新的双辅助微分方程展开法求色散水波方程的精确解

A New Double-Auxiliary Differential Equation Expansion Method for Exact Solutions of Dispersive Water Wave Equations

摘要: 本文在已有的辅助微分方程和G'/G-展开法的基础上构造新的双辅助微分方程展开法，并利用双辅助微分方程展开法求解了色散水波方程的新的精确解：双曲函数形式解、有理函数形式解、三角函数形式解、双曲函数与三角函数混合形式解、三角函数与有理函数混合形式解，该方法也可应用于求解其他非线性方程。

Abstract: Based on the existing auxiliary differential equations and G'/G-expansion method, this paper con-structs a new double auxiliary differential equation expansion method, and uses the double auxil-iary differential equation expansion method to solve new exact solutions of dispersive water wave equations: hyperbolic function formal solution, rational function formal solution, trigonometric function formal solution, hyperbolic function and trigonometric function mixed form solution, trigonometric function and rational function mixed form solution. The method can also be applied to solve other nonlinear equations.

1. 引言

非线性偏微分方程描述了众多科学及工程问题中的非线性现象，而对于这些非线性现象中各种因子和各种物理量之间的相互关系的反映都依赖于非线性偏微分方程的精确解。近年来，已经出现了许多求解非线性偏微分方程精确解的直接方法，如tanh方法 [1] 、推广的tanh方法 [2] 、推广的Riccati方程法 [3] 、辅助方程法 [4] 、 $G^{\prime }/G$ -展开法 [5] [6] 等，每一种方法都有它的局限性。因此，为了满足各个学科在描述非线性偏微分方程中的需要，在已有的方法基础上改进或者发现并使用新的方法去构造各类非线性偏微分方程的精确解是非常需要的。

2. 双辅助方程展开法

下列非线性偏微分方程组

$\{\begin{array}{l}P\left(u,v,u_t,v_t,u_x,v_x,\cdots \right)=0\\ H\left(u,v,u_t,v_t,u_x,v_x,\cdots \right)=0\end{array}$ (1)

假设方程(1)有如下形式的解：

$\{\begin{array}{l}u\left(x,t\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{i+j=k}{\sum }{a}_{ij}\left(x,t\right){\varphi }^i\left(\xi \right){\left(\frac{G^{\prime }\left(\theta \right)}{G\left(\theta \right)}\right)}^j,}}\\ v\left(x,t\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{i+j=k}{\sum }{b}_{ij}\left(x,t\right){\varphi }^i\left(\xi \right){\left(\frac{G^{\prime }\left(\theta \right)}{G\left(\theta \right)}\right)}^j,}}\end{array}$ (2)

其中 $a_{ij}\left(x,t\right),b_{ij}\left(x,t\right)$ 是关于t的待定函数，通过齐次平衡法 [7] 平衡方程(1)可以确定正整数 $m,n$ 的取值，辅助微分方程中的 $\varphi \left(\xi \right)$ 和 $G\left(\theta \right)$ 则满足下列两个常微分辅助方程：

${\varphi }^{\prime }\left(\xi \right)=A+B\varphi \left(\xi \right)+C{\varphi }^2\left(\xi \right)$ (3)

$G^{″}\left(\theta \right)+\lambda G^{\prime }\left(\theta \right)+\mu G\left(\theta \right)=0$ (4)

其中 $A,B,\lambda ,\mu$ 为任意常数， $C\ne 0,\xi =k_{1}x+{\varpi }_{1}t,\theta =k_{2}x+{\varpi }_{2}t$。

借助辅助方程(3)和方程(4)，将方程(2)代入到方程(1)中，此时，通过计算便可以得到一个关于 ${\varphi }^i\left(\xi \right){\left(\frac{G^{\prime }\left(\theta \right)}{G\left(\theta \right)}\right)}^j\left(i,j=0,1,2,\cdots \right)$ 的多项式，令这个多项式的每一项幂系数为零，得到一组关于 $a_{ij}\left(x,t\right)$， $b_{ij}\left(x,t\right)$， $k_1,k_2,{\varpi }_1$ 和 ${\varpi }_2$ 的线性方程组，借助计算机软件Maple求解线性方程组，并将所得结果代入到方程(2)中，就可以得到方程(1)的解。

