Hilbert C*-模上紧算子理想的秩

Ranks of Compact Operator Ideals on Hilbert C*-Modules

摘要: 设A为C*-代数，E为A上的Hilbert C*-模。本文研究了E上紧算子理想K(E)的完全正秩与齐次秩，证明了当A的这两种秩不超过n时，K(E)的秩亦不超过n。

Abstract: Let A be a C*-algebra and E be a Hilbert C*-module over A. In this paper, the completely positive rank and homogeneous rank of the compact operator ideal K(E) on E are studied, and it is proved that the ranks of K(E) do not exceed n when the two ranks of A do not exceed n.

1. 引言

Hilbert C^*-模最初是1953年I. Kaplansky [1] 在交换单位代数上提出的，在20世纪70年代，该理论被拓展到非交换C^*-代数。非交换维数是覆盖维数在非交换C^*-代数的推广，21世纪初W. Winter提出了完全正秩 [2] 和齐次秩 [3]，有力地推动了C^*-代数的分类。

在已有理论的基础上，本文研究了Hilbert C^*-模上紧算子理想的保持完全正秩和齐次秩的条件，证明了当A的这两种秩不超过n时， $K\left(E\right)$ 的秩亦不超过n。

2. 预备知识

定义1.1 [2] 设A是C^*-代数，F是有限维C^*-代数，对 $\left\{e_0,\cdots ,e_{n+1}\right\}\subset F$ 如果 $e_i$ 是相互正交的最小投影，则称 $\left\{e_0,\cdots ,e_{n+1}\right\}$ 是基本集。

定义1.2 [4] 设A，B是C^*-代数， $\rho :A\to B$ 是线性映射且满足对任意的正元 $a\in A$， $\rho \left(a\right)\in B$ 也是正元，则称 $\rho$ 是正线性映射，若对任意的n， ${\rho }^{\left(n\right)}:M_n\left(A\right)\to M_n\left(B\right)$， $\left(a_{i,j}\right)\mapsto \left(\rho \left(a_{i,j}\right)\right)$ 都是正线性映射，则称 $\rho$ 是完全正线性映射，简称完全正映射。

定义1.3 [2] 设A是C^*-代数，F是有限维C^*-代数。对完全正映射 $\phi :F\to A$，如果n是满足对F中的任意基本集 $\left\{e_0,\cdots ,e_{n+1}\right\}$ 都存在 $i,j\in \left\{0,1,\cdots ,n+1\right\}$ 使得 $\phi \left(e_i\right)\perp \phi \left(e_j\right)$ 的最小整数，则称 $\phi$ 的严格阶等于n。

定义1.4 [2] 设A是C^*-代数，如果对任意 $a_1,\cdots ,a_k\in A$， $\epsilon >0$，都存在对 $\left\{a_1,\cdots ,a_k\right\}$ 的关于 $\epsilon$ 的完全正逼近 $\left(F,\psi ,\phi \right)$ 使得 $\phi$ 的严格阶不超过n，则称A的完全正秩小于等于n，记作 $cprA\le n$。如果n是使得 $cprA\le n$ 成立的最小整数，则称 $cprA=n$。

定义1.5 [3] 设A是C^*-代数， $\phi :F={\oplus }_{i=1}^s{M}_{r_i}\to A$ 是完全正映射收缩， $l:{ℂ}^s\to F$ 为典范单位嵌入。如果任给 $i\in \left\{1,\cdots ,s\right\}$， $ord\left(\phi {|}_{M_{r_i}}\right)=0$，则称 $\phi$ 是分段齐次的，如果 $\phi$ 是分段齐次的，且 $ord\left(\phi \circ l\right)=n$，则称 $\phi$ 是严格阶为n的分段齐次。

定义1.6 [3] 设A是C^*-代数，如果对任意 $a_1,\cdots ,a_k\in A$， $\epsilon >0$，都存在对 $\left\{a_1,\cdots ,a_k\right\}$ 的关于的完全正逼近，使得是严格阶不超过n的分段齐次，则称A的齐次秩不超过n，记作。

3. 完全正秩

引理2.1 设A为单的C^*-代数，H为可分的Hilbert空间，则。

证明：因为，由 [2] 命题2.11，

.

因为A是单的，由 [3] 定理3.2.4，

,.

由 [3] 命题3.1.4，得

.

即

.

引理2.2 设A为C^*-代数，令。若任给，都有，则。

证明：任给有限集，，令B为F生成的子代数，由，对，，存在对F的关于的完全正逼近使得

.

对，由 [5] 定理7.5，存在完全正映射收缩，使得

,.

令为包含映射，。则为对F的关于的完全正逼近，并且。

综上所述，。

引理2.3 设A，F为C^*-代数，，为完全正映射，且满足任给，。若且满足，则。

证明：令，则。而

,

所以，得

,

因此，即

.

定理2.4 设A是C^*-代数，B为A的遗传子代数，则。

证明：设，存在关于的完全正逼近使得

.

利用近似单位，可以找到，使得

任给,.

令，，，则

.

不妨设，则对F的每个基本集，存在使得

,

由引理2.3，。因此

.

当时，显然有。

定理2.5设A为单的C^*-代数，E为Hilbert-A模。若，则。

证明：由引理2.1，有

,

E可数生成时，，所以

.

因为为的遗传子代数，由引理2.2得

.

E为任意Hilbert-A模时：

可分时，设，由，存在，使得

,

设，，。令为生成的Hilbert-A模。由，得，所以，又有，所以。由为可数生成，得。

不可分时，的所有有限生成子代数可分，所以其完全正秩，由引理2.2，。

4. 齐次秩

引理3.1 设A为C^*-代数，令。若任给，都有，则。

证明：任给有限集，，令B为F生成的子代数，由，对，，存在对F的关于的完全正逼近使得

.

对，由 [5] 定理7.5，存在完全正映射收缩，使得

,.

令为包含映射，。则为对F的关于的分段齐次的完全正逼近，并且。

综上所述，。

引理3.2设A，F为C^*-代数，，，为完全正映射，且满足，。设为典范单位嵌入，若为正元，且满足，则。

证明：令，则。而

,

所以。得

,

因此，即

.

定理3.3 设A是C^*-代数，B为A的遗传子代数，则。

证明：设，存在关于的完全正逼近，，使得

,.

其中，为典范单位嵌入。利用近似单位，可以找到，使得

任给,.

令，，，则

.

设，则由引理2.3，。不妨设，则对的每个基本集，存在使得

,

由引理3.2，。因此

.

当时，显然有。

综上所述，。

定理3.4设A为C^*-代数，E为Hilbert-A模。若，则。

证明：由 [2] 命题3.1.4，有

.

E可数生成时，，所以

.

因为为的遗传子代数，由引理3.3得

.

E为任意Hilbert-A模时：

可分时，设，由，存在，使得

.

设，，。令为生成的Hilber-A模。由，得。所以，又有，所以。由为可数生成，得。

不可分时，的所有有限生成子代数可分，所以其齐次秩，由引理3.1，。