1. 引言及主要结果
假设读者熟悉亚纯函数Nevanlinna值分布理论的基本内容及相关标准符号(见参考文献 [1] [2] [3])。
例如,表示函数
的增长级,
表示所有
的小函数所构成的集合。
另外,
表示函数
的平移,
,
分别表示其一阶差分及n阶差分。
在早期,对于费马型函数方程
解的讨论,已有许多经典结果 [4] [5] [6]。
在2004年,Yang and Li [6] 考虑了以下费马型微分方程解的情形,他们证明了
定理1. 设k是一个正整数,
是常数,
。则费马型方程
的超越亚纯解必具有以下的形式,
,
其中
是非零常数,并且满足
,
.
近年来,许多学者研究了差分方程、微分–差分方程解的存在性及增长性问题 [1] [7] - [12]。
2012年,Liu等人 [11] 研究了以下费马型差分–微分方程,并获得了以下结论。
. (1.1)
定理2. 方程(1.1)式的超越有穷级整函数解必定具有以下形式
,
其中,
,n是一个正整数,B是一个常数。
还有许多相关的结果,请参见文献 [13] [14] [15]。
本文的主要目的是研究方程(1.1)中的平移为高阶差分的解的形式问题,即研究
. (1.2)
本人主要证明了以下结论。
定理3. 设
是微分–差分方程(1.2)的有穷级整函数解,则
必定具有以下形式之一:
,或者
,其中
是常数,并且满足
,
,
.
由定理3,可得以下推论。
推论1. 当(1.2)式中的
时,(1.2)式的解必具有以下形式:
,或者
,其中
是常数,
。
2. 一些引理
引理1 ( [3])设 是亚纯函数,
是整函数,并且满足:
;
对任意的
,
时,均有
,
,
,
其中是对数测度有穷的集合。
则
。
引理2 ( [3]) (Hadamard 分解定理)设
是有穷级整函数,
是其零点,并且0是其k重零点,则
,
其中
是由
除零之外的所有零点构成的典型乘积,
是一个满足
的多项式。
3. 定理3的证明
设
是方程(1.2)的有穷级整函数解,将(1.3)改写成下式
。 (3.1)
从(3.1)式可知,
与
均没有零点,由引理3,Hadamard分解定理可得:
(3.2)
其中
是一个多项式。
解(3.2)式,可得
, (3.3)
. (3.4)
以下分两种情形讨论。
情形1.
是超越整函数。则由(3.3)式知,
是非常数多项式。令
,则
。
对(3.4)式两边同时求一阶导,可得
. (3.5)
另一方面,由(3.3)式,可得
. (3.6)
结合(3.5)与(3.6)式,经简单计算可得
. (3.7)
合并同类项,即得
. (3.8)
若,则对任意的
,均有
, 且
.
由(3.8)式,结合引理2,可得
,矛盾。
因此,
。因此,可设
,其中
。则 ,
,与
。
(3.8)式两边同时乘以
,并化简,可得
.
即
. (3.9)
由(3.9)式可得
. (3.10)
注意到
,
。由(3.10),可得
否则,由(3.10)式,有
,
即得
是一个常数,这与
矛盾。
从而
(3.11)
解(3.11)式,易得 ,且
,
。因此,
具有以下形式
.
情形2.
是多项式。则由(3.3)式可得
是一个常数,因此,
恒为常函数,从而
。如果 k ≥2,则显然
,代入(1.2)式,可得
,解得,
。如果
,则
,代入(1.2)式,可得 ,同样解得,
。因此,
。
定理3证明完毕。
基金项目
国家自然科学基金青年资助项目(11901119)。