注：当 $\Delta =B^2-4AC>0$ 时，方程(3)的解为：

${\varphi }_1\left(\xi \right)=-\frac{B+\sqrt{\Delta }}{2C}\tanh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{2}\xi \right)$ (5)

${\varphi }_2\left(\xi \right)=-\frac{B+\sqrt{\Delta }}{2C}\coth \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{2}\xi \right)$ (6)

当 $\Delta =B^2-4AC<0$ 时，方程(3)的解为：

${\varphi }_3\left(\xi \right)=-\frac{B-\sqrt{-\Delta }}{2C}\tan \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{2}\xi \right)$ (7)

${\varphi }_4\left(\xi \right)=-\frac{B-\sqrt{-\Delta }}{2C}\cot \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{2}\xi \right)$ (8)

当 $A=B=0,C\ne 0$ 时，方程(3)的解为：

${\varphi }_5\left(\xi \right)=\frac{-1}{C\xi +H_1}$ (9)

当 ${\Delta }_1={\lambda }^2-4\mu >0$ 时，方程(4)的解为：

$\frac{G^{\prime }\left(\theta \right)}{G\left(\theta \right)}=-\frac{\lambda }{2}+\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\frac{c_1\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}{c_1\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}$ (10)

当 ${\Delta }_1={\lambda }^2-4\mu <0$ 时，方程(4)的解为：

$\frac{G^{\prime }\left(\theta \right)}{G\left(\theta \right)}=-\frac{\lambda }{2}+\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\frac{-c_1\sin \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\cos \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}{c_1\cos \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\sin \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}$ (11)

当 ${\Delta }_1={\lambda }^2-4\mu =0$ 时，方程(4)的解为：

$\frac{G^{\prime }\left(\theta \right)}{G\left(\theta \right)}=-\frac{\lambda }{2}+\frac{c_2}{c_1+c_2\theta }$ (12)

3. 色散水波方程的解

在文献 [8] 和文献 [9] 中，Guha和Zeng分别考虑了色散水波方程

$\{\begin{array}{l}{u}_t=v_{xxx}+2{\left(uv\right)}_x=0\\ v_t=u_x+2v{v}_x=0\end{array}$ (13)

这里 $u\left(x,t\right),v\left(x,t\right)$ 分别指底面到水平面的高度和水平速度场，文献 [8] 中Guha对色散水波方程进行了初步研究，文献 [9] 中Zeng则通过探讨对色散水波方程的相类似形式构造得到了一些精确解。

通过齐次平衡法平衡方程(13)中的 $v_{xxx}$ 和 ${\left(uv\right)}_x$， $u_x$ 和 $v{v}_x$，有 $n+3=n+m+1,m+1=2n+1$，从而得到 $m=2,n=1$，则方程(2)变为：

$\{\begin{array}{l}u\left(x,t\right)=a_0\left(t\right)+a_1\left(t\right)\varphi \left(\xi \right)+a_2\left(t\right)\frac{G^{\prime }\left(\theta \right)}{G\left(\theta \right)}+a_3\left(t\right)\varphi \left(\xi \right)\frac{G^{\prime }\left(\theta \right)}{G\left(\theta \right)}\\ v\left(x,t\right)=b_0\left(t\right)+b_1\left(t\right)\varphi \left(\xi \right)+b_2\left(t\right)\frac{G^{\prime }\left(\theta \right)}{G\left(\theta \right)}\end{array}$ (14)

其中 $A,B,\lambda ,\mu$ 为任意常数， $C\ne 0,\xi =k_{1}x+{\varpi }_{1}t,\theta =k_{2}x+{\varpi }_{2}t$。

