1. 引言
在凸几何分析中,一个更对称的凸体在许多情况下具有更好的几何或分析性质。因此,研究将凸体转化为更对称的凸体的对称化方法是非常有意义的,比如文献 [1] 中对Steiner,Minkowski,Schwarz和中心对称进行了研究。而在众多凸体的对称化方法中,Steiner对称化可能是解决凸几何领域中的问题最为强大的对称化方法,比如,利用Steiner对称化方法可以得到经典的Brunn-Minkowski不等式和经典的等周不等式的简洁证明 [2],其他相关的应用可以查阅文献 [1] [3] - [9]。这是因为Steiner对称化方法具有很多优良性质,比如,保凸性、保体积性、表面积不增性、周长不增性等。在Brunn-Minkowski理论中,Minkowski加法是其重要的组成部分,比如经典的Brunn-Minkowski不等式就是建立在Minkowski加法的基础之上。
Steiner对称化关于Minkowski加法有一条非常重要的性质:设凸体
,对于给定
中的超平面H,有以下的包含关系(即命题2.1 ii)):
这条性质在利用Steiner对称化方法得到的经典的Brunn-Minkowski不等式和经典的等周不等式的简洁证明中都起到了至关重要的作用。本文就是以此为切入点,刻画了由该性质衍生出的双变量凸体算子
及其相关性质,例如连续性、单调性等。
上述出现的概念和符号在下文中有详尽的说明。
2. 预备知识
本文首先回顾Steiner对称和Minkowski加法的定义和相关性质。我们以下的讨论基于n维实欧几里德向量空间
,以o为原点,
为欧几里得空间的标准内积,
为该内积诱导的范数。
设
为
上全体凸体(紧凸集)组成的集合(简称凸体空间),
为
上所有非空紧子集组成的集合(简称真凸体空间),H为
中的任意超平面。令
,则C关于超平面H的Steiner 对称化为
的定义 [1] 为:对于每一条垂直于H的直线L,并且满足
,将线段
沿着L移动,直到
的中点落在H上,这样得到的所有线段的并就是
。显然,
关于超平面H(镜面)对称。
给定一个凸体
,我们给出一些刻画凸体的几何量的概念,直径
,外接圆半径
,内切圆半径
。其中
为
中的实心单位球。
下面我们列出有关Steiner对称的性质定理,这些性质会在后文的证明中用到。
命题 2.1 [2] 凸体
,关于给定的超平面H的Steiner对称化具有以下的性质:
i)
;
ii)
;
iii) 若
,则有
;
iv) 映射
是连续的;
v)
;
vi)
;
vii)
。
现在叙述Minkowski加法的定义和性质。Minkowski加法和数乘的定义为:
,
,
其中
,
为一个实数。设
,集合
可以看作D沿向量x的平移,则Minkowski加法的另外一种定义:
下面我们列出有关Minkowski加法的性质定理,这些性质将在后文定理的证明中用到。
命题 2.2 [10] 关于集合的Minkowski加法有以下的性质:
i) 若
,则
;
ii) Minkowski加法作为
到
的映射是连续的;
iii) 集合
和
关于Minkowski加法构成了交换半群,其单位元为{o};
iv) 集合
满足消去律,即:若
并且
,则有
;
v) 集合
满足顺序消去律,即:若
并且
,则有
;
vi) 若
,
并且
,有
。
命题 2.3设
,并且满足
,则有
。
3. 主要结果
设
,H为
中给定的超平面,我们定义如下的算子:
则
为
到
的双变量凸体算子。
定理 3.1在
在
上是连续的。
证明 考虑
中的收敛序列
。假设当
时,两个序列分别收敛于C、D,其中
。由Minkowski加法的性质,即命题2.2 i)、ii),我们可以得到当
时,有
。结合Steiner 对称的连续性,即命题2.1 ii),可得当
时,有
,定理得证。
从上面的证明中,我们可以知道该双变量凸体算子
是具有连续性的,此外,我们也可以证明其同时具有单调性,即在
上是不减的。
定理 3.2设
,并且满足
,则有
。
证明由于
,以及
,根据Minkowski加法的性质,即命题2.2 i)和命题2.3,我们可以得到
,并且
。结合Steiner对称的性质,即命题2.1 iii),可得:
即定理得证。
我们要注意该算子不为线性算子,为此我们举出如下例子:
例3.1设
中的两个凸体
,
,令
,我们可以证明
(
任意常数)不成立。为此我们可以只需证明当
时,该等式不成立。根据Steiner对称和Minkowski加法的定义,可得:
,其中
同样可得
,其中
显然,
,故而等式
(
任意常数)不成立,即该算子不为线性算子。
下面我们用一些几何量来进一步刻画该双变量凸体算子。
定理 3.3 设
,则以下命题是成立的:
i)
;
ii)
;
iii)
。
证明
i) 由直径的定义可得:
结合Steiner对称的性质,即命题2.1 v)可得:
ii) 由外接圆的定义,我们可设
,其中
。根据Minkowski 加法的性质,即命题2.3,可得:
进而
。结合Steiner对称的性质,即命题2.1 vi)可得:
iii) 由内切圆的定义,我们可设
,其中
。根据Minkowski 加法的性质,即命题2.3,可得:
进而
。结合Steiner对称的性质,即命题2.1 vii)可得:
证毕。
4. 结语
本文在研究Steiner对称性质的基础之上,结合Minkowski加法,得到了一个双变量凸体算子,并对其性质展开研究。首先,我们证明了其具有连续性和单调性这样良好的代数性质;其次,我们用直径、内切圆和外接圆这些几何量去刻画该算子,也得到了相应的良好性质。
致谢
本论文是在我导师王拓教授的悉心指导下完成的,从基础知识的学习到论文的选题、参考资料的收集以及论文的修改,每一步都是在王老师的指导下完成的,在此我向我的导师王拓教授表示深切的谢意与祝福。