = M l + 1 , i ( A ) | a i i | , l Z

W l + 1 , i ( A ) = α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t ] + ( 1 α ) C i M l + 1 , i ( A ) α t N 3 , t i | a i t | δ l + 1 , i , h l = max i N 3 W l + 1 , i ( A ) , l Z

定理. 设 A M n ( C ) ,若存在 l 0 Z , p 1 ,使满足

| a i i | x 1 i ( k ) > α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + h l 0 t N 3 | a i t | δ l 0 + 1 , t ] + ( 1 α ) C i x 1 i ( k ) , i N 1 ( k ) ; k = 1 , 2 , , m

| a i i | x 2 i > α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + h l 0 t N 3 | a i t | δ l 0 + 1 , t ] + ( 1 α ) C i x 2 i , i N 2

则A是非奇异H-矩阵。

2. 主要结果

A = ( a i j ) M n ( C ) α ( 0 , 1 ] ,将不占优行的下标区间划分为m个区间,即 N 1 = N 1 ( 1 ) N 1 ( 2 ) N 1 ( m ) ,其中m是任意正整数。

具体分法即,

N 1 ( 1 ) = { i N : 0 < | a i i | < 1 m [ α R i + ( 1 α ) C i ] }

N 1 ( k ) = { i N : k 1 m [ α R i + ( 1 α ) C i ] | a i i | < k m [ α R i + ( 1 α ) C i ] } , k = 2 , 3 , , m

根据划分规则易知: N 1 ( k ) 或为空集。

为叙述方便,引入以下符号:

i N 1 ( k ) k = 1 , 2 , , m

i N 2 p 1 x 2 i = 1 p m

i N 3 k = 1 , 2 , , m l = 1 , 2 ,

Ω i ( 0 ) = r 0 = 1 r l = max i N 3 ( α t N 1 | a i t | + α t N 2 | a i t | + ( 1 α ) C i | a i i | α t N 3 , t i | a i t | Ω t ( l 1 ) )

P l , i = α ( t N 1 | a i t | + t N 2 | a i t | + r l t N 3 , t i | a i t | Ω t ( l 1 ) ) + ( 1 α ) C i

Ω i ( l ) = P l , i | a i i |

H l = max i N 3 M l , i

由上易知, P l + 1 , i P l , i Ω i ( l ) Ω i ( l 1 ) Ω i ( 1 ) Ω i ( 0 ) = 1 r l r l 1 r 1 < r 0 = 1

2.1. 定理1

A M n ( C ) α ( 0 , 1 ] ,若存在 l 0 Z , p 1 ,使满足:

| a i i | x 1 i ( k ) > α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 t N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 α ) C i x 1 i ( k ) , i N 1 ( k ) ; k = 1 , 2 , , m (1)

(2)

则A是非奇异H-矩阵。

证明

由于 x 1 i ( k ) = k | a i i | m [ α R i + ( 1 α ) C i ] ,得到 0 < x 1 i ( k ) | a i i | α R i + ( 1 α ) C i < 1 , i N 1 ( k ) , k = 1 , 2 , , m ,从而 0 < x 1 i ( k ) < 1 , i N 1 ( k )

由于 x 2 i = 1 p m , p 1 ,m是任意正整数,所以 0 < x 2 i 1 , i N 2

根据定义得到,

M l , i = α k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + α t N 2 | a i t | x 2 t + ( 1 α ) C i P l , i α r l t N 3 , t i | a i t | Ω t ( l ) α k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + α t N 2 | a i t | x 2 t + ( 1 α ) C i P l , i α r l t N 3 , t i | a i t | Ω t ( l 1 ) α t N 1 | a i t | + α t N 2 | a i t | + ( 1 α ) C i P l , i α r l t N 3 , t i | a i t | Ω t ( l 1 ) = 1

又因为 H l = max i N 3 M l , i ,故 H l 1 Ω i ( l ) 1

根据(1)式和(2)式,存在 1 0 Z ,可取充分小的正数 ε > 0 ,使 ε 同时满足:

ε α t N 3 | a i t | < | a i i | x 1 i ( k ) α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 t N 3 , t i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] ( 1 α ) C i x 1 i ( k ) , i N 1 ( k ) ; k = 1 , 2 , , m (3)

ε α t N 3 | a i t | < | a i i | x 2 t α [ k = 1 m ( t N 1 k , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 t N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] ( 1 α ) C i x 2 i , i N 2 (4)

再根据 M l , i P l , i 的定义,以及 Ω t ( l ) = P l , i | a i i | ,对于任意 i N 3 ,有:

H l 0 P l 0 , i α [ k = 1 m ( t N 1 k | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 r l 0 t N 3 , t i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 α ) C i

又因为 ,所以得到:

α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 r l 0 t N 3 , t i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 α ) C i H l 0 Ω t ( l 0 ) | a i i | 0

H l 0 Ω t ( l 0 ) | a i i | α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N + H l 0 Ω t ( l 0 ) | a i i | α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 t N 3 , t i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] ( 1 α ) C i ( A ) H l 0 Ω t (l0)

> ε [ | a i i | α t N 3 , t i | a i t | ( 1 α ) C i ( A ) ] + H l 0 Ω t ( l 0 ) | a i i | α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 t N 3 , t i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] ( 1 α ) C i ( A ) > 0

综上所述, i N | b i i | > α R i ( B ) + ( 1 α ) C i ( B ) ,总是能够成立,即满足 B = A X D ( α ) ,所以 A D ˜ ( α ) ,根据引理4,则 A D ˜ ,证毕。

