应用数学进展  >> Vol. 9 No. 3 (March 2020)

一个非线性系统的混沌现象分析及数值仿真
Chaos Analysis and Numerical Simulation of a Nonlinear System

DOI: 10.12677/AAM.2020.93046, PDF, HTML, XML, 下载: 110  浏览: 1,835 

作者: 张 熙, 王贺元:沈阳师范大学,数学与系统科学学院,辽宁 沈阳

关键词: 非线性动力系统分岔混沌数值仿真MATLABNonlinear Dynamical System Bifurcation Chaos Numerical Simulation MATLAB

摘要: 本文讨论了一个根据Liu系统变化而来的非线性系统,分析其混沌现象并进行数值仿真。讨论了系统的对称性、耗散性、奇点及其局部稳定性,说明了系统的全局稳定性和吸引子的存在性。结合不同参数变化下的分岔图与最大李雅普诺夫指数分析了系统发生混沌的区间,根据不同参数下的吸引子、庞加莱截面、时间序列和返回映射等指标,描述系统的混沌特性。通过仿真的结果说明此非线性系统混沌行为的普适性。
Abstract: In this paper, a nonlinear system based on the change of Liu system is discussed, and its chaos is analyzed and simulated. The symmetries, dissipations, singularities and local stability of the system are discussed. The global stability and the existence of attractors are explained. According to the different parameters of the attractor, Poincare section, time series and return map, the chaotic characteristics of the system are described. The simulation results show that the chaotic behavior of the nonlinear system is universal.

文章引用: 张熙, 王贺元. 一个非线性系统的混沌现象分析及数值仿真[J]. 应用数学进展, 2020, 9(3): 382-390. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.93046

1. 引言

对非线性系统的探索和研究已持续一个多世纪的时间,但仍然方兴未艾。20世纪70年代初,科学家们利用计算机和非线性数学,发现了非线性系统中的混沌行为,这一发现极大地激起了人们对复杂问题探索的热情,对混沌的研究热潮也开始了。混沌现象的研究对现代科学的影响是广泛的,几乎涉及到了任何领域。

1963年,气象学家E.N. Lorenz在数值实验中发现了混沌现象,提出了Lorenz系统 [1],自此,不管是国际上还是国内,人们不断地提出和构建新的混沌系统。很多的学术专家都曾展示了自己的研究成果,在国内有影响力的像Chen-系统 [2] [3],Lv-系统 [4] 等等,在2004年,刘崇新教授等人又提出了Liu-系统 [5]。Liu-混沌系统属于广义Lorenz系统,Chen-系统与Lorenz系统互为对偶系统,而Lv-系统在Lorenz系统和Chen系统之间架起了桥梁,四者之间的联系十分紧密。本文在Liu-系统的基础上,研究了一个新的非线性系统 [6],对其动力学行为进行了数值仿真,因而初步分析了其混沌行为 [7] [8] [9]。

2. 数学模型

2.1. 系统描述

根据文献 [6] 所提到的一类新的混沌系统:

(1)

其中状态变量均为时间t的函数,为控制参数。

2.2. 对称性与不变性

对于系统(1),通过变化对系统(1)进行处理,发现系统的控制参数不发生变动。对应的非线性系统(1)也保持它的原有属性,而且仍然以z轴为对称轴。系统(1)具有对称性和不变性。

2.3. 系统耗散性与吸引子不变性

对于系统(1),作如下处理:

(2)

则系统(1)的散度为:

(3)

时,系统(1)是耗散的,故存在吸引子,即是吸引子存在的条件。

2.4. 平衡点及局部稳定性

对于系统(1)中的各式,令其方程右边等于0,可以解得系统(1)的三个平衡点 [10],分别为:

其中对称的落在 轴的两侧,对于,系统(1)有唯一的平衡点。下面讨论各平衡点的稳定性。

在平衡点处通过线性变换处理后,得到Jacobian矩阵为:

其对应的特征方程为:

(4)

解得上述Jacobian矩阵的三个特征值分别为:

, ,

时,,故系统存在三个负实根,此时平衡点稳定。为了直观地判

断平衡点稳定与否,我们不妨设,此时三个特征值分别为−3,6.95,−14.95,存在一个大于0的特征值,由Routh-Hurwitz原理可知,平衡点是不稳定的。

对于平衡点,由于系统(1)通过变化后,系统的控制参数不发生变动。对应的非线性系统(1)也保持它的原有属性,而且P+和P也关于 轴对称,所以二者性质相同,这里不妨只分析

对应的Jacobian矩阵为:

其特征方程为:

(5)

根据Routh-Hurwitz原理以及参数的取值范围,可知该特征方程仅有实部为负的根,故为不稳定的平衡点,同理,也为不稳定的平衡点。

3. 数值仿真

本节对系统(1)的动力学行为进行数值仿真。当固定两个系统参数时,随着参数a的增大,系统的动力学行为发生了一系列的变化。采用龙格–库塔方法编写MATLAB程序,画出仿真图,并揭示系统(1)的混沌学行为 [11]。