借助辅助微分方程(3)和(4)，将方程(14)代入到方程(13)中，此时，通过计算便可以得到一个关于

${\varphi }^i\left(\xi \right){\left(\frac{G^{\prime }\left(\theta \right)}{G\left(\theta \right)}\right)}^j\left(i,j=0,1,2,3\right)$ 的多项式，令每一项幂系数为零，得到一个关于 $a_0\left(t\right),a_1\left(t\right),a_2\left(t\right),b_0\left(t\right),b_1\left(t\right),$

$b_2\left(t\right),k_1,k_2,{\varpi }_1$ 和 ${\varpi }_2$ 的线性方程组，借助Maple求解此方程组，可得到：

$k_1=k_1,k_2=\frac{k_{1}B}{\lambda }$

${\varpi }_1=1,{\varpi }_2=\frac{B}{\lambda }$

$a_0\left(t\right)=\frac{1}{4}\frac{k_2^2\lambda \left(1+5\mu \right)}{\mu },a_1\left(t\right)=-\frac{b_2{k}_2^3\lambda \mu \left(1+5\mu \right)}{4\mu b_0{k}_{1}A}$ (15)

$a_2\left(t\right)=-\frac{1}{4}\frac{b_2{k}_2^2\lambda \left(1+5\mu \right)}{\mu b_0},a_3\left(t\right)=\frac{b_2{k}_2^3{\lambda }^2\left(1+5\mu \right)}{4\mu b_0{k}_{1}A}$

$b_0\left(t\right)=b_0\left(t\right),b_1\left(t\right)=b_1\left(t\right),b_2\left(t\right)=b_2(t)$

将式(15)代入到(14)中，借助(5)~(12)，可得到色散水波方程(13)有如下形式的解：

情形1：当 $\Delta >0$ 且 ${\Delta }_1>0$ 时，方程(13)有如下形式的解：

$\begin{array}{c}{u}_1\left(x,t\right)=\frac{1}{4}\frac{k_2^2\lambda \left(1+5\mu \right)}{\mu }-\frac{b_2{k}_2^3\lambda \mu \left(1+5\mu \right)}{4\mu b_0{k}_{1}A}\frac{B+\sqrt{\Delta }}{2C}\coth \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{2}\xi \right)\\ +\frac{1}{4}\frac{b_2{k}_2^2\lambda \left(1+5\mu \right)}{\mu b_0}\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\frac{c_1\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}{c_1\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}\right)\\ +\frac{b_2{k}_2^3{\lambda }^2\left(1+5\mu \right)}{4\mu b_0{k}_{1}A}\frac{B+\sqrt{\Delta }}{2C}\coth \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{2}\xi \right)\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\frac{c_1\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}{c_1\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}\right)\end{array}$ (16)

$\begin{array}{c}{v}_1\left(x,t\right)=b_0\left(t\right)-b_1\left(t\right)\frac{B+\sqrt{\Delta }}{2C}\coth \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{2}\xi \right)\\ -b_2\left(t\right)\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\frac{c_1\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}{c_1\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}\right)\end{array}$ (17)

(16)与(17)为色散水波方程的双曲函数形式解。

情形2：当 $\Delta <0$ 且 ${\Delta }_1>0$ 时，方程(13)有如下形式的解：

$\begin{array}{c}{u}_2\left(x,t\right)=\frac{1}{4}\frac{k_2^2\lambda \left(1+5\mu \right)}{\mu }+\frac{b_2{k}_2^3\lambda \mu \left(1+5\mu \right)}{4\mu b_0{k}_{1}A}\frac{B-\sqrt{-\Delta }}{2C}\tan \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{2}\xi \right)\\ +\frac{1}{4}\frac{b_2{k}_2^2\lambda \left(1+5\mu \right)}{\mu b_0}\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\frac{c_1\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}{c_1\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}\right)\\ +\frac{b_2{k}_2^3{\lambda }^2\left(1+5\mu \right)}{4\mu b_0{k}_{1}A}\frac{B-\sqrt{-\Delta }}{2C}\tan \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{2}\xi \right)\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\frac{c_1\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}{c_1\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}\right)\end{array}$ (18)