注1 本文定理1对文献 [3] 的定理1有所改进,由于 r 1 1 ,故做每步迭代时都有所进步(即判定条件比文献 [3] 的弱)。

我们可以在定理1中取 α = 1 , p = 1 ,得出推论1,如下所示。

2.1.1. 推论1

A M n ( C ) ,若存在 l 0 Z ,使满足

| a i i | x 1 i > k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a 2 t | x 2 t + H l 0 t N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) , i N 1 ; k = 1 , 2 , , m

| a i i | x 2 i ( k ) > k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a 2 t | x 2 t + H l 0 t N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) , i N 2 (k)

则A是非奇异H-矩阵。

注2 由于 r l 1 ,故做每步迭代时都有所进步(即判定条件比文献 [1] 的定理1条件弱),也就是说本文推论1推广了文献 [1] 的定理1。

还可以在定理1中取 α = 1 , p = 1 , m = 1 ,得出推论2。

2.1.2. 推论2

A M n ( C ) ,若存在 l 0 Z ,使满足

| a i i | | a i i | R i > t N 1 N 2 , t i | a i t | | a i i | R i + H l 0 t N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) , i N 1 ; k = 1 , 2 , , m

则A是非奇异H-矩阵。

同理可以推出下面两个定理:

2.2. 定理2

A M n ( C ) α ( 0 , 1 ] ,矩阵A不可约,若存在 l 0 Z , p 1 ,使满足

| a i i | x 1 i ( k ) α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 t N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 α ) C i x 1 i ( k ) , i N 1 ( k ) ; k = 1 , 2 , , m (6)

| a i i | x 2 i α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + H l 0 t N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 α ) C i x 2 i , i N 2 (7)

且(6)或(7)中至少有一个严格不等式成立,则A是非奇异H-矩阵。

2.3. 定理3

记,

K 1 = { i N 1 ( k ) : | a i i | x 1 i ( k ) > α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 t N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 α ) C i x 1 i ( k ) } ; k = 1 , 2 , , m

K 1 = k = 1 m K 1 ( k )

K 2 = { i N 2 : | a i i | x 2 i > α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + H l 0 t N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 α ) C i x 2 i }

K 3 = { i N 3 : | a i i | H l 0 Ω i ( l 0 ) > α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 t N 3 , t i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 α ) C i H l 0 Ω i ( l 0 ) }

A M n ( C ) α ( 0 , 1 ] ,若存在 l 0 Z , p 1 ,使满足

| a i i | x 1 i ( k ) α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) , t i | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 t N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 α ) C i x 1 i ( k ) , i N 1 ( k ) ; k = 1 , 2 , , m (8)

| a i i | x 2 i α [ k = 1 m ( t N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + t N 2 , t i | a i t | x 2 t + H l 0 t N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 α ) C i x 2 i , i N 2 (9)

且(8)或(9)中至少有一个严格不等式成立,若对,存在非零元素链 a i i 1 a i 1 i 2 a i r k ,使得 k k = 1 3 K i ,则A是非奇异H-矩阵。

3. 数值实例

例设

A = ( 2 0 0 1 1 0 3.2 1 2 3 1 1 18 4 5 1 1 3 25 4 0 1.5 2 3 20 )

易知 N 1 = { 2 } , N 2 = { 1 } , N 3 = { 3 , 4 , 5 } ,当取 α = 1 2 , p = 3 2 , l 0 = 1 时,容易算得 x 1 i ( k ) = x 12 = 64 95 = 0.6737 (保留四位小数,后同), x 2 i = x 21 = 2 3 = 0.6666

继而能够得出:

δ 2 , 3 = 0.3258 , δ 2 , 4 = 0.2951 , δ 2 , 5 = 0.4028 , h 1 = 0.9613 (文献 [1] 结果);

Ω 3 ( l ) = 0.3258 , Ω 4 ( l ) = 0.298 , Ω 5 ( l ) = 0.4143 , H 1 = 0.8975 (本文结果),

时,根据

显然A不满足文献 [1] 中定理1的条件,不能判定其为非奇异H-矩阵。

但是,由本文得出的结果,有

2.1558 = 3.2 × 0.6737 = | a 22 | x 12 > α [ | a 21 | x 21 + H 1 ( | a 23 | Ω 3 ( l ) + | a 24 | Ω 4 ( l ) + | a 25 | Ω 5 ( l ) ) ] + ( 1 α ) C 2 x 21 = 1 2 × [ 0 + 0.8795 × ( 0.3258 + 2 × 0.298 + 3 × 0.4143 ) ] + 1 2 × 3.5 × 0.6737 = 2.1309

显然矩阵A满足本文定理1的条件,可知矩阵A是非奇异H-矩阵。

其中取正对角矩阵:

X = ( 0.6737 0 0 0 0 0 0. 6 ˙ 0 0 0 0 0 0.2865 0 0 0 0 0 0.2621 0 0 0 0 0 0.3643 )

所以 B = A X = ( 1.3474 0 0 0.2621 0.3643 0 2.1331 0.2865 0.5243 1.0929 0.6737 0. 6 ˙ 5.157 1.0484 1.8215 0.6737 0. 6 ˙ 0.8595 6.5525 1.4572 0 0. 9 ˙ 0.573 0.7863 7.286 ) ,B是一个严格α-对角占优矩阵。

致谢

感谢陈茜等同学对本文提供的建议和帮助。

基金项目

国家自然科学基金(11461027)和湖南省教育厅科研基金(16A173),吉首大学研究生创新基金(JGY201932)。

NOTES

*通讯作者。

参考文献

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[4] 庹清, 陈茜. 关于“一类非奇异H-矩阵判定的新条件”一文的注记[J]. 计算数学, 2019, 41(2): 219-224.
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