当固定参数时,图1图2分别给出了时的分岔图与最大Lyapunov指数,图3为当时局部放大的分岔图,图4图5分别为时的吸引子图和庞家莱截面图,图6时的吸引子图。

系统经过一系列复杂演变过程,经Hopf分岔到达混沌态,当时,系统彻底发生混沌,当时,混沌现象已经出现,当时,混沌结束,系统进入周期轨道。

Figure 1. Bifurcation diagram when 0 ≤ a ≤ 30, b = 3, c = 13

图1. 0 ≤ a ≤ 30,b = 3,c = 13时的分岔图

Figure 2. Graph of maximum Lyapunov index when 0 ≤ a ≤ 30, b = 3, c = 13

图2. 0 ≤ a ≤ 30,b = 3,c = 13时的最大Lyapunov指数图

Figure 3. Bifurcation diagram when 0 ≤ a ≤ 10, b = 3, c = 13

图3. 0 ≤ a ≤ 10,b = 3,c = 13时的分岔图

Figure 4. Attractor graph when a = 8, b = 3, c = 13

图4. a = 8,b = 3,c = 13时的吸引子图

Figure 5. Panjialai Section when a = 8, b = 3, c = 13

图5. a = 8,b = 3,c = 13时的庞家莱截面图

Figure 6. Attractor graph when a = 28, b = 3, c = 13

图6. a = 28,b = 3,c = 13时的吸引子图

Figure 7. Bifurcation diagram when 0 ≤ b ≤ 10, b = 3, c = 13

图7. 0 ≤ b ≤ 10,b = 3,c = 13时的分岔图

Figure 8. Graph of maximum Lyapunov index when 0 ≤ b ≤ 10, b = 3, c = 13

图8. 0 ≤ b ≤ 10,b = 3,c = 13时的最大Lyapunov指数图

当固定参数时,图7图8分别给出了时的分岔图和最大Lyapunov指数图。当时混沌出现,当时混沌逐渐消失,其中有一个较为明显的周期窗口。

当固定参数时,图9图10分别给出当时的分岔图和最大Lyapunov指数图。时,系统处于混沌状态,其中存在一个明显的周期窗口。

Figure 9. Bifurcation diagram when a = 8, b = 3, 0 ≤ c ≤ 30

图9. a = 8,b = 3,0 ≤ c ≤ 30时的分岔图

Figure 10. Graph of maximum Lyapunov index when a = 8, b = 3, 0 ≤ c ≤ 30

图10. a = 8,b = 3,0 ≤ c ≤ 30时的最大Lyapunov指数图

综合以上三个系统参数使系统发生混沌的范围,不妨取进行数值仿真。图11图12图13分别为该组参数下的返回映射、时间序列和功率谱,从中可以看出此时系统正处于混沌状态下。

Figure 11. Return map when a = 8, b = 3, c = 13

图11. a = 8,b = 3,c = 13时的返回映射

Figure 12. Time series when a = 8, b = 3, c = 13

图12. a = 8,b = 3,c = 13时的时间序列

Figure 13. Power Spectrum when a = 8, b = 3, c = 13

图13. a = 8,b = 3,c = 13时的功率谱

4. 结论

本文首先对所研究的内容研究现状及近期发展进行简介;其次,说明系统的对称性与不变性,讨论系统的耗散性与吸引子的存在性,计算平衡点及证明其局部稳定性,说明系统确实存在混沌;最后对系统的三个参数分别进行数值仿真,确定混沌产生的区间,并选取一组参数值:,仿真出吸引子图、庞家莱映射图、时间序列、返回映射和功率谱,充分证明在此参数值下,系统正在发生混沌。

参考文献

[1] Lorenz, E.N. (1963) Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 20, 130-141.
https://doi.org/10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2
[2] Li, T.Y. and Yorke, J.A. (1975) Period Three Implies Chaos. American Mathematical Monthly, 82, 985-992.
https://doi.org/10.1080/00029890.1975.11994008
[3] Chen, G, and Ueta, T. (1999) Yet Another Chaotic At-tractor. International Journal of Bifurcation and Chaos, 9, 1465-1466.
https://doi.org/10.1142/S0218127499001024
[4] Lv, J.H. and Chen, G.R. (2002) A New Chaotic Attractor Coined. International Journal of Bifurcation and Chaos, 12, 659-661.
https://doi.org/10.1142/S0218127402004620
[5] Liu, C.X., Liu, T. and Liu, L. (2004) A New Chaotic Attractor. Chaos, Solitons and Fractals, 22, 1031-1038.
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[10] 王贺元. 平面不可压缩磁流体动力学五模类Lorenz方程组的动力学行为及其数值仿真[J]. 数学物理学报, 2017, 37(1): 199-216.
[11] 王贺元, 崔进. 旋转流动混沌行为的全局稳定性分析及数值仿真[J]. 数学物理学报, 2017, 37(4): 785-786.