$\begin{array}{c}{v}_2\left(x,t\right)=b_0\left(t\right)-b_1\left(t\right)\frac{B-\sqrt{-\Delta }}{2C}\tan \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{2}\xi \right)\\ -b_2\left(t\right)\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\frac{c_1\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}{c_1\cosh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\sinh \left(\frac{\sqrt{{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}\right)\end{array}$ (19)

(18)与(19)为色散水波方程的双曲函数与三角函数混合作用解。

情形3：当 $A=B=0,C\ne 0$ 且 ${\Delta }_1<0$ 时，方程(13)有如下形式的解：

$\begin{array}{c}{u}_3\left(x,t\right)=\frac{1}{4}\frac{k_2^2\lambda \left(1+5\mu \right)}{\mu }+\frac{b_2{k}_2^3\lambda \mu \left(1+5\mu \right)}{4\mu b_0{k}_{1}A}\frac{1}{C\xi +H_1}\\ +\frac{1}{4}\frac{b_2{k}_2^2\lambda \left(1+5\mu \right)}{\mu b_0}\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\frac{-c_1\sin \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\cos \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}{c_1\cos \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\sin \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}\right)\\ +\frac{b_2{k}_2^3{\lambda }^2\left(1+5\mu \right)}{4\mu b_0{k}_{1}A}\frac{1}{C\xi +H_1}\left(\frac{\lambda }{2}-\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\frac{-c_1\sin \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\cos \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}{c_1\cos \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\sin \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}\right)\end{array}$ (20)

$v_3\left(x,t\right)=b_0\left(t\right)-b_1\left(t\right)\frac{1}{C\xi +H_1}+b_2\left(t\right)\left(-\frac{\lambda }{2}+\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\frac{-c_1\sin \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\cos \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}{c_1\cos \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)+c_2\sin \left(\frac{\sqrt{-{\Delta }_1}}{2}\theta \right)}\right)$ (21)

(20)与(21)为色散水波方程的三角函数与有理函数混合作用解。

情形4：当 $A=B=0,C\ne 0$ 且 ${\Delta }_1=0$ 时，方程(13)有如下形式的解：

$\begin{array}{c}{u}_4\left(x,t\right)=\frac{1}{4}\frac{k_2^2\lambda \left(1+5\mu \right)}{\mu }+\frac{b_2{k}_2^3\lambda \mu \left(1+5\mu \right)}{4\mu b_0{k}_{1}A}\frac{1}{C\xi +H_1}\\ -\frac{1}{4}\frac{b_2{k}_2^2\lambda \left(1+5\mu \right)}{\mu b_0}\left(-\frac{\lambda }{2}+\frac{c_2}{c_1+c_2\theta }\right)\\ -\frac{b_2{k}_2^3{\lambda }^2\left(1+5\mu \right)}{4\mu b_0{k}_{1}A}\frac{1}{C\xi +H_1}\left(-\frac{\lambda }{2}+\frac{c_2}{c_1+c_2\theta }\right)\end{array}$ (22)

$v_4\left(x,t\right)=b_0\left(t\right)-b_1\left(t\right)\frac{1}{C\xi +H_1}+b_2\left(t\right)\left(-\frac{\lambda }{2}+\frac{c_2}{c_1+c_2\theta }\right)$ (23)

(22)与(23)为色散水波方程的有理函数解。

其中 $\xi =k_{1}x+t,\theta =\frac{k_{1}B}{\lambda }x+\frac{B}{\lambda }t$， $c_1,c_2$ 为任意常数， $\Delta =B^2-4AC$， ${\Delta }_1={\lambda }^2-4\mu$。

根据式(5)~(12)还可以得到更多关于色散水波方程的解，这里就不再一一列出。

4. 结论

本文通过在已有的辅助微分方程和 $G^{\prime }/G$ -展开法基础上构造新的双辅助方程展开法获得了色散水波方程的多种函数混合而成的新的精确解，所得的这些结果所含函数种类多且在其他文献中还没有被提到过，使得所求的精确解在众多物理背景下更具有现实意义，其中在对 $c_1,c_2$ 值取特定关系时可获得色散水波方程的多种形式孤子解。