1. 引言及主要结果
本文中的亚纯函数都是定义在复平面C上的,且文中的符号采用的是Nevanlinna值分布论中的基本符号及结果,如:
,
,
,
,
。
若
为非常数亚纯函数,S为一个非空集合。令
,这里m重零点在
中重复m次,则称
为f下S的原象集合。
若两个非常数亚纯函数
和
满足
,其中S为一个非空集合,则称S为
和
的CM分担值集。
1968年,F. Gross [1] 研究了将公共值推广到公共值集的一个一般性的情况,如下所示:
定理A:设
是三个元素不全相同的有限点集,且每一个点集都不包含另外两个点集的并集。设
为与相对应的点集
具有相同元素个数的任一点集。令
,若非常数亚纯函数
和
满足
,则
和
代数相关。
1976年,F. Gross [2] 提出了这样一个问题:
问题1:是否存在两个最好是一个有限集合
,对任意的两个非常数亚纯函数f和g,只要
,就有
?
1993年,仪洪勋 [3] 对上述问题的结论进行了弱化并得到了如下结论:
定理B:设
,其中
,
,
。若复平面C中的两个非常数亚纯函数
和
满足
,则
,其中
或
,其中
。
此定理详细证明过程可参见文献 [4]。
定理B中我们可以得知存在一个元素个数大于8的集合,当两个非常数亚纯函数CM分担这个集合的时候,这两个亚纯函数互为分式线性变换。那么,是否存在一个元素个数小于8的集合,我们能得到同样的结论。本文在加入一些限定条件后,给予了肯定的回答。定理如下:
定理1:设n为不小于6的整数,若非常数亚纯函数
和
以
为CM分担值集,且
,
,则
。
。
2. 引理
引理1:若两个非常数亚纯函数
和
以1为CM分担值,则必有以下结论之一发生:
(i)
为
的分式线性变换;
(ii)
(1)
其中
。
。
证明:
令
(2)
若
,则
(3)
对上式左右两边分别积分两次得
为
的分式线性变换,结论(i)成立。
若
,则由对数导数引理知:
(4)
而H的极点为单极点,且仅来自于f,g的极点处或
,
的零点但非
的零点处。兹用
表示
的零点但非
的零点者所成精简密指量,
作类似表示。则有
(5)
于是
(6)
因f与g公共1值点处H取零值,于是
(7)
由Nevanlinna第二基本定理知:
(8)
注意到
(9)
由(8),(9)式有
(10)
因为
(11)
(12)
再由(10)式得
(13)
结论(ii)成立。
3. 定理1的证明
证明:
令
(14)
则
(15)
因此,
无重零点。
令
(16)
由于f和g以S为CM分担值集,故F和G以1为CM分担值。故
(17)
(18)
兹对F和G应用引理知:(i)或(ii)成立。
若(i)成立,则G为F的分式线性变换,因此
(19)
再由(17),(18)式有
(20)
若(ii)成立,则由(16),(17)式,已知条件及Nevanlinna第一基本定理得
(21)
(22)
类似地,有
(23)
(24)
令
(25)
再由(21),(22),(23),(24)式有
(26)
由已知条件知
,故
(27)
又由(1)式知
(28)
由(27),(28)式得
(29)
因此
(30)
再由(17),(18)式有
(31)
定理1